Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây

Bài 1 trang 84 Toán 7 Tập 2:

A


^


<

90

°

). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng

Δ

B

E

C

=

Δ

C

F

B

.

b) Chứng minh rằng

Δ

A

H

F

=

Δ

A

H

E

.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Lời giải:

a) Tam giác ABC cân tại A nên

A


B


C



^


=



A


C


B



^

và AB = AC.

Xét

Δ

B

E

C

vuông tại E và

Δ

C

F

B

vuông tại F có:

E


C


B



^


=



F


B


C



^

(chứng minh trên).

BC chung.

Do đó

Δ

B

E

C

=

Δ

C

F

B

(cạnh huyền – góc nhọn).

b) Do

Δ

B

E

C

=

Δ

C

F

B

(cạnh huyền – góc nhọn) nên EC = FB (2 cạnh tương ứng).

Mà AB = AC nên AB – FB = AC – EC hay AF = AE.

Xét

Δ

A

H

F

vuông tại F và

Δ

A

H

E

vuông tại E có:

AF = AE (chứng minh trên).

AH chung.

Do đó

Δ

A

H

F

=

Δ

A

H

E

(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) DABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của

△

ABC.

Suy ra AH

⊥

BC (1).

Xét

△

AIB và

△

AIC có:

AB = AC (chứng minh trên).

IB = IC (do I là trung điểm của BC).

AI chung.

Suy ra

△

AIB =

△

AIC (c.c.c).

Do đó

A


I


B



^


=



A


I


C



^

(2 góc tương ứng).

Mà

A


I


B



^


+



A


I


C



^


=

180

°

nên

A


I


B



^


+



A


I


B



^


=

180

°

hay

2



A


I


B



^


=

180

°

.

Suy ra

A


I


B



^


=



A


I


C



^


=

90

°

.

Do đó AI

⊥

BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh rằng tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng

Δ

A

B

C

=

Δ

M

B

C

.

Lời giải:

a) Xét

Δ

A

H

B

vuông tại H và

Δ

M

H

B

vuông tại H có:

AH = MH (theo giả thiết).

BH chung.

Do đó

Δ

A

H

B

=

Δ

M

H

B

(2 cạnh góc vuông).

Suy ra AB = MB (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABM có AB = MB nên tam giác ABM cân tại B.

b) Do

Δ

A

H

B

=

Δ

M

H

B

(2 cạnh góc vuông) nên

A


B


H



^


=



M


B


H



^

(2 góc tương ứng).

Xét

Δ

A

B

C

và

Δ

M

B

C

có:

AB = MB (chứng minh trên).

A


B


C



^


=



M


B


C



^

(chứng minh trên).

BC chung.

Do đó

Δ

A

B

C

=

Δ

M

B

C

(c – g – c).

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC.

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Chứng minh rằng

A


D


B



^


=



B


A


H



^

.

Lời giải:

a) Trên tia đối của HC lấy D sao cho HC = HD nên H là trung điểm của CD.

AH

⊥

CD tại trung điểm H của CD nên AH là đường trung trực của CD.

Do đó AC = AD.

b) Tam giác ACD có AC = AD nên tam giác ACD cân tại A.

Do đó

A


D


B



^


=



A


C


B



^

.

Trong tam giác ABC vuông tại A:

A


C


B



^


+



A


B


C



^


=

90

°

(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng

90

°

).

Suy ra

A


C


B



^


=

90

°

−



A


B


C



^

.

Trong tam giác ABH vuông tại H:

B


A


H



^


+



A


B


H



^


=

90

°

(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng

90

°

).

Suy ra

B


A


H



^


=

90

°

−



A


B


H



^

.

Do đó

A


C


B



^


=



B


A


H



^

.

Mà

A


C


B



^


=



A


D


B



^

nên

A


D


B



^


=



B


A


H



^

.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 84 Toán 7 Tập 2:

⊥

AN (E

∈

AN).

a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Lời giải:

a) Xét

△

BEA vuông tại E và

△

BEN vuông tại E có:

BA = BN (theo giả thiết).

BE chung.

Suy ra

△

BEA =

△

BEN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó

E


B


A



^


=



E


B


N



^

(2 góc tương ứng).

Mà BE nằm trong

A


B


N



^

nên BE là tia phân giác của

A


B


N



^


.

b) Tam giác BAN có hai đường cao AH và BE cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác BAN.

Do đó NK

⊥

AB.

Mà AC

⊥

AB nên NK // AC.

c) Do BE là tia phân giác của

A


B


N



^

nên

A


B


E



^


=



N


B


E



^

.

Xét

Δ

A

B

F

và

Δ

N

B

F

có:

AB = NB (theo giả thiết).

A


B


F



^


=



N


B


F



^

(chứng minh trên).

BF chung.

Do đó

Δ

A

B

F

=

Δ

N

B

F

(c.g.c).

Suy ra AF = NF (2 cạnh tương ứng) và

B


A


F



^


=



B


N


F



^


=

90

°

(2 góc tương ứng).

Do đó FN

⊥

BC.

Xét

Δ

A

F

G

vuông tại A và

Δ

N

F

C

vuông tại N có:

AF = NF (chứng minh trên).

A


F


G



^


=



N


F


C



^

(2 góc đối đỉnh).

Do đó

Δ

A

F

G

=

Δ

N

F

C

(góc nhọn – cạnh góc vuông).

Suy ra AG = NC (2 cạnh tương ứng).

Mà BA = BN nên BA + AG = BN + NC hay BG = BC.

Tam giác BGC có BG = BC nên tam giác BGC cân tại B.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng

B


M


N



^


=



H


A


C



^

.

b) Kẻ MI

⊥

AH (I

∈

AH), gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải:

a) Do M nằm trên đường trung trực của BC nên MB = MC.

Xét

Δ

B

M

N

vuông tại N và

Δ

C

M

N

vuông tại N có:

MB = MC (chứng minh trên).

MN chung.

Do đó

Δ

B

M

N

=

Δ

C

M

N

(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra

B


M


N



^


=



C


M


N



^

(2 góc tương ứng) (1).

Do MN

⊥

BC, AH

⊥

BC nên MN // AH.

Do đó

C


M


N



^


=



H


A


C



^

(2 góc đồng vị) (2).

Từ (1) và (2) suy ra

B


M


N



^


=



H


A


C



^

.

b) Do

Δ

B

M

N

=

Δ

C

M

N

(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên

M


B


N



^


=



M


C


N



^

(2 góc tương ứng).

Do MI

⊥

AH, BC

⊥

AH nên MI // BC.

Do đó

A


M


I



^


=



M


C


N



^

(2 góc đồng vị) và

K


M


I



^


=



M


B


N



^

(2 góc so le trong).

Do đó

A


M


I



^


=



K


M


I



^

.

Xét

Δ

A

M

I

vuông tại I và

Δ

K

M

I

vuông tại I có:

A


M


I



^


=



K


M


I



^

(chứng minh trên).

MI chung.

Do đó

Δ

A

M

I

=

Δ

K

M

I

(góc nhọn – cạnh góc vuông).

Suy ra AI = KI (2 cạnh tương ứng).

Mà I nằm giữa A và K nên I là trung điểm của AK.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FD = FN.

a) Chứng minh rằng

Δ

M

F

N

=

Δ

P

F

D

.

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của DP. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Lời giải:

<

a) Tam giác MNP có đường trung tuyến NF nên F là trung điểm của MP.

Do đó FM = FP.

Xét

Δ

M

F

N

và

Δ

P

F

D

có:

MF = PF (chứng minh trên).

M


F


N



^


=



P


F


D



^

(2 góc đối đỉnh).

FN = FD (theo giả thiết).

Do đó

Δ

M

F

N

=

Δ

P

F

D

(c.g.c).

b) Tam giác MNP có G là giao điểm hai đường trung tuyến ME và NF nên G là trọng tâm của tam giác MNP.

Do đó NG =

2


3

NF.

Suy ra GF =

1


3

NF.

Do F là trung điểm của GH nên GF = HF.

Suy ra HF =

1


3

NF.

Mà NF = DF nên HF =

1


3

DF.

Suy ra DH =

2


3

DF.

Tam giác MDP có đường trung tuyến DF và DH =

2


3

DF nên H là trọng tâm của tam giác MDP.

Lại có MK là đường trung tuyến của tam giác MDP nên M, H, K thẳng hàng.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:

Bài 7 trang 84 Toán 7 Tập 2:

1


2

AC, AD là tia phân giác

B


A


C



^

(D

∈

BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB.

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH

⊥

KC.

Lời giải:

a) Do E là trung điểm của AC nên AE =

1


2

AC.

Mà AB =

1


2

AC nên AE = AB.

Do AD là tia phân giác của

B


A


C



^

nên

B


A


D



^


=



E


A


D



^

.

Xét

Δ

B

A

D

và

Δ

E

A

D

có:

AB = AE (chứng minh trên).

B


A


D



^


=



E


A


D



^

(chứng minh trên).

AD chung.

Do đó

Δ

B

A

D

=

Δ

E

A

D

(c.g.c).

Suy ra DB = DE (2 cạnh tương ứng).

b) Do

Δ

B

A

D

=

Δ

E

A

D

(c.g.c) nên

A


D


B



^


=



A


D


E



^

(2 góc tương ứng).

Mà

K


D


B



^


=



C


D


E



^

(2 góc đối đỉnh) nên

A


D


B



^


+



K


D


B



^


=



A


D


E



^


+



C


D


E



^

hay

A


D


K



^


=



A


D


C



^

.

Xét

Δ

A

D

K

và

Δ

A

DC

có:

D


A


K



^


=



D


A


C



^

(chứng minh trên).

AD chung.

A


D


K



^


=



A


D


C



^

(chứng minh trên).

Do đó

Δ

A

D

K

=

Δ

A

DC

(g.c.g).

Suy ra DK = DC (2 cạnh tương ứng) và AK = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác DCK có DK = DC nên tam giác DCK cân tại D.

Do AK = AC, mà AC = 2AB nên AK = 2AB.

Mà A, B, K thẳng hàng nên B là trung điểm của AK.

c) Do AD là đường phân giác của

B


A


C



^

nên

B


A


D



^


=



C


A


D



^

hay

K


A


H



^


=



C


A


H



^

(2 góc tương ứng).

Xét

△

KAH và

△

CAH có:

AK = AC (chứng minh trên).

K


A


H



^


=



C


A


H



^

(chứng minh trên).

AH chung.

Suy ra

△

KAH =

△

CAH (c.g.c).

Do đó

A


H


K



^


=



A


H


C



^

(2 góc tương ứng).

Mà

A


H


K



^


+



A


H


C



^


=

180

°

nên

A


H


K



^


+



A


H


K



^


=

180

°

hay

2



A


H


K



^


=

180

°

.

Suy ra

A


H


K



^


=



A


H


C



^


=

90

°

.

Do đó AH

⊥

KC.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:

Bài 8 trang 84 Toán 7 Tập 2:

A


B


C



^


=



A


C


B



^

. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC.

Lời giải:

Tam giác ABC có

A


B


C



^


=



A


C


B



^

nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC.

Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC (1).

Mà AE = AF nên AB – AE = AC – AF hay BE = CF.

Xét

Δ

E

B

C

và

Δ

F

C

B

có:

BE = CF (chứng minh trên).

E


B


C



^


=



F


C


B



^

(theo giả thiết).

BC chung.

Do đó

Δ

E

B

C

=

Δ

F

C

B

(c.g.c).

Suy ra

E


C


B



^


=



F


B


C



^

(2 góc tương ứng) hay

H


C


B



^


=



H


B


C



^

.

Tam giác HBC có

H


C


B



^


=



H


B


C



^

nên tam giác HBC cân tại H.

Do đó HB = HC.

Suy ra H nằm trên đường trung trực của BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của BC.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:

Bài 9 trang 84 Toán 7 Tập 2:

∈

CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng

E


B


H



^


=



A


C


M



^

.

c) Chứng minh rằng

E

B

⊥

B

C

.

Lời giải:

a) Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM nên H là trung điểm của ME.

Ta thấy BH vuông góc với ME tại trung điểm H của ME nên BH là đường trung trực của ME.

Do đó BM = BE.

Tam giác MBE có BM = BE nên tam giác MBE cân tại B.

b) Trong

Δ

B

H

M

vuông tại H:

H


B


M



^


+



B


M


H



^


=

90

°

(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng

90

°

).

Suy ra

H


B


M



^


=

90

°

−



B


M


H



^

.

Trong

Δ

C

A

M

vuông tại A:

A


C


M



^


+



C


M


A



^


=

90

°

(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng

90

°

).

Suy ra

A


C


M



^


=

90

°

−



C


M


A



^

.

Mà

B


M


H



^


=



C


M


A



^

(2 góc đối đỉnh) nên

H


B


M



^


=



A


C


M



^

(1).

Xét

Δ

B

H

E

vuông tại H và

Δ

B

H

M

vuông tại H có:

BH chung.

HE = HM (theo giả thiết).

Do đó

Δ

B

H

E

=

Δ

B

H

M

(2 cạnh góc vuông).

Suy ra

E


B


H



^


=



M


B


H



^

(2 góc tương ứng) (2).

Từ (1) và (2) suy ra

E


B


H



^


=



A


C


M



^

.

c) Do CM là tia phân giác của

B


C


A



^

nên

B


C


M



^


=



A


C


M



^

.

Xét

Δ

B

H

C

vuông tại H:

H


B


C



^


+



B


C


H



^


=

90

°

(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng

90

°

).

Suy ra

H


B


C



^


+



A


C


M



^


=

90

°

.

Mà

E


B


H



^


=



A


C


M



^

nên

H


B


C



^


+



E


B


H



^


=

90

°

hay

E


B


C



^


=

90

°

.

Do đó EB

⊥

>BC.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:

Bài 10 trang 84 Toán 7 Tập 2: Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Lời giải:

Xét tam giác MIK có MJ

⊥

IK, IN

⊥

MK.

Mà MJ cắt IN tại N nên N là trực tâm của tam giác MIK.

Do đó NK vuông góc với MI.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác: