Chương 7: Tam giác

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7 – Cánh Diều: tại đây

Khởi động trang 116 Toán lớp 7 Tập 2:

Em có nhận xét gì về ba đường thẳng AM, BN, CP.

Lời giải:

Ba đường thẳng AM, BN, CP tương ứng là đường cao của các đoạn thẳng BC, CA, AB.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 116 Toán lớp 7 Tập 2:

Bằng cách sử dụng ê ke, vẽ hình chiếu M của điểm A trên đường thẳng BC.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 117 Toán lớp 7 Tập 2:

Lời giải:

Đường cao đi qua B và vuông góc với AC là AB.

Đường cao đi qua C và vuông góc với AB là AC.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 117 Toán lớp 7 Tập 2:

Lời giải:

Ta thấy ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 117 Toán lớp 7 Tập 2:

Lời giải:

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB.

Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và




B


A


C



^


=



A


B


C



^


=



A


C


B



^


.

Do M là trung điểm của AC nên AM = CM.

Xét ∆BAM và ∆BCM có:

BA = BC (chứng minh trên).




B


A


M



^


=



B


C


M



^


(chứng minh trên).

AM = CM (chứng minh trên).

Do đó ∆BAM = ∆BCM (c – g – c).

Suy ra




B


M


A



^


=



B


M


C



^


(2 góc tương ứng).




B


M


A



^


+



B


M


C



^


=

180

°

nên




B


M


A



^


=



B


M


C



^


=

90

°

.

Do đó BM là đường cao của tam giác ABC.

Tương tự CN là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại G nên G là trực tâm của tam giác ABC.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2:

Lời giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB, BH ⊥ AC hay CN ⊥ AB, BM ⊥ AC.

Lại có H là trọng tâm của tam giác ABC nên BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Khi đó BM vuông góc với AC tại trung điểm M của AC nên BM là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó BA = BC (1).

Do CN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB nên CN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó CA = CB (2).

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:

a) AH và BC;

b) BH và CA;

c) CH và AB.

Lời giải:

a) H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

b) H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ CA.

c) H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Lời giải:

a) Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy H nằm trong tam giác ABC.

b) Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy trong tam giác ABC: AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.

Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó A trùng H.

c) Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy H nằm ngoài tam giác ABC.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc với CA thì DC vuông góc với AB.

Lời giải:

Tam giác ABC có DA ⊥ BC, DB ⊥ CA.

Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó DC ⊥ AB.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2:




H


C


A



^


=

25

°

. Tính




B


A


C



^





H


B


A



^


.

Lời giải:

Xét ∆AFC vuông tại F:




F


C


A



^


+



F


A


C



^


=

90

°

(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).

Suy ra




F


A


C



^


=

90

°





F


C


A



^


=

90

°



25

°

=

65

°

hay




B


A


C



^


=

65

°

.

Xét ∆BEA vuông tại E:




E


B


A



^


+



E


A


B



^


=

90

°

(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).

Suy ra




E


B


A



^


=

90

°





E


A


B



^


=

90° – 65° = 25° hay




H


B


A



^


=

25

°

.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.

Lời giải:

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB và AH ⊥ BC.

Do K là trực tâm của tam giác ADC nên AK ⊥ CD và CK ⊥ AD.

Do AB // CD nên AK ⊥ AB.

Mà CH ⊥ AB nên AK // CH.

Do AD // BC nên AH ⊥ AD.

Mà CK ⊥ AD nên AH // CK.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;

b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

a)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và




A


B


C



^


=



A


C


B



^


=



B


A


C



^


.

Do M là trung điểm của BC nên BM = CM.

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AB = AC (chứng minh trên).




A


B


M



^


=



A


C


M



^


(chứng minh trên).

BM = CM (chứng minh trên).

Do đó ∆AMB = ∆AMC (c – g – c).

Suy ra




A


M


B



^


=



A


M


C



^


(2 góc tương ứng) và




M


A


B



^


=



M


A


C



^


(2 góc tương ứng).

Do




A


M


B



^


=



A


M


C



^


, mà




A


M


B



^


+



A


M


C



^


=

180

°

nên




A


M


B



^


=



A


M


C



^


=

90

°

.

Khi đó AM vuông góc với BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lại có




M


A


B



^


=



M


A


C



^


nên AM là đường phân giác của




B


A


C



^


.

Thực hiện tương tự ta chứng minh được BN là đường trung trực của đoạn thẳng CA và BN là đường phân giác của




A


B


C



^


.

CP là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CP là đường phân giác của




A


C


B



^


.

Mà AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G, H, I, O trùng nhau.

b)

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến BC, CA, AB.

Khi đó HN ⊥ AC.

Mà H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

HN ⊥ AC, BH ⊥ AC nên B, H, N thẳng hàng.

Xét ∆APH vuông tại P và ∆CMH vuông tại M có:




A


H


P



^


=



C


H


M



^


(2 góc đối đỉnh).

HP = HM (theo giả thiết).

Do đó ∆APH = ∆CMH (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Suy ra HA = HC (2 cạnh tương ứng).

Xét ∆HNA vuông tại N và ∆HNC vuông tại N có:

HN chung.

HA = HC (chứng minh trên).

Do đó ∆HNA = ∆HNC (2 cạnh góc vuông).

Suy ra AN = CN (2 cạnh tương ứng).

Khi đó N là trung điểm của AC.

HN ⊥ AC tại trung điểm N của AC nên HN là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Mà B, H, N thẳng hàng nên B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó BA = BC.

Thực hiện tương tự, ta chứng minh được CA = CB.

Do đó AB = BC = CA.

Vậy tam giác ABC đều.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 4 / 5. Số lượt đánh giá: 1152

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Tải xuống