Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7 – Cánh Diều: tại đây
Khởi động trang 112 Toán lớp 7 Tập 2:
Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121?
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Lời giải:
Ba địa điểm được minh họa trên tạo thành ba đỉnh của một tam giác.
Khi đó vị trí cách đều ba địa điểm đó là giao điểm ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba địa điểm trên.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Hoạt động 1 trang 112 Toán lớp 7 Tập 2:
Lời giải:
Vẽ đường thẳng d vuông góc với BC tại trung điểm của BC.
Khi đó d là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Ta có hình vẽ sau:
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 113 Toán lớp 7 Tập 2:
Lời giải:
Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Do AD là đường phân giác của ∆ABC nên
B
A
D
^
=
C
A
D
^
.
Xét ∆ABD và ∆ACD có:
AB = AC (chứng minh trên).
B
A
D
^
=
C
A
D
^
(chứng minh trên).
AD chung.
Do đó ∆ABD = ∆ACD (c – g – c).
Suy ra BD = CD (2 cạnh tương ứng) và
A
DB
^
=
A
D
C
^
(2 góc tương ứng).
Do BD = CD mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC.
Do
A
DB
^
=
A
D
C
^
và
A
DB
^
+
A
D
C
^
=
180
°
nên
A
DB
^
=
A
D
C
^
=
90
°
.
Do đó AD ⊥ BC.
Khi đó AD vuông góc với BC tại trung điểm D của BC nên AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Hoạt động 2 trang 113 Toán lớp 7 Tập 2:
Lời giải:
Ta thấy các đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua điểm O.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Luyện tập 2 trang 114 Toán lớp 7 Tập 2:
Lời giải:
Trong hình, đường thẳng qua O và cắt AC không vuông góc với AC nên O không phải giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Hoạt động 3 trang 114 Toán lớp 7 Tập 2:
Lời giải:
Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB.
Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên OB = OC.
Do đó OA = OB = OC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 1 trang 115 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải:
Do OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 2 trang 115 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C trong mỗi trường hợp sau:
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
Lời giải:
a) Ta có hình vẽ sau:
b) Ta có hình vẽ sau:
c) Ta có hình vẽ sau:
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 3 trang 115 Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Do G vừa là trọng tâm của tam giác và P là trung điểm của AB nên C, G, P thẳng hàng.
Do G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Suy ra CA = CB.
Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.
Do đó AB = BC = CA.
Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 4 trang 115 Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải:
Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ I đến BC, CA, AB.
Do I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên IM = IN = IP.
Do I là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên I nằm trên đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.
Suy ra đường thẳng qua I, vuông góc với BC, CA, AB lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.
Do đó M, N, P lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.
Suy ra M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Do AI là đường phân giác của
B
A
C
^
nên
B
A
I
^
=
C
A
I
^
.
Xét ∆PAI vuông tại P và ∆NAI vuông tại N có:
AI chung.
P
A
I
^
=
N
A
I
^
(chứng minh trên).
Suy ra ∆PAI = ∆NAI(cạnh huyền – góc nhọn).
Do đó PA = NA (2 cạnh tương ứng).
Mà P là trung điểm của AB nên PA =
1
2
BA; N là trung điểm của CA nên NA =
1
2
CA.
Suy ra AB = CA.
Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.
Do đó AB = BC = CA.
Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 5 trang 115 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm O nằm trong tam giác. M là trung điểm của BC. Chứng minh:
a) OM ⊥ BC;
b)
M
O
B
^
=
M
O
C
^
.
Lời giải:
a) Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC.
Mà ba đường trung trực trong tam giác đồng quy nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Do đó OM ⊥ BC.
b) Do OM ⊥ BC nên ∆OMB và ∆OMC vuông tại M.
Xét ∆OMB vuông tại M và ∆OMC vuông tại M có:
OM chung.
MB = MC (theo giả thiết).
Do đó ∆OMB = ∆OMC (2 cạnh góc vuông).
Suy ra
M
O
B
^
=
M
O
C
^
(2 góc tương ứng).
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay, chi tiết khác: