Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
HĐ3 trang 74 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Học sinh thực hiện theo hướng dẫn.
Ba nếp gấp đo cùng đi qua một điểm.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Vận dụng 2 trang 75 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Giả sử tam giác ABC là tam giác đều có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và G là trọng tâm của tam giác.
Khi đó A, G, P thẳng hàng; B, G, N thẳng hàng; C, G, M thẳng hàng.
Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và
A
B
C
^
=
B
A
C
^
=
A
C
B
^
.
Xét ∆APB và ∆APC có:
AB = AC (chứng minh trên).
AP chung.
PB = PC (do P là trung điểm của BC).
Suy ra ∆APB = ∆APC (c-c-c).
Do đó
A
P
B
^
=
A
P
C
^
(2 góc tương ứng).
Mà
A
P
B
^
+
A
P
C
^
=
180
°
nên
A
P
B
^
=
A
P
C
^
=
90
°
do đó AP ⊥ BC hay GP ⊥ BC.
Khi đó GP là khoảng cách từ G đến BC.
Tương tự ta có GM, GN lần lượt là khoảng cách từ G đến AC, AC.
Do M là trung điểm của AB nên MB =
1
2
AB.
Do N là trung điểm của AC nên NC =
1
2
AC.
Mà AB = AC nên MB = NC.
Xét ∆MBC và ∆NCB có:
MB = NC (chứng minh trên).
M
B
C
^
=
N
C
B
^
(chứng minh trên).
BC chung.
Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c-g-c).
Do đó CM = BN (2 cạnh tương ứng).
Tam giác ABC có G là trọng tâm nên CG =
2
3
CM và BG =
2
3
BN.
Suy ra GM =
1
3
CM và GN =
1
3
BN.
Mà CM = BN nên GM = GN.
Chứng minh tương tự ta có GM = GN = GP.
Khi đó trọng tâm G của tam giác đều ABC cách đều ba cạnh của tam giác.
Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.20 trang 76 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức:
BG = ? BN, CG = ? CP;
BG = ? GN, CG = ? GP.
Lời giải:
Ta có BG =
2
3
BN, CG =
2
3
CP.
GN = BN – BG = BN –
2
3
BN =
1
3
BN.
GP = CP – CG = CP –
2
3
CP =
1
3
CP.
Khi đó BG : GN =
2
3
BN :
1
3
BN = 2, CG : GP =
2
3
CP :
1
3
CP = 2.
Do đó BG = 2 GN, CG = 2 GP.
Vậy BG =
2
3
BN, CG =
2
3
CP, BG = 2 GN, CG = 2 GP.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.21 trang 76 Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Lời giải:
Giả sử tam giác ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và
A
B
C
^
=
A
C
B
^
.
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên AB = 2BM, AC = 2CN.
Do đó BM = CN.
Xét ∆MBC và ∆NCB có:
BM = CN (chứng minh trên).
M
B
C
^
=
N
C
B
^
(chứng minh trên).
BC chung
Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c – g – c).
Do đó CM = BN (2 cạnh tương ứng).
Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Giả sử tam giác ABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G.
G là trọng tâm tam giác ABC nên CG =
2
3
CM, BG =
2
3
BN.
Do CM = BN nên CG = BG.
∆BGC có CG = BG nên ∆BGC cân tại G.
Do đó
G
B
C
^
=
G
C
B
^
.
Xét ∆MBC và ∆NCB có:
MC = NB (theo giả thiết).
M
C
B
^
=
N
B
C
^
(chứng minh trên).
BC chung.
Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c-g-c).
Do đó
M
B
C
^
=
N
C
B
^
(2 góc tương ứng).
∆ABC có
A
B
C
^
=
A
C
B
^
nên ∆ABC cân tại A.
Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.22 trang 76 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN.
Lời giải:
Xét ∆GBC có
G
B
C
^
>
G
C
B
^
nên GC > GB.
Do G là trọng tâm của ∆ABC nên CG =
2
3
CN, BG =
2
3
BM.
Khi đó
2
3
CN >
2
3
BM.
Do đó CN > BM.
Vậy CN > BM.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.23 trang 76 Toán 7 Tập 2: Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC biết góc BAC bằng 120o.
Lời giải:
Xét ∆ABC có
B
A
C
^
+
A
B
C
^
+
A
C
B
^
=
180
°
.
Do đó
A
B
C
^
+
A
C
B
^
=
180
°
−
B
A
C
^
= 180o – 120o = 60o.
Do CI là tia phân giác của
A
C
B
^
nên
A
C
B
^
=
2
I
C
B
^
.
Do BI là tia phân giác của
A
B
C
^
nên
A
B
C
^
=
2
I
B
C
^
.
Do đó
A
B
C
^
+
A
C
B
^
=
2
I
B
C
^
+
I
C
B
^
.
hay 60o = 2
I
B
C
^
+
I
C
B
^
.
hay
I
B
C
^
+
I
C
B
^
= 30o.
Xét ∆IBC có
B
I
C
^
+
I
B
C
^
+
I
C
B
^
=
180
°
.
Do đó
B
I
C
^
=
180
°
−
I
B
C
^
+
I
C
B
^
= 180o – 30o = 150o.
Vậy
B
I
C
^
= 150o.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.24 trang 76 Toán 7 Tập 2: Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.
Lời giải:
Do ∆ABC cân tại A nên
A
B
C
^
=
A
C
B
^
.
Do BE là tia phân giác của
A
B
C
^
nên
A
B
C
^
=
2
E
B
C
^
.
Do CF là tia phân giác của
A
C
B
^
nên
A
C
B
^
=
2
F
C
B
^
.
Mà
A
B
C
^
=
A
C
B
^
nên
E
B
C
^
=
F
C
B
^
.
Xét ∆FBC và ∆ECB có:
F
C
B
^
=
E
B
C
^
(chứng minh trên).
BC chung.
F
B
C
^
=
E
C
B
^
(chứng minh trên).
Suy ra ∆FBC = ∆ECB (g – c – g).
Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).
Vậy BE = CF.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.25 trang 76 Toán 7 Tập 2: Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.
a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.
b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.
c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A?
Lời giải:
a) Do BD là tia phân giác của
A
B
C
^
nên
D
B
R
^
=
D
B
P
^
=
1
2
P
B
R
^
.
Xét ∆DBR vuông tại R và ∆DBP vuông tại P có:
D
B
R
^
=
D
B
P
^
(chứng minh trên).
BD chung.
Suy ra ∆DBR = ∆DBP (cạnh huyền – góc nhọn).
Do đó DR = DP (2 cạnh tương ứng).
b) Do CD là tia phân giác của
A
C
B
^
nên
D
C
Q
^
=
D
C
P
^
=
1
2
P
C
Q
^
.
Xét ∆DCQ vuông tại Q và ∆DCP vuông tại P có:
D
C
Q
^
=
D
C
P
^
(chứng minh trên).
CD chung.
Suy ra ∆DCQ = ∆DCP (cạnh huyền – góc nhọn).
Do đó DQ = DP (2 cạnh tương ứng).
c) Từ ý a và b ta có DR = DP và DQ = DP nên DR = DQ.
Ta có D nằm trong
B
A
C
^
và D cách đều hai cạnh AB và AC của
B
A
C
^
nên D nằm trên tia phân giác của
B
A
C
^
.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác: