Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 12
• Sách giáo khoa hình học 12
• Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao
• Giải Toán Lớp 12
• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12

Sách giải toán 12 Bài 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 40 (trang 43 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x³+3x²-4

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.

Lời giải:

a) TXĐ: R

y’>0 trên khoảng (-∞; -2)và (0; +∞)

y'<0 trên khoảng (-2; 0)

y_CĐ=y(-2)=0; y_CT=y(0)=-4

y”=6x+6=6(x+1)=0 <=> x = -1

Bảng xét dấu y’’

X	-∞		-1		+∞
Y’’		–	0	+
Đồ thị		Lồi	điểm uốn u(-1; -2)	lõm

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1)

Hàm số lõm trên khoảng -1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u(-1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)

b) Hàm số y=x³+3x²-4 có điểm uốn u(-1; -2)

Ta có: y’=3x²-4 ; y’(-1) = -3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn u(-1; -2) có dạng

y-y₀=y'(x₀)(x-x₀)

<=> y+2=-3(x+1)

<=> y=-3x-5

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x – 5.

c) Đồ thị nhận I(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:

f(x₀+x)+f(x₀-x)=2y₀ với ∀x

<=> f(x-1)+f(-x-1)=-4 ∀x

<=> (x-1)³+3(x-1)²-4+(-1-x)³+3(-1-x)²-4 ∀x

<=> x³-3x²+3x-1+3x²-6x+3-5-3x-3x²-x³+3+6x+3x²-4=-4 ∀x

<=>-4=4 ∀x

=> I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Bài 41 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=-x³+3x²-1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x³+3x²-1=m

Lời giải:

a) y=-x³+3x²-1. Tập xác định D = R

y’=-3x^2+6x

– Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

– Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0)và (2; +∞)

y_CĐ=y(2)=3; y_CT=y(0)=-1

y”=-6x+6;y”=0 => x = 1

– Hàm số lồi trên khoảng (-∞;1) lõm trên khoảng (1;+∞)

– Hàm số có một điểm uốn I(1; 1)

Bảng biến thiên:

Đồ thị đi qua (0; -1)

b) -x³+3x²-1=m (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y=-x³+3x²-1 với đường thẳng y = m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

– Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm

– Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

– Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm

– Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

– Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.

Kết luận:

Bài 42 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao): Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) * TXĐ: R

y’> 0 trên khoảng (-∞; -1)và(3; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 3)

y_CT=y(3)=-32/3;y_CĐ=y(-1)=0

y”=2x-2=2(x-1)=0 <=> x = 1

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1).

Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -16/3)

Bảng biến thiên

– Đồ thị

Đi qua (0; -5/3);(5;0)

b) TXĐ: R

y’=3x^2-3=0 <=> x=±1

y’> 0 trên khoảng (-∞; -1)và (1; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 1)

y_CĐ=y(-1)=3;y_CT=y(1)=-1

Bảng xét dấu y’’

X	-∞		0		+∞
Y’’		–	0	+
Đồ thị	Lồi		điểm uốn u(0; 1)	lõm

Hàm số có 1 điểm uốn u(0; 1)

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đi qua (0; 1)

+ Tập xác định D = R.

y’=-x²+2x-2=-[(x-1)²+1]<0 ∀x ∈D

– Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

– Hàm số không có cực trị

– Đồ thị không có tiệm cận.

y”=-2x+2;y”=0 => x = 1

– Hàm số lồi trên (1; +∞)lõm trên (-∞;1) nhận I(1; -2) làm điểm uốn.

Bảng biến thiên.

d) y=x³-3x²+3x+1

Tập xác định D = R

y’=3x²-6x+3=3(x-1)²>0 ∀x ∈D

– Hàm số luôn đồng biến (-∞; +∞)

– Hàm số không có cực trị

– Đồ thị không có tiệm cận

y”=6x-6;y”=0 => x = 1

– Đồ thị lồi trên (-∞;1)

– Đồ thị lõm trên (1; +∞)

Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.

Bảng biến thiên

Bài 43 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y=-x⁴+2x²-2

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x⁴+2x²-2=m

c) Viết Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.

Lời giải:

a) TXĐ: R

* y’=-4x³+4x=4x(-x²+1)=0

y’>0 trên khoảng (-∞; -1)và (0;1)

y'<0 trên khoảng (-1;0) và (1; +∞)

y_CT=y(0)=-2;y_CĐ=y(-1)=-1

– y”=-12x²+4=4(-3x²+1)=0

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên.

• Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)

b) Số nghiệm của Phương trình -x⁴+2x²-2=m (1) là giao điểm của đồ thị y=-x⁴+2x²-2 với đường thẳng y = m.

Nếu m > -1 thì Phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu m = 1 thì Phương trình (1) có 2 nghiệm.

Nếu -2 < m < -1: Phương trình có 4 nghiệm.

Nếu m = -2 phương trình (1) có 3 nghiệm

Nếu m < -2: Phương trình (1) có 2 nghiệm

Kết luận:

m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (1) có 2 nghiệm.

m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.

-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.

c) Hàm số y=-x⁴+2x²-2 có 2 điểm uốn đó là:

Phương trình tiếp tuyến uốn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến:

Bài 44 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao): Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y=x⁴-3x²+2     b) y=-x⁴-2x²+1

Lời giải:

a) TXĐ: R

y’=4x³-6x=2x(2x²-3)=0

•Bảng xét dấu y’’

• Bảng thiên thiên

• Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

Giao với Oy (0; 2)

Giao với Ox (-1; 0); (1; 0)

(-√2;0);(√2;0)

b) y=-x⁴-2x²+1

TXĐ: R

y’=-4x⁵-4x=4x(x²-1)=0 <=> x=0

y’> 0 trên khoảng (-∞;0),y'< 0 trên khoảng (0; +∞)

y_CĐ=y(0)=1

y”=-12x²-4<0 ∀x ∈R

Bảng xét dấu y’’

X	-∞	–	+∞
Y’’		Lồi
Đồ thị

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; +∞)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; 1)