Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách giáo khoa hình học 11
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
• Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao

Sách giải toán 11 Ôn tập chương 3 giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1 (trang 107 SGK Đại số 11):

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Lời giải:

Cấp số cộng (u_n) có công sai d.

+ (u_n) là dãy tăng

⇔ u_{n + 1} > u_n ∀ n ∈ N

⇔ u_{n + 1} – u_n > 0 ∀ n ∈ N

⇔ d > 0

+ (u_n) là dãy giảm

⇔ u_{n + 1} < u_n ∀ n ∈ N

⇔ u_{n + 1} – u_n < 0 ∀ n ∈ N

⇔ d < 0

Câu hỏi

Bài 2 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho cấp số nhân có u₁ < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a.q > 0

b.q < 0

Lời giải:

CSN (u_n) : u_n = u₁.q^{n – 1}, u₁ < 0

a. q > 0 ⇒ q^{n – 1} > 0 ⇒ u₁.q^{n – 1} < 0 (vì u₁ < 0)

⇒ u_n < 0 với mọi n ∈ N*.

Vậy với q > 0 và u₁ < 0 thì các số hạng đều mang dấu âm.

b. q < 0.

+ Nếu n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ q^{n – 1} < 0

⇒ u₁.q^{n – 1} > 0 (vì u₁ < 0).

⇒ u_n > 0.

+ Nếu n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ q^{n – 1} > 0

⇒ u₁.q^{n – 1} < 0 (Vì u₁ < 0).

⇒ u_n < 0.

Vậy nếu q < 0, u₁ < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.

Câu hỏi

Bài 3 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp số cộng có cùng các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử có hai cấp số cộng (u_n) với công sai d₁ và (v_n) với công sai d₂.

Xét dãy (a_n) với a_n = u_n + v_n

Ta có: a_{n + 1} – a_n = (u_{n + 1} + v_{n + 1}) – (u_n + v_n)

= (u_n + d₁ + v_n + d₂) – (u_n + v_n)

= d₁ + d₂ = const

⇒(a_n) là cấp số cộng với công sai d₁ + d₂.

Ví dụ:

CSC (u_n): 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. có công sai d₁ = 3 ;

CSC (v_n): 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 … có công sai d₂ = 2.

⇒ (a_n): 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; … có công sai d = 5.

Câu hỏi

Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp số nhân có cùng các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử có hai cấp số nhân (u_n) với công bội q₁ và (v_n) với công bội q₂.

Xét dãy số (a_n) với a_n = u_n.v_n với mọi n ∈ N*.

Ta có:

⇒ (a_n) là cấp số nhân với công bội q₁.q₂.

Ví dụ:

+ CSN (u_n) : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; … có công bội q₁ = 2.

+ CSN (v_n) : -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; … có công bội q₂ = -1.

⇒ CSN (a_n) : -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; -32 ; 64 ; … có công bội q = -2.

Câu hỏi

Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:

a. 13ⁿ – 1 chia hết cho 6

b. 3n³ + 15 chia hết cho 9

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

a. Đặt u_n = 13ⁿ – 1

+ Với n = 1 thì u₁ = 13 – 1 = 12 chia hết 6

+ Giả sử: u_k = 13^k – 1 chia hết cho 6.

⇒ u_{k + 1} = 13^{k + 1} – 1

              = 13^k+1 + 13^k – 13^k – 1

              = 13^k(13 – 1) + 13^k – 1

              = 12.13^k + u_k.

Mà 12.13^k ⋮ 6; u_k ⋮ 6.

⇒ u_{k + 1} ⋮ 6.

⇒ u_n ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

hay 13ⁿ – 1 ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

b. Đặt u_n = 3n³ + 15n

+ Với n = 1 ⇒ u₁ = 18 ⋮ 9.

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có: u_k = (3k² + 15k) ⋮ 9

⇒ u_k+1 = 3(k + 1)³ + 15(k + 1 )

              = 3(k³ + 3k² + 3k + 1) + 15k + 15

              = (3k³ + 15k) + 9k² + 9k + 18

              = (3k³ + 15) + 9(k² + k + 2)

              = u_k + 9(k² + k + 2)

Mà u_k ⋮ 9 và 9(k² + k + 2) ⋮ 9

⇒ u_{k + 1} ⋮ 9.

Vậy u_n = 3n³ + 15n ⋮ 9 ∀n ∈ N*

Câu hỏi

Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2, u_{n+ 1} = 2u_n – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh u_n = 2^n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u₁ = 2;

u₂ = 2u₁ – 1 = 3;

u₃ = 2u₂ – 1 = 5;

u₄ = 2u₃ – 1 = 9;

u₅ = 2u₄ – 1 = 17

b. Chứng minh u_n = 2^{n – 1} + 1 (1)

+ Với n = 1 ⇒ u₁ = 2^{1 – 1} + 1 = 2 (đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là u_k = 2^k-1 + 1 (1)

⇒ u_k+1 = 2.u_n – 1 = 2(2^k-1 + 1) – 1 = 2.2^{k – 1} + 2 – 1 = 2^k + 1

⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .

Vậy u_n = 2^{n – 1} + 1 với mọi n ∈ N.

Câu hỏi

Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u_n), biết:

Lời giải:

⇒ u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ N

⇒ (u_n) là dãy tăng.

+ Xét tính bị chặn:

(u_n) là dãy tăng

⇒ u₁ = 2 < u₂ < u₃ < …< u_n ∀n ∈ N*

⇒ u_n ≥ 2 ∀n ∈ N*

⇒ (u_n) bị chặn dưới.

(u_n) không bị chặn trên.

⇒ u_n không bị chặn.

Suy ra: Với n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ (-1)^{n – 1} = -1 ⇒ u_n < 0

Với n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ (-1)^{n – 1} = 1 ⇒ u_n > 0.

⇒ u₁ > u₂ < u₃ > u₄ < u₅ > u₆ …

⇒ (u_n) không tăng không giảm.

+ Xét tính bị chặn :

Với ∀ n ∈ N:

⇒ -1 ≤ u_n ≤ 1.

Vậy (u_n) bị chặn.

+ Xét tính tăng giảm.

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ N.

⇒ (u_n) là dãy số giảm.

+ Xét tính bị chặn.

u_n > 0 với mọi n.

⇒ (u_n) bị chặn dưới.

u_n ≤ u₁ = √2 – 1 với mọi n

⇒ (u_n) bị chặn trên.

⇒ (u_n) bị chặn.

Câu hỏi

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của các cấp số cộng (u_n), biết:

Lời giải:

Câu hỏi

Bài 9 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng dầu u₁ và công bội q của các cấp số nhân (u_n), biết:

Lời giải:

Dùng công thức: u_n = u₁.q^n-1 với n > 2

a)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ u₁.2⁵ = 192 ⇔ u₁ = 6

Vậy u₁ = 6 và q = 2

b) Ta có

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ 2u₁(4 – 1) = 72 ⇔ u₁ = 12

Vậy u₁ = 12 và q = 2

c) Ta có:

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ 2u₁(1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u₁ = 1

Vậy u₁ = 1 và q = 2

Câu hỏi

Bài 10 (trang 108 SGK Đại số 11): Tứ giác ABCD có số đo của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Lời giải:

Kí hiệu: ∠ : góc

Các góc của tứ giác là ∠A, ∠B, ∠C, ∠D (∠A > 0) tạo thành cấp số cộng:

⇒ ∠B = ∠A + d,

    ∠C = ∠A + 2d,

    ∠D = ∠A + 3d.

Theo giả thiết:

    ∠C = 5∠A

⇒ ∠A + 2d = 5∠A

⇒ 2d = 4∠A

hay d = 2.∠A

ABCD là tứ giác

⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

⇒ ∠A + ∠A + d + ∠A + 2d + ∠A + 3d = 360º

⇒ 4∠A + 12∠A = 360º

⇒ 16∠A = 360º

⇒ ∠A = 22º30′

⇒ d = 45º.

Vậy ∠A = 22º30′ ; ∠B = 67º30′; ∠C = 112º30’; ∠D = 157º30′

Câu hỏi

Bài 11 (trang 108 SGK Đại số 11): Biết rằng ba x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Lời giải:

Gọi công bội của CSN x ; y ; z là q.

⇒ y = x.q ; z = x.q².

Lại có : x ; 2y ; 3z lập thành CSC

⇔ 2y – x = 3z – 2y

⇔ 2.xq – x = 3.xq² – 2.xq

⇔ x(2q – 1) = x.(3q² – 2q)

⇔ x.(3q² – 4q + 1) = 0

+ Nếu x = 0 ⇒ y = z = 0

⇒ q không xác định.

+ Nếu x ≠ 0 ⇒ 3q² – 4q + 1 = 0 ⇔ q = 1 hoặc

Vậy CSN có công bội q = 1 hoặc

Câu hỏi

Bài 12 (trang 108 SGK Đại số 11): Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nữa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12.288m². Tính diện tích mặt trên cùng.

Lời giải:

Gọi diện tích đáy tháp là S₀; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là S₁; S₂; S₃; …; S₁₁.

+ Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới

Vậy diện tích mặt trên của tầng 11 là 6m².

Câu hỏi

Bài 13 (trang 108 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng nếu các số a², b², c² lập thành một cấp số cộng (a, b, c ≠ 0) thì các số 1/(b+c), 1/(c+a), 1/(a+b) cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

Câu hỏi

Bài 14 (trang 108 SGK Đại số 11): Cho dãy số (u_n), biết u_n = 3n. Hãy chọn phương án đúng:

a. Số hạng u_n+1 bằng:

A. 3ⁿ + 1

B. 3ⁿ + 3.

C. 3ⁿ.3

D. 3(n+1)

b. Số hạng u_2n bằng:

A. 2.3ⁿ

B. 9ⁿ

C. 3ⁿ + 3

D. 6ⁿ

c. Số hạng un-1 bằng:

A. 3ⁿ – 1

B. 3ⁿ/3

C. 3ⁿ – 3

D. 3n – 1

d. Số hạng u_2n-1 bằng:

A. 3².3ⁿ – 1

B. 3ⁿ.3^n-1

C. 3²ⁿ – 1

D. 3^2(n-1)

Lời giải:

a. u_n+1 = 3ⁿ⁺¹ = 3ⁿ.3.

Chọn đáp án C

b. u_2n = 3²ⁿ = (3²)ⁿ = 9ⁿ.

Chọn đáp án B.

c. u_n-1 = 3^n-1 = 3ⁿ.3^-1 = 3ⁿ/3 .

Chọn đáp án B.

d. u_2n-1 = 3^2n-1 = 3ⁿ.3^{n – 1}

Chọn đáp án B.

Câu hỏi

Bài 15 (trang 108 SGK Đại số 11): Hãy cho biết dãy số (u_n) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát u_n của nó là:

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Giải thích:

+ (u_n): có:

u₁ ; u₃ ; u₅ ; … dương

u₂ ; u₄ ; u₆ ; … âm

⇒ dãy số không tăng không giảm.

+ (u_n) : (-1)²ⁿ.(5ⁿ + 1) = 5ⁿ + 1 .

u_{n + 1} = 5^{n + 1} + 1 > 5ⁿ + 1 = u_n với mọi n ∈ N.

⇒ (u_n) là dãy số tăng.

⇒ (u_n) là dãy số giảm

⇒ (u_n) là dãy giảm.

Câu hỏi

Bài 16 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. x = – 6, y = – 2

B. x = 1, y = 7

C.x = 2, y = 8

D. x = 2, y = 10

Lời giải:

Câu hỏi

Bài 17 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số nhân – 4, x, – 9. Hãy họn kết quả đúng trong kết quả sau:

A. x = 36

B. x = -6, 5

C. x = 6

D. x = -36

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Giải thích :

-4 ; x ; -9 lập thành CSN ⇔ x² = (-4)(-9) ⇔ x² = 36 ⇔ x = 6 hoặc x = -6.

Câu hỏi

Bài 18 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số cộng (u_n). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Giải thích :

Câu hỏi

Bài 19 (trang 109 SGK Đại số 11): Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn các dãy số là cấp số nhân:

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Giải thích :

⇒ (u_n) không phải CSN.

⇒ (u_n) là CSN với công bội q = 3 ; u₁ = -1.

Đây là CSC với u₁ = -3 ; công sai d = 1.

+ 7 ; 77 ; 777 ; … ; 777…77

Câu hỏi