Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây

Sách giải toán 12 Ôn tập chương 3 (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1 (trang 107 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho biết tọa độ hai điểm A, B. Làm thế nào để tìm:

a) Tọa độ của vectơ AB→

b) Khoảng cách giữa hai đểm A và B.

c) Tọa độ của trung điểm đoạn AB?

Lời giải:

Cho A(x_A,y_A,z_A) và B(x_B,y_B,z_B)

a) Ta có AB→=(x_B-x_A );y_B-y_A ; z_B– Z_A)

b) Ta có

c) Tọa độ trung điểm AB là:

Bài 2 (trang 108 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho tọa độ bốn đỉnh của một hình tứ diện, làm thế nào để tìm:

a) Tọa độ trọng tâm tứ diện;

b) Tọa độ của tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện;

c) Thế tích tứ diện

d) Độ dài tứ đường cao ứng với một mặt tứ diện?

Lời giải:

Cho tứ diện ABCD có A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B;y_B,z_B); C=(x_C,y_C,z_C), D = (x_D,y_D,z_D)

a) Tọa độ trọng tâm tứ diện là:

b) Gọi I = (x₀;y₀;z₀) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta có:

Giải hệ ta tìm được tọa độ (x₀;y₀;z₀) của tâm mặt cầu ngoại tập tứ diện ABCD.

Từ đó, tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

Bài 3 (trang 108 sgk Hình Học 12 nâng cao): Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để chứng minh:

a) Hai vectơ cùng phương

b) Ba vectơ đồng phẳng

c) Ba điểm thẳng hàng

d) Bốn điểm không thẳng hàng?

Lời giải:

a) Hai vectơ a→, b→ cùng phương <=> tồn tại số k sao cho a→=k b→ hoặc a→,b→ cùng phương <=> [a→,b→ ]=0→

b) a→,b→,c→ đồng phẳng <= >[a→,b→ ].c→=0→

c) Ba điểm A, B, C thẳng hàng <=> AB→,BC→ cùng phương.

d) Bốn điểm A, B, C không đồng phẳng <=> vectơ AB→,AC→,AD→ không đồng phẳng <=> [AB→.AC→ ].(AD) ⃗ ≠ 0

Bài 4 (trang 108 sgk Hình Học 12 nâng cao): Trong mỗi trường hợp sau, hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm không thẳng hàng

b) Đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

c) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau cho trước.

d) Đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước.

e) Đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cho trước.

f) Chứa hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau..

g) Đi qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải:

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ n→=[AB→.AC→ ] làm vectơ pháp tuyến.

b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d) là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ chỉ Phương của (d) làm vectơ pháp tuyến.

c) Mặt phẳng đi qua A và song song với hai đường thẳng chép nhau d₁,d₂ là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ n→=[u₁→.u₂→ ] làm vectơ pháp tuyến, trong đó u₁→,u₂→ lần lượt là vectơ chỉ Phương của d₁ và d₂.

d) Mặt phẳng đi qua đường thẳng (d₁) và song song với (d₂ ) là mặt phẳng đi qua M₀∈(d₁) và nhận vectơ n→=[u₁→,u₂→ ] làm vectơ pháp tuyến. trong đó u₁→,u₂→ lần lượt là vectơ chỉ Phương của d₁ và d₂.

e) Mặt phẳng đi qau A vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước (P) và (Q) là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ n→=[n₁→,n₂→ ] làm vectơ pháp tuyến; trong đó n₁→ và n₂→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

f) Mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song (d₁) và (d₂) là mặt phẳng đi qua M₁ và nhận vectơ [u₁→,M₁M₂→] làm vectơ pháp tuyến, trong đó M₁∈(d₁ ),M₂∈,u₁→là vectơ chỉ Phương của (d₁).

Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau (d₁) và (d₂) là mặt đi qua M₁∈(d₁) và nhận vectơ n→=[u₁→,u₂→ ] làm vectơ pháp tuyến, trong đó u₁→,u₂→ lần lượt là vectơ chỉ Phương của d₁ và d₂.

g) Mặt phẳng đi qua đường thẳng (d) và vuông góc với mp(P) (d không vuông góc với mp(P)) là mặt phẳng đi qua M₀∈(d) và nhận vectơ [u→,n→ ] làm vectơ pháp tuyến; trong đó u→ là vectơ chỉ Phương của (d), n→ là vectơ pháp tuyến của mp(P).

Bài 5 (trang 108 sgk Hình Học 12 nâng cao): Trong những trường hợp sau, làm thế nào để viết phương trình đường thẳng:

a) Đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương cho trước.

b) Đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

c) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

d) Đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.

e) Đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước.

f) Là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước?

Lời giải:

a) Đường thẳng đi qua M₀ (x₀,y₀,z₀ ) và nhận u→ (a,b,c) làm vectơ chỉ Phương có Phương trình là

b) Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(x_A,y_A,z_A) và B = (x_B,y_B,z_B) là đường thẳng đi qua A(x_A,y_A,z_A) và vectơ chỉ phương là u→=AB→=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A), nên đường thẳng AB có phương trình là

c) Đường thẳng đi qua A(x_A,y_A,z_A) và vuông góc với mp(α):

Ax+By+Cz+D=0 là đường thẳng đi qua A(x_A,y_A,z_A) và nhận vectơ chỉ Phương nên đường thẳng đó có Phương trình:

d) Đường thẳng đi qua A và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ n→=[n₁→,n₂→ ] làm vectơ chỉ phương, trong (n₁→,n₂→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

e) Để viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt nhau hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ ta làm như sau:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d₁:

+ Viết Phương trình mặt phẳng (Q) chứa A và d₂”

+ Giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng cần tìm, vậy Phương trình đường thẳng cần tìm là hai hệ Phương trình của mặt phẳng P và mp(Q).

f) Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau, đường vuông góc chung Δ của d₁ và d₂ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) chứa d₁ và Δ chứa d₂ và chứa Δ.

Vậy để viết Phương trình đường vuông góc chung của d₁ và d₂ cần viết được phương trình của (P) và (Q)

+ Mặt phẳng (P) chứa d₁ và Δ là mặt phẳng đi qua M₁∈d₁ và nhận vectơ [n₁→,[n₁→,n₂→ ]] làm vectơ pháp tuyến, trong đó n₁→,n₂→ lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂.

+ Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và Δ là mặt phẳng đi qua M₂∈d₂ và nhận vectơ [n₂→n₁→,n₂→]] làm vectơ pháp tuyến.

Vậy Phương trình của Δ là hệ Phương trình của hai mẳ phẳng (P) và (Q).

Bài 6 (trang 108 sgk Hình Học 12 nâng cao): Bằng Phương pháp tọa đố, làm thế nào để xác định được vị trí tương đối.

a) Giữa hai mặt phẳng?

b) Giữa hai đường thẳng?

Lời giải:

a) Cho hai mặt phẳng có phương trình (P): Ax+By+Cz+D=0

(Q): A’x + B’y+C’z + D’=0

Khi đó, (P) cắt (Q) <=> A: B: C ≠ A’: B’: C’

Chú ý: A: B: C ≠ A’: B’: C’ khi và chỉ khi có ít nhất hai trong ba tỉ số:

b) Cho 2 đường thẳng d₁ đi qua M₁(x₁,y₁,z₁) và vectơ chỉ phương u₁→(a₁,b₁,c₁) và d₂ đi qua M₂ (x₂,y₂,z₂) và vectơ chỉ phương u₁→(a₂,b₂,c₂)

Khi đó, +) d₁ và d₂ chéo nhau <=> u₁→,u₂→,M₁M₂→ không đồng phẳng

<=> [u₁→,u₂→].M₁M₂→ ≠ 0

Chú ý: chúng ta có thể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng cách xét số nghiệm của hệ phương trình gồm hai phương trình của hai đường thẳng.

+ Nếu hệ có 1 nghiệm thì đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu có vô số nghiệm thì hai đường thẳng song song (nếu đồng phẳng) hoặc chéo nhau.

Bài 7 (trang 109 sgk Hình Học 12 nâng cao): Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để tính khoảng cách:

a) Từ một điểm đến một mặt phẳng.

b) Từ một điểm đén một đường thẳng

c) Giữa hai đường chéo nhau.

d) Giữ hai đường thẳng song song

e) Giữa hai mặt song song.

f) Giữa đường và mặt phẳng song song với đường thẳng đó.

Lời giải:

Cho điểm A(x₀,y₀,z₀),mp(α):Ax+By+Cz+D=0;

Đường thẳng

a) Khoảng cách từ điểm A đến mp(α) được xác định như sau:

b) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d₁) là:

Trong đó (M₁ (x₁,y₁,z₁) là điểm trên (d₁ ),(u_1 ) ⃗(a₁,b₁,c₁) là vectơ chỉ phương của d₁.

c) Giả sử d₁ và d₂ chéo nhau, khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

Trong đó M₁∈d₁và u₁→ là vectơ chỉ Phương của d₁

M₂ ∈d₂và u₂→ là vectơ chỉ phương của d₂

d) Giả sử d₁ và d₂ong song với nhau, khi đó cách từ d₁ đến d₂ là khoảng cách từ 1 điểm trên d₁ đến đường thẳng d₂, chẳng hạn:

Trong đó M₁∈d₁,M₂∈d₂,u₂→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d₂.

e) Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau, khi đó khoảng cách giữa (α)và (β) là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc (β)đến (α).

Chẳng hạn, M(x₀,y₀,z₁0 )∈(β)và (α):Ax+By+Cz+D=0

Khi đó

f) Giả sử đường thẳng d₁ong song với mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0. Khi đó khoảng cách từ d₁ đến mặt phẳng (α) là khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc d₁ đến mp(α)

Chẳng hạn M₁ (x₁,y₁,z₁ )∈d₁, khi đó ta có:

Bài 8 (trang 109 sgk Hình Học 12 nâng cao): Trong các trường hợp sau, làm thế nào để xác định được tọa độ của điểm:

a) Là hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng cho trước.

b) Là hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước.

c) Đối xứng với một điểm cho trước qua một mặt phẳng cho trước.

Lời giải:

a) Để xác định tọa độ hình chiếu của điểm A(x₀,y₀,z₀) lên mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:

+ Viết phương trình đường thăng Δ đi qua A và Δ vuông góc với (α), khi đó (α) có phương trình:

Trong đó vectơ n→(A,B,C) là vectơ pháp tuyến của (α) lại chính là vectơ chỉ Phương của Δ (vì Δ ⊥ (α).

+ Tìm tọa độ giao điểm của Δ và (α) là nghiệm của hệ

Giao điểm tìm được chính là hình chiếu của A lên mp(α).

b) Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(x₀,y₀,z₀) lên đường thẳng

ta làm như sau:

+ viết Phương trình mặt phẳng đi qua A(x₀,y₀,z₀) và vuông góc với d, đó là mặt phẳng đi qua A(x₀,y₀,z₀) và nhận vectơ chỉ phương của d là u→(a,b,c) là vectơ pháp tuyến, nên mặt phẳng đó có phương trình là: a(x-x₀ )+b(y-y₀ )+c(z-z₀ )=0.

+ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng trên ta được hình chiếu vuông góc của A lên d.

c) Để tìm điểm đối xứng A’ của A(x₀,y₀,z₀) qua mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:

+ Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên mp(α):

+ Vì A’ đối xứng với A lên H là trung điểm của đoạn AA’, từ đó ta tìm được tọa độ A’ qua hệ thức:

Bài 1 (trang 109 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho bốn điểm A(1, 6, 2), B(4, 0, 6); C(5, 0, 4), D(5, 1, 3).

a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD.

c) Viết Phương trình mp(BCD)

d) Viết Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.

Lời giải:

a) Ta có: AB→=(3,-6,4);AC→=(4,-6,2),AD→=(4,-5,1)nên [AB→.AC→ ].AD→=4 ≠ 0. Suy ra A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Thể tích tứ diện ABCD là:

c) Mặt phẳng (BCD) là mặt đi qua B(4, 0, 6) và nhận vectơ [BC→BD→] là vectơ pháp tuyến.

Ta có BC→=(1,0,-2);BD→=(1,1,-3), suy ra [BC→BD→ ]=(2,1,1) nên mp(BCD) có phương trình là:

2(x-4)+y+(z-6)=0 <=> 2x+y+x-14=0

d) Mặt cầu tâm A(1, 6, 2) tiếp xúc với mp(BCD) có bán kính là

Nên mặt cầu có phương trình là: (x-1)²+(y-6)²+(z-2)²=8/3

Tiếp điểm H của mặt cầu với mp(BCD) chính là hình chiếu vuông góc của tâm A(1, 6, 2) lên mp(BCD)

Để tìm tọa độ điểm H trước hết ta viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và Δ ⊥ (BCD))

Δ đi qua A(1, 6, 2) và nhận vectơ pháp tuyến của mp(BCD) là n→=(2,1,1)là vectơ chỉ phương, nên Δ có phương trình

Khi đó H là giao điểm của Δ và mp(BCD), nên tọa độ của H là nghiệm của hệ

Bài 2 (trang 109 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hai điểm A(1, -1, -2); B(3,1, 1) và mp(P): x-2y+3z-5=0

a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mp(P).

b) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P).

c) Viết phương trình mp(Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P).

d) Tìm tọa độ giao điêm I của đường thẳng AB và mp(P). viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

Lời giải:

a) + Viết Phương trình đường thẳng d đi qua A và (d) ⊥ mp(P).

Đường thẳng (d) đi qua A(1, -1, -2) và nhận vectơ pháp tuyến của mp(P) là n→=(1,-2,3) là vectơ chỉ phương, nên đường thẳng (d) có phương trình

+ Tìm tọa độ giao điểm H của d và mp(P)

Tọa độ của H là nghiệm của hệ:

+ Vì A và A’ đối xứng với nhau qua mp(P) nên H chính là trung điểm của AA’, ta có:

b) Ta có (AB) ⃗=(2,2,3), vectơ pháp tuyến của mp(P) là n→=(1,-2,3) nên góc giữa AB và mp(P) xác định như sau:

c) Mặt phẳng (Q) đi qua AB vuông góc với mp(P) là mặt phẳng đi qua A(1, -1, -2) và nhận vectơ [AB→,n→ ]=(12,-3,6) làm vectơ pháp tuyến, nên mp(Q) có phương trình là:

12(x-1)-3(y+1)-6(z+2)=0 <=> 4x-y-2z-9=0

d) Đường thẳng AB có phương trình:

nên tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P) là nghiệm của hệ

Vì đường thẳng Δ nằm trogn mp(P) và Δ ⊥ AB nên Δ nhận vectơ u→=[n→,AB→] làm vectơ chỉ Phương, với AB→=(2,2,3), n→=(1,-2,3) là vectơ pháp tuyến của mp(P).

Ta tính được u→=[n→,AB→ ]=(-12,3,6)

Nên phương trình của đường thẳng Δ là

Bài 3 (trang 109 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:

a) Viết Phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

b) Viết phương trình đường thẳng d₁ là hình chiếu của d trên mp(P) theo phương Oz.

c) Viết Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

Lời giải:

a) Hình chiếu d’ của d lên mp(P) là giao tuyến của (P) và (Q), trong đó (Q) là mặt phẳng chứa d và (q) vuông góc với (P). mặt phẳng (Q) đi qua

Δd nhận vectơ [u→,n→]=(4,0,-4), nên mp(Q) có phương trình là:

Vậy Phương trình tổng quát của đường thẳng (d’) là:

b) Hình chiếu d₁ của d trên mp(P) theo Phương Oz là giao tuyến của mp(P) và mp(R), trong đó mp(R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz.

Mặt phẳng (R) đi qua M₀ (2/3;-11/3;0)∈d và nhận vectơ [u₁→,k→ ] làm vectơ pháp tuyến, trong đó u₁→=1,1,1) là vectơ chỉ Phương của d và k→=(0,0,1) là vectơ chỉ Phương của Oz, ta tính được [u₁→,k→ ]=(1; -1;0). Vậy mp(R ) có Phương trình là:

Suy ra Phương trình tổng quát của đường thẳng (d₁) là:

c) Gọi Δ là đường thẳng đi qua gốc tọa đọ O, cắt d và song song với mp(P). khi đó Δ là giao tuyến của hai mặt (α)và (β) là mặt phẳng đi qua O và song song với mp(P).

Mặt phẳng (α) có Phương trinh: -11x-2y+13z=0

Mặt phẳng (β) có phương trình: x-3y+z=0

Vậy đường thẳng Δ có Phương trình tổng quát là:

Bài 4 (trang 110 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho điểm A(2, 3, 1) và hai đường thẳng:

a) Viết Phương trình mp(P) đi qua A và d₁

b) Viết Phương trình mp(Q) đi qua A và d₂.

c) Viết Phương trình đường thẳng d đi qua A cắt ₁ và d₂.

d) Tính khoảng cách từ A đến d₂.

Lời giải:

a) Đường thẳng d₁d đi qua M₁ (-2;2;0) và có vectơ chỉ phương n₁→=(-1;1;2)

Mặt phẳng (P) đi qua A và cắt d₁ là mặt phẳng đi qua A(2; 3; 1) và nhận [AM₁→,n₁→ ]=(-1;9; -5) làm vectơ pháp tuyến, nên mp(P) có phương trình:

-(x-2)+99y-3)-5(z-1)=0 <=> -x+9y-5z-20=0

b) Đường thẳng d₂ đi qua M₂ (-5;2;0) và có vectơ chỉ phương n₂→=(3; -1;1)

Mặt phẳng (Q) đi qua A và d₂ẽ nhận vectơ [AM₂→,n₂→]=(-2;4;10) làm vectơ pháp tuyến, nên mp(Q) có Phương trình:

-2(x-2)+4(y-3)+10(z-1)=0 <=> -2x+4y+10z-18=0 <=> x-2y-5z+9=0

c) Đường thẳng d đi qua A cắt d₁ và d₂ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q) nên d có Phương trình tổng quát:

d) Khoảng cách từ A đến d₂, được xác định như sau:

Bài 5 (trang 110 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hai đương thẳng:

a) Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Tìm góc giữa chúng.

b) Tìm khoảng cách giữa d và d’.

c) Viết Phương trình vuông góc chung của d và d’.

d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

Lời giải:

Giải

Đường thẳng d đi qua M(0; 1; 6) và có vectơ chỉ phương u→=(1,2,3)

d’ đi qua M’(1; -2; 3) và có vectơ chỉ Phương u’→=(1;1; -1)

a) Ta có MM’→=(1; -3; -3),[u→,u’→ ]=(-5;4; -1)

Suy ra [u→,u’→ ].MM’→=-14 ≠ 0 nên d và d’ chéo nhau.

Ta có

Vậy d ⊥ d’.

b) Ta có [u→,u’→ ]=(-5;4; -1),[u→,u’→ ].MM’→=-14 (theo câu a)

c) Theo câu a, ta có d⊥d’, vậy đường vuông góc của d và d’chính là giao tuyến của mp(P) và mp(Q). Trong đó mp(P) chứa d và vuông góc với d’, mp(Q) chứa d’ và vuông góc với d.

Phương trình mp(P) là: 1(x-0)+1(y-1)-1(z-6)=0

<=> x+y-z+5=0

Phương trình mp(Q) là: 1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0

<=> x+2y+3z-6=0

Vậy Phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là:

hoặc có phương trình tham số là:

d) Đường thẳng song song với OZ và cắt cả d và d’ là giao tuyến của mp(α) và mp(β);

Trong đó (α) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz.

(β) là mặt phẳng chứa d’ và song song với Oz.

Đường thẳng Oz có vectơ chỉ Phương là k→=(0;0;1)

Mặt phẳng (α) đi qua M(0; 1; 6) và nhận [u→,k→]=(2; -1;0) làm vectơ pháp tuyến nên α có Phương trình là: 2x-y+1=0

Tương tự mp(β) có Phương trình: x – y- 3 =0

Vậy Phương trình đường thẳng cần tìm là:

Hay có Phương trình tham số là:

Bài 6 (trang 110 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hai đường thẳng:

a) Chứng minh rằn d và d’ đồng phẳng. viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng.

b) Tính thể tính hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ.

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua M(7; 2; 1) và có vectơ chỉ phương u→=(3;2; -2) d’ đi qua M’(1; -2; 5) và có vectơ chỉ phương u’→=(2; -3;4)

Ta có [u→,u’→ ]=(2; -16; -13), MM’→=(-6; -4;4)

Mặt phẳng (P) chứa d và d’ có vectơ pháp tuyến là [u→,u’→ ]=(2; -16; -13) đi qua (P) đi qua M(7; 2; 1) ∈d nên (P) có phương trình là:

2(x-7)-16(y-2)-13(z-1)=0 <=> 2x-16y-13z+31=0

b) Mặt phẳng (P) cắt Ox tại A(-31/2;0;0); cắt Oy tại B(0;31/16;0); cắt Oz tại C(0;0;31/13). Suy ra thể tích tứ diện cần tìm là:

c) Viết Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O, A, B, C.

Gọi Phương trình mặt cầu là: x²+y²+z²+ax+ay+cz+d=0

Vì mặt cầu đi qua O(0; 0; 0) nên d = 0’

Vậy Phương trình mặt cầu là:

Bài 7 (trang 111 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hai đường thẳng:

a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

b) Viết Phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình của mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d.

c) Viết Phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua M(0; 3; 6) và có vectơ chỉ phương u→=(1;0;1)

d’ đi qua M'(2;1;2) và có vectơ chỉ Phương (u’→=(1; -1; -1)

a) Ta có [u→,u’→ ]=(1;2; -1);MM’→=(2; -2; -4) nên [u→,u’→ ].MM’→=2 ≠ 0 nên d và d’ chéo nhau.

Mặt khác [u→,u’→ ]=0 nên d và d’ vuông góc với nhau.

b) Mặt phẳng (P) đi qua d và vuông góc với d’ nên (P) đi qua điểm M(0; 3; 6) ∈dvà nhận vectơ chỉ Phương của d’ là (u’) ⃗=(1; -1; -1) làm vectơ pháp tuyến. vậy mp(P) có phương trình là:

(x-0)-(y-3)-(z-6)=0 <=> x-y-z+9=0

Tương tự, ta viết được phương trình mặt phẳng (Q) là: x + z – 4 = 0

c) Vì d và d’ vuông góc với nhau nên đường thẳng vuông góc chung Δ) của d và d’ chính là giao tuyến của (P) và (Q). theo cầu b, ta có Phương trình tổng quát của (Δ) là:

Chuyển về Phương trình chính tắc ta được.

Bài 8 (trang 111 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:

(P): 2x-y+z+2=0 và (Q): x-y+2z-1=0

a) chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hia mặt phẳng đó.

b) viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 2; -3), song song với cả (P) và (Q).

c) viết phương trình mp(R) đi qua B(-1; 3; 4), vuông góc với cả (P) và (Q).

Lời giải:

a) Mp(P) có vectơ pháp tuyến n₁→=(2; -1;1)

Mp(Q) có vectơ pháp tuyến n₂→=(1;1;2)

Ta có: [n₁→,n²→]=)-3; -3;3) ≠ 0→ , vậy (P) và (Q) cắt nhau.

Ta có

b) Đường thẳng d đi qua A(1; 2; -3) và song song với cả (P) và (Q) là đường thẳng đi qua A(1; 2; -3) và nhận[n₁→,n₂→]=(-3; -3;3) là, vectơ chỉ phương, vậy Phương trình của d là:

c) Mặt phẳng (R ) đi qua B(-1, 3, 4) và vuông góc với cả (P) và (Q) là mặt phẳng đi qua B(-1; 3; 4) và nhận[n₁→,n₂→ ]=(-3; -3;3) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy (R ) có phương trình là: -3(x+1)-3(y-3)+3(z-4)=0

<=> x+y-z+2=0

Bài 9 (trang 111 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho mặt cầu (S) có phương trình: x₂+y₂+z₂-2x-4y-6z=0

a) Tìm tọa độ tâm mặt cầu và tính bán kính mặt cầu.

b) Tùy theo giá trị của k, xét vị trị tương đối của mặt cầu (S) và mp(P) với (P): x+y-z+k=0

c) Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba diểm A, B, C khác với góc tọa độ O. Viết Phương trình mp(ABC).

d) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.

e) Viết Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q): 4x+3y-12z-1=0

Lời giải:

a) Phương trình: x²+y²+z²-2x-4y-6z=0

 (x-1)²+(y-2)²+(z-3)²=14

Vậy mặt cầu (S) có tâm là I = (1; 2; 3), bán kính R = √14

b) Tính khoảng cách từ tâm I(1; 2; 3) của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là:

thì (P) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.

thì mp(P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.

thì mp(P) cắt mặt cầu (S)

c) Mặt cầu (S) cắt trục Ox tại A(2; 0; 0) và O(0; 0; 0)

(S) cắt trục Oy tại B(0; 4; 0) và O(0; 0; 0)

(S) cắt trục Oz tại C(0; 0; 6) và O(0; 0; 0)

Vậy mặt phẳng (ABC) có phương trình:

d) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B(0; 4; 0) là mặt phẳng đi qua B(0; 4; 0) và có vectơ pháp tuyến là BI→=(1; -2;3), vậy Phương trình của mặt phẳng đó là: (x-0)-2(y-4)+3(z-0)=0 <=> x-2y+3z+8=0

e) Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp(Q): 4x+3y-12z-1=0 nên có dạng: 4x+3y-12z+D=0 (α)

Vì mặt tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:

Vậy mặt phẳng cần tìm có Phương trình là: 4x+3y-12z+26+13√14=0 hoặc 4x+3y-12z+26-13√14=0

Bài 10 (trang 111 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hình lập Phương ABC.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tỉa AA’, AB, AD (có chung gốc A) lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p.

a) Tìm sự liện hẹ giữa m, n, p sao cho mp(MNP) đi qua đỉnh C’ của hình lập Phương.

b) Trong trường hợp mp(MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhật của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A = O; Ox, Oy, Oz lần lượt chứa các tia AB, AD, AA’. Khi đó C’ ≡(1,1,1),M(0;0;m);N(n,0,0);P(0;p;0) với m, n, p dương.

a) Mặt phẳng (MNP) có phương trình viết theo đoạn chắn.

Để mp(MNP) đi qua điểm C’(1; 1; 1) thì:

b) Thể tích tứ diện AMNP là

Theo bất đẳng thức cô – si, ta có:

dấu “=” xảy ra khi m = n = p = 3.

Vậy thể tích bé nhất của tứ diện AMNP khi mp(MNP) đi qua C’ là 27/6 tương ứng với m = n = p = 3.

Bài 1 (trang 112 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; -3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ Q là:

A. (-2; -3; 4) B. (3; 4; 2)

C. (2; 3; 4) D. (-2; -3; -4)

Lời giải:

Vì MNPQ là hình bình hành nên MN→=PQ→

Mà NM→=(2;3;0), PQ→=(x_Q;y_Q;z_Q-4)

Suy r x_Q=2;y_Q=3;z_Q=4.

Vậy ta chọn C.

Bài 2 (trang 112 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho ba điểm A(1, 2, 0). B(1, 0, -1); C(0; -1; 2). Tam giác ABC là:

A. Tam giác cân đỉnh A B. Tam giác vuông đỉnh A.

C. Tam giác đều D. Không phải như A, B, C.

Lời giải:

Ta có AB = √5;BC=√11,AC=√14

Vậy A, B, C không thể là đỉnh của tam giác cân hay tam giác vuông, hay tam giác đều.

Vậy ta chọn D.

Bài 3 (trang 112 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho tam giác ABC có A = (1; 0; 1); B = (0; 2; 3); C = (2; 1; 0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:

Lời giải:

Ta có độ dài đường cao kẻ từ C là khoẳng cách từ C đến đường thẳng AB và được tính theo công thức:

Vậy ta chọn C.

Bài 4 (trang 112 sgk Hình Học 12 nâng cao): Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1, 1, 1), (2, 3, 4), (6, 5, 2). Diện tích của hình bình hành đó là:

A. 2√83 B. √83 C. 83 D. √83/2

Lời giải:

Gọi A(1; 1; 1), B(2; 3; 4); C(6; 5; 2) và D(7; 7; 5). Diện tích hình bình hành ABCD là:

S=|[AB→,AC→]| (vì AB→=CD→nên AB và AC là 2 cạnh kề nhau của hình bình hành).

Vậy S = √332=2√83, nên ta chọn A

Bài 5 (trang 112 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho A(1; 0; 0); B(0; 1; 0); C(-4; -2; 0) và D(-2; 1; -1). Thể tích của tứ diện ABCD là:

A. 1 B. 2 C. 1/3 D. 1/2

Lời giải:

Thể tích tứ diện ABCD được tính theo công thức:

Ta tính được [AB→,AC→ ]=(1;1;1) nên V=1/2, nên chọn D

Bài 6 (trang 112 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho A(-1; -2; 4); B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1) và D(1; 1; 1). Độ dài dường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:

A. 3 B. 1 C. 2 D.1/2

Lời giải:

Độ dài dường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D được xác định như sau:

ta có [AB→,AC→ ]=(0; -25;0),AD→=(2;3; -3)

Vậy chọn (A)

Bài 7 (trang 112 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho bốn điểm A(1; 1; 1); B(1; 2; 1); C(1; 1; 2) và D(2; 2; 1). Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ.

Lời giải:

I(x, y, z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khi

Giải hệ ta được

Vậy chọn B.

Bài 8 (trang 113 sgk Hình Học 12 nâng cao): Bán kính mặt cầu tâm I(3; 3; -4) tiếp xúc với trục Oy bằng:

A. 5 B. 4 C. √5 D. 5/2

Lời giải:

Nếu mặt cầu tâm I(3; 3; -4) tiếp xúc với trục Oy thì bán kính là khoảng cách từ I đến Oy bằng:

Vậy chọn A.

Bài 9 (trang 113 sgk Hình Học 12 nâng cao): Mặt cầu tâm I(2; 1; -1) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có Phương trình là:

A. (x-2)²+(y-1)²+(z+1)²=4

B. (x-2)²+(y-1)²+(z+1)²=1

C. (x+2)²+(y-1)²+(z-1)²=4

D. (x+2)²+(y-1)²+(z+1)²=2

Lời giải:

Nếu mặt cầu tâm I(2; 1; -1) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) nên có bán kính là khoảng cách từ I đến mp(Oyz) và bằng: 2 nên Phương trình mặt cầu là: (x-2)₂+(y-1)₂+(z-1)₂=4.

Vậy chọn A.

Bài 10 (trang 113 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho ba điểm A(1; 1; 3); B(-1; 3; 2) và C(-1; 2; 3). Mặt phẳng (ABC) có Phương trình là:

A. x+2y+2z-3=0 B. x-2y+3z-3=0

C. x+2y+2z-9=0 D. x²+2y+2z+9=0

Lời giải:

Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng đi qua A(1; 1; 3) và nhận vectơ [AB→,AC→ ] làm vectơ pháp tuyến. ta có [AB→,AC→]=(1;2;1) nên mp(ABC) có Phương trình là: x+2y+2z-9=0.

Vậy chọn C.

Bài 11 (trang 113 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho ba điểm A(1, 0, 0); B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3). Phương trình nào sau đây không phải là Phương trình mặt phẳng (ABC)?

B. 6x+3y+2z-6=0

C. 6x+3y+2z+6=0

D. 12x+6y+4z-12=0

Lời giải:

Mặt phẳng (ABC) có phương trình viết đoạn chắn là:

Vậy chọn D.

Bài 12 (trang 113 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hai điểm A(1; 3; -4) và B(-1; 2; 1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

A. 4x+2y-12z-17=0 B. 4x+2y+12z-17=0

C. 4x-2y-12z-17=0 D. 4x-2y+12z-17=0

Lời giải:

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm I(0;5/2; -1) của AB và nhận AB→(-2; -1;6) làm vectơ pháp tuyến, nên mặt phẳng có phương trình là:

-2x-(y-5/2)+6(z+1)=0

<=> -4x-2y+12z+17=0 <=> 4x+2y-12z-17=0.

Vậy chọn A.

Bài 13 (trang 114 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho A(a, 0, 0); B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho

Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:

nên ta thấy (ABC) đi qua điểm (1/2;1/2;1/2).

Vậy chọn C.

Bài 14 (trang 114 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho điểm A(-1; 2; 1) và hai mặt phẳng (P): 2x+4y-6z-5=0 và (Q): x+2y-3z=0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. mp(Q) đi qua A và song song với (P).

B. mp(Q) không đi qua A và song song với (P)

C. mp(Q) đi qua A và không song song với (P)

D. mp(Q) không đi qua A và không song song với (P)

Lời giải:

Thay tọa độ của điểm A(-1; 2; 1) và Phương trình mp(Q) ta thấy thỏa mãn, nên (Q) đi qua A.

Mặt khác

Nên (P) và (Q) song song với nhau. Vậy chọn A.

Bài 15 (trang 114 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho điểm A(1; 2; -5). Gọi M, n, P là hình chiếu của A trên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là:

Lời giải:

Vì M, N, P là hình chiếu của A(1; 2; -5) lên ba trục Ox, Oy, Oz nên ta có: M(1; 0; 0); N(0; 2; 0); P(0;0; -5)

Vậy mp(MNP) có phương trình là:

Vậy chọn A.

Bài 16 (trang 114 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho mặt cầu (S): x²+y²+z²-2(x+y+z)-22=0 và mặt phẳng (P): 3x-2y+6z+14=0. Khoảnh cách từ tâm I của mặt cầu S tới mặt phẳng P là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Tọa độ tâm mặt cầu (S) là I = (1; 1; 1). Khoảng cách từ I(1; 1; 1) đến mp(P): 3x-2y+6z+14=0 là:

Vậy chọn C.

Bài 17 (trang 114 sgk Hình Học 12 nâng cao): Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C trọng tâm tam giác ABC là G(-1; -3; 2). Phương trình mặt phẳng (P) là:

A. x+y-z-5=0 B. 2x-3y-z-1=0

C. x+3y-2z+1=0 D. 6x+2y-3z+18=0

Lời giải:

Vì G(-1; -3; 2) là trọng tâm tam giác ABC với A(a; 0; 0); B(0; b; 0), C(0; 0; c) nên ta có:

Vậy phương trình mp(ABC) là:

Vậy chọn A.

Bài 18 (trang 115 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hình lập Phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mp (A’MD). Một học sinh giải như sau:

Bước 1. Chọn hệ trục tọa độ như hình bên. Kéo dài DM cắt AB tại E. khi đó, A = (0; 0; 0), E =(2; 0; 0), D = (0; 1; 0); A’ = (0; 0; 1)

Bước 2. Viết Phương trình mặt phẳng (A’MD)

Bước 3. Khoảng cách

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Đúng

B. Sai ở bước 1

C. Sai ở bước 2

D. Sai ở bước 3

Lời giải:

Học sinh giải đúng. Vậy chọn A.

Bài 19 (trang 115 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hai điểm A(1; -1; 5) và B(0; 0; 1), Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:

A. 4x-z+10 B. 4x+y-z+1=0

C. 2x+z-5=0 D. y+4z-1=0

Lời giải:

Mặt phẳng (P) chứa A, B song song với Oy sẽ có vectơ pháp tuyến là: [AB→,J→]. Trong đó AB→=(-1;1; -4),J→=(0;1;0) là vectơ chỉ Phương của Oy ta tính được [AB→,J→ ]=(4;0; -1)

Nên mp(P) có Phương trình là: 4x-z+1=0. Vậy chọn A.

Bài 20 (trang 115 sgk Hình Học 12 nâng cao): Mặt phẳng (P) chứa Oz và điểm A(2, -2, 5) có phương trình là:

A. 2x + 3y = 0 B. 2x – 3y = 0

C. 3x + 2y = 0 D. 3x – 2y + z = 0

Lời giải:

Mặt phẳng (P) chứa Oz và điểm A(2; -3; 5). Vì mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, vì mp(P) đi qua A(2; -3; 5) nên ta có: 2A – 3B = 0, chọn A = 3 => B = 2 (vì A²+B² ≠ 0)

Vậy mp(P) có phương trình: 3x+2y=0. Vậy chọn C.

Bài 21 (trang 116 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho mặt phẳng (P) có chứa Phương trình x – y – 1 = 0. Điểm H(2; -1; -2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên một mặt phẳn (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng:

A. 30^o B. 45^o C. 60^o D. 90^o

Lời giải:

Vì mp(Q) chứa điểm H là hình chiếu vuông góc của O nên mp(Q) đi qua H và nhận OH→=(2; -1; -2) làm vectơ pháp tuyến, nên mp(Q) có góc giữa (P) và (Q) được xác định theo công thức:

Vậy chọn B.

Bài 22 (trang 116 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng

Phương trình mặt phẳng (a, d) là:

A. 23x+17y-z-14=0 B. 23x-17y-z+14=0

C. 23x+17y+z-14=0 D. 23x-17y+z-14=0

Lời giải:

Phương trình

Mặt phẳng (α) chứa d có dạng: m(4x-3y+3)+n(y-4z-13)=0, m²+n² ≠ 0. Vì mp(α) đi qua A(1, 2, 3) nên ta có:

m(4x-3y+3)+n(y-4z-13)=0

<=> m-23n=0, ta chọn n = 1 => n = 23

Vậy Phương trình mp(α) là: 23(4x-3y+3)+(y-4z-13)=0

<=> 92x-68y-4z+56=0 <=> 23x-17y-z+14=0. Vậy chọn B.

Chú ý. Có thể tìm ra Phương trình mp(α) bằng cách thay tọa độ của A(1;2; 3) vào các đáp án đã cho và sử dụng Phương pháp loại trừ.

Bài 23 (trang 116 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. d₁,d₂ cắt nhau B. d₁,d₂ trung nhau

C. d₁//d₂ D. d₁,d₂ chéo nhau

Lời giải:

d₁ đi qua M₁ (1;0;3) có vectơ chỉ phương là u₁→=(1;2;3)

d₂ đi qua M₂ (0;1;2) có vectơ chỉ phương là u₂→=(2;4;6)

Ta thấy u₁→ và u₁→ cùng Phương, chứng tỏ d₁ và d₂ong song hoặc trùng nhau. Mặt khác điểm M₁ (1;0;3) không thuộc (₂). Vậy d₁ // d₂.

Vậy chọn C.

Bài 24 (trang 116 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho mặt phẳng (α):x+3y+x+1=0 và đường thẳng

Tọa độ giao điểm A của d và (α) là:

A. A(3; 0; 4) B. A(3; -4; 0)

C. A(-3; 0; 4) D. A(3; 0; -4)

Lời giải:

Thay x, y, z ở Phương trình của d vào Phương trình của (α) ta được:

1+t+3(2-t)+2-3t+1=0 <=> -5t+10=0 <=> t = 2

Thay t = 2 vào phương trình d ta được

Vậy chọn D.

Bài 25 (trang 116 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho đường thẳng

Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua M(0; 1; 2) và vectơ chỉ phương u→=(2; -1;1) nên d có phương tham số là

đường thẳng d còn đi qua điểm M’(4; -1; 4) ứng với t = 2 và có vectơ chỉ phương u’→=(-2;1; -1) nên Phương trình tham số của d còn viết dưới dạng:

Vậy chọn B

Bài 26 (trang 117 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hai điểm A(2, 3, -1) và B(1, 2, 4) và ba phương trình sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Chỉ (I) là Phương trình của đường thẳng AB.

B. Chỉ (III) là Phương trình của đường thẳng AB.

C. Chỉ (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB.

D. Cả (I), (II) và (III) đều phương trình của đường thẳng AB.

Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua A(2; 3; -1) và B(1; 2; 4) có vectơ chỉ phương là (AB) ⃗=(-1; -1;5) nên đường thẳng AB có phương trình là:

hoặc AB còn có phương trình là:

Vậy chọn D.

Bài 27 (trang 117 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho ba điểm A(1, 3, 2); B(1, 2, 1), C(1, 1, 3). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC). Một học sinh giải như sau:

Bước 1. Tọa độ trọng tâm của ABC là

Bước 2. Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là: n→=[AB→,AC→]=(-3;1;0)

Bước 3. Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:

Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Đúng B. Sai ở bước 1

C. Sai ở bước 2 D. Sai ở bước 3

Lời giải:

Chọn C

Bài 28 (trang 118 sgk Hình Học 12 nâng cao): Gọi d là đường thẳng qua gốc tọa đô O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với thẳng A:

Phương trình của d là:

Lời giải:

Chọn D

Bài 29 (trang 118 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho đường thẳng

và mặt phẳng (P): x+2y-z+3=0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. d song song với (P) B. d cắt (P)

C. d vuông góc với (P) D. d nằm trên (P)

Lời giải:

Chọn D

Bài 30 (trang 118 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho điểm A(1, 1, 1) và đường thẳng

Hình chiếu của A trên d có tọa độ là:

A. (2; -3; 1) B. (2; -3; -1)

C. (2; 3; 1) D. (-2; 3;1)

Lời giải:

Hình chiếu vuông góc của A lên d là giao điểm của mp(α) đi qua A vuông góc với d với đường thẳng a.

Mp(α) có phương trình : -x-y+2z+3=0

Từ đó tìm được giao điểm H của d và (α) là: H = (2; -3; 1).

Vậy chọn A.

Bài 31 (trang 119 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1;0); C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2). Tính khoảng cách giữa AC và BD.

Một học sinh giải như sau:

Bước 1. AC→=(-1;1;0),BD→=(-1; -1;2),AB→=(0;1;0)

Bước 2. [AC, BD]=(2;2;2)

Bước 3.

Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Đúng B. Sai ở bước 1.

C. Sai ở bước 2 D. Sai ở bước 3

Lời giải:

Khoảng cách giữa AC và BD được xác định theo công thức:

Vậy học sinh đúng. Vậy chọn A.

Bài 32 (trang 119 sgk Hình Học 12 nâng cao): u→ |=2;|v→ |=1,(u→+v→ )=π/3. Góc giữa v→ và u→–v→ bằng:

A. 30^o B. 45^o C. 60^o D. 90^o

Lời giải:

Ta có: u→,v→=|u→||v→ | cos⁡(u→,v→)=2.cos⁡(π/3)=2.(1/2)=1

(u→+v→ )²=u→²+2u→.v→+v→²=4+2+1=7

(u→–v→ )²=u→.v→–v→²=1-1=0

Vậy u→–v→⊥v→. Vậy chọn D.

Bài 32 (trang 119 sgk Hình Học 12 nâng cao): u→ |=2;|v→ |=1,(u→+v→ )=π/3. Góc giữa v→ và u→–v→ bằng:

A. 30^o B. 45^o C. 60^o D. 90^o

Lời giải:

Ta có: u→,v→=|u→||v→ | cos⁡(u→,v→)=2.cos⁡(π/3)=2.(1/2)=1

(u→+v→ )²=u→²+2u→.v→+v→²=4+2+1=7

(u→–v→ )²=u→.v→–v→²=1-1=0

Vậy u→–v→⊥v→. Vậy chọn D.

Bài 32 (trang 119 sgk Hình Học 12 nâng cao): u→ |=2;|v→ |=1,(u→+v→ )=π/3. Góc giữa v→ và u→–v→ bằng:

A. 30^o B. 45^o C. 60^o D. 90^o

Lời giải:

Ta có: u→,v→=|u→||v→ | cos⁡(u→,v→)=2.cos⁡(π/3)=2.(1/2)=1

(u→+v→ )²=u→²+2u→.v→+v→²=4+2+1=7

(u→–v→ )²=u→.v→–v→²=1-1=0

Vậy u→–v→⊥v→. Vậy chọn D.

Bài 33 (trang 119 sgk Hình Học 12 nâng cao): |u→|=2;|v→ |=5,(u→,v→ )=π/6. Độ dài vectơ [u ⃗,v ⃗] bằng:

A. 10 B. 5 C. 8 D. 5 √3

Lời giải: