Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Câu hỏi trang 77 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Một tam giác có 3 cạnh nên mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung trực tương ứng với mỗi cạnh.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác:
HĐ1 trang 78 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Ta thấy ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 79 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Gọi M là giao điểm của BG và AC, N là giao điểm của CG và AB.
Do ∆ABC đều nên AB = BC = CA và
A
B
C
^
=
A
C
B
^
=
B
A
C
^
.
M là trung điểm của AC nên AM = MC.
Xét ∆ABM và ∆CBM có:
AB = CB (chứng minh trên).
B
A
M
^
=
B
C
M
^
(chứng minh trên).
AM = CM (chứng minh trên).
Suy ra ∆ABM = ∆CBM (c – g – c).
Do đó
B
M
A
^
=
B
M
C
^
(2 góc tương ứng).
Mà
B
M
A
^
+
B
M
C
^
=
180
°
nên
B
M
A
^
=
B
M
C
^
=
90
°
.
Do đó BM ⊥ AC.
BM vuông góc với AC tại trung điểm M của AC nên BM là đường trung trực của AC.
N là trung điểm của AB nên AN = BN.
Xét ∆CAN và ∆CBN có:
CA = CB (chứng minh trên).
C
A
N
^
=
C
B
N
^
(chứng minh trên).
AN = BN (chứng minh trên).
Suy ra ∆CAN = ∆CBN (c – g – c).
Do đó
C
N
A
^
=
C
N
B
^
(2 góc tương ứng).
Mà
C
N
A
^
+
C
N
B
^
=
180
°
nên
C
N
A
^
=
C
N
B
^
=
90
°
.
Do đó CN ⊥ AB.
CN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB nên CN là đường trung trực của AB.
G là giao điểm 2 đường trung trực của ∆ABC nên G cách đều 3 đỉnh của tam giác.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Câu hỏi trang 79 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Mỗi tam giác có 3 đường cao xuất phát từ 3 đỉnh của tam giác.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác:
HĐ3 trang 79 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Ta thấy ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Luyện tập 2 trang 81 Toán 7 Tập 2:
a) Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.
b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.
Lời giải:
a)
Gọi M là trung điểm của BC.
Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và
A
B
M
^
=
A
C
M
^
.
Do AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của BC.
Do đó AM ⊥ BC nên AM là đường cao của tam giác ABC.
Xét ∆ABM có
A
B
M
^
+
M
A
B
^
= 90o (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Suy ra
M
A
B
^
=
90
°
−
A
B
M
^
(1).
Xét ∆ACM có
A
C
M
^
+
M
A
C
^
= 90o (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Suy ra
M
A
C
^
=
90
°
−
A
C
M
^
(2).
Mà
A
B
M
^
=
A
C
M
^
nên từ (1) và (2) ta có
M
A
B
^
=
M
A
C
^
.
Do đó AM là tia phân giác của
B
A
C
^
.
Vậy đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.
b)
Trong tam giác ABC đều có điểm O là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
Do O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên O là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC.
Do đó OM ⊥ AM, ON ⊥ AN, OP ⊥ CP.
∆ABC đều nên AB = AC = BC.
Do M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC nên AM = AN = NC = CP.
Xét ∆OAM vuông tại M và ∆OAN vuông tại N:
AM = AN (chứng minh trên).
OA chung.
Suy ra ∆OAM = ∆OAN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó OM = ON (2 cạnh tương ứng) (2).
Xét ∆OCN vuông tại N và ∆OCP vuông tại P:
CN = CP (chứng minh trên).
OC chung.
Suy ra ∆OCN = ∆OCP (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó ON = OP (2 cạnh tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) suy ra OM = ON = OP.
Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.26 trang 81 Toán 7 Tập 2: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.
Lời giải:
Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.
Xét ∆HBC có HD ⊥ BC, BF ⊥ HC.
HD cắt BF tại A nên A là trực tâm của ∆HCA.
Xét ∆HCA có HE ⊥ AC, BF ⊥ HC.
HE cắt BF tại B nên B là trực tâm của ∆HCA.
Xét ∆HAB có HF ⊥ AB, AE ⊥ HB.
HF cắt AE tại C nên C là trực tâm của ∆HAB.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.28 trang 81 Toán 7 Tập 2: Xét điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.
Lời giải:
Giả sử O nằm trên cạnh BC.
Do OA = OB nên ∆OAB cân tại O.
Do đó
O
A
B
^
=
O
B
A
^
.
Do OA = OC nên ∆OAC cân tại O.
Do đó
O
A
C
^
=
O
C
A
^
.
Khi đó
O
A
B
^
+
O
A
C
^
=
O
B
A
^
+
O
C
A
^
hay
B
A
C
^
=
A
B
C
^
+
A
C
B
^
.
Xét ∆ABC có
B
A
C
^
+
A
B
C
^
+
A
C
B
^
=
180
°
.
Mà
B
A
C
^
=
A
B
C
^
+
A
C
B
^
nên
2
B
A
C
^
=
180
°
hay
B
A
C
^
=
90
°
.
Do đó ∆ABC vuông tại A.
Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC và O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.29 trang 81 Toán 7 Tập 2:
a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường tròn này?
b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.
Lời giải:
a)
Để xác định bán kính của đường tròn này ta thực hiện như sau:
Bước 1. Xác định 3 điểm A, B, C nằm trên đường viền của chi tiết máy.
Bước 2. Xác định các đường trung trực của tam giác ABC.
Bước 3. Xác định giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Bước 4. Độ dài đoạn thẳng OB là bán kính của đường tròn.
b) Coi 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của tam giác ABC.
Do M cách đều A và B nên MA = MB.
Do đó M nằm trên đường trung trực của AB.
Do M cách đều B và C nên MB = MC.
Do đó M nằm trên đường trung trực của BC.
Vậy M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.30 trang 81 Toán 7 Tập 2: Cho hai đường thẳng không vuông góc b, c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47).
Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.
Lời giải:
Ta thực hiện theo các bước như sau:
Bước 1. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng b và cắt đường thẳng c tại một điểm. Điểm này chính là điểm C.
Bước 2. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng c và cắt đường thẳng b tại một điểm. Điểm này chính là điểm B.
Bước 3. Nối hai điểm B, C ta được tam giác ABC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác hay, chi tiết khác: