Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 1
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 2
• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 9
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 1
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 2
• Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 1
• Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 2

Sách giải toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 7 trang 55: Giải các phương trình trùng phương:

a) 4x⁴ + x² – 5 = 0;

b) 3x⁴ + 4x² + 1 = 0.

Lời giải

a) 4x⁴ + x² – 5 = 0;

Đặt x² = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành:

4t² + t – 5 = 0

Nhận thấy phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm

t₁ = 1; t₂ =(-5)/4

Do t ≥ 0 nên t = 1 thỏa mãn điều kiện

Với t = 1, ta có: x² = 1 ⇔ x = ±1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x₁ = 1; x₂ = -1

b) 3x⁴ + 4x² + 1 = 0

Đặt x² = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành:

3t² + 4t + 1 = 0

Nhận thấy phương trình có dạng a – b + c = 0 nên phương trình có nghiệm

t₁ = -1; t₂ = (-1)/3

Cả 2 nghiệm của phương trình đều không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 7 trang 55: Giải phương trình

Bằng cách điền vào các chỗ trống (…) và trả lời các câu hỏi.

– Điều kiện: x ≠ …

– Khử mẫu và biến đổi, ta được: x² – 3x + 6 = … ⇔ x² – 4x + 3 = 0.

– Nghiệm của phương trình x² – 4x + 3 = 0 là: x₁ = …; x₂ = …

Hỏi x có thỏa mãn điều kiện nói trên không ? Tương tự, đối với x₂ ?

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:….

Lời giải

– Điều kiện: x ≠ ±3

– Khử mẫu và biến đổi, ta được: x² – 3x + 6 = x + 3 ⇔ x² – 4x + 3 = 0.

– Nghiệm của phương trình x² – 4x + 3 = 0 là: x₁ = 1; x₂ = 3

x₁ có thỏa mãn điều kiện nói trên

x₂ không thỏa mãn điều kiện nói trên

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 7 trang 56: Giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: x³ + 3x² + 2x = 0.

Lời giải

x³ + 3x² + 2x = 0 ⇔ x(x² + 3x + 2) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² + 3x + 2 = 0 (1)

Giải phương trình (1) ta được các nghiệm x = -1; x = -2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 0; x = -1; x = -2

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 34 (trang 56 SGK Toán 9 tập 2): Giải các phương trình trùng phương:

a) x⁴ – 5x² + 4 = 0;

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0;

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0

Lời giải

a) x⁴ – 5x² + 4 = 0 (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành : t² – 5t + 4 = 0 (2)

Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = 4

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

+ Với t = 4 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0; (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành : 2t² – 3t – 2 = 0 (2)

Giải (2) : Có a = 2 ; b = -3 ; c = -2

⇒ Δ = (-3)² – 4.2.(-2) = 25 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm

Chỉ có giá trị t₁ = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x² = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0 (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành : 3t² + 10t + 3 = 0 (2)

Giải (2) : Có a = 3; b = 10; c = 3

⇒ Δ’ = 5² – 3.3 = 16 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Cả hai giá trị đều không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Kiến thức áp dụng

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 35 (trang 56 SGK Toán 9 tập 2): Giải các phương trình:

Lời giải

⇔ (x + 3)(x – 3) + 2.3 = 3x(1 – x)

⇔ x² – 9 + 6 = 3x – 3x²

⇔ x² – 9 + 6 – 3x + 3x² = 0

⇔ 4x² – 3x – 3 = 0

Có a = 4; b = -3; c = -3 ⇒ Δ = (-3)² – 4.4.(-3) = 57 > 0

Phương trình có hai nghiệm

Điều kiện xác định: x ≠ 5; x ≠ 2.

Quy đồng và khử mẫu ta được :

(x + 2)(2 – x) + 3(2 – x)(x – 5) = 6(x – 5)

⇔ 4 – x² + 6x – 3x² – 30 + 15x = 6x – 30

⇔ 4 – x² + 6x – 3x² – 30 + 15x – 6x + 30 = 0

⇔ -4x² + 15x + 4 = 0

Có a = -4; b = 15; c = 4 ⇒ Δ = 15² – 4.(-4).4 = 289 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có tập nghiệm

Điều kiện xác định: x ≠ -1; x ≠ -2.

Quy đồng và khử mẫu ta được:

4.(x + 2) = -x² – x + 2

⇔ 4x + 8 = -x² – x + 2

⇔ 4x + 8 + x² + x – 2 = 0

⇔ x² + 5x + 6 = 0.

Có a = 1; b = 5; c = 6 ⇒ Δ = 5² – 4.1.6 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Chỉ có nghiệm x₂ = -3 thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có nghiệm x = -3.

Kiến thức áp dụng

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 36 (trang 56 SGK Toán 9 tập 2): Giải các phương trình:

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0;

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0.

Lời giải

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0

⇔ 3x² – 5x + 1 = 0 (1)

hoặc x² – 4 = 0 (2)

+ Giải (1): 3x² – 5x + 1 = 0

Có a = 3; b = -5; c = 1 ⇒ Δ = (-5)² – 4.3 = 13 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

+ Giải (2): x² – 4 = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình có tập nghiệm

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

⇔ (2x² + x – 4 – 2x + 1)(2x² + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ (2x² – x – 3)(2x² + 3x – 5) = 0

⇔ 2x² – x – 3 = 0 (1)

hoặc 2x² + 3x – 5 = 0 (2)

+ Giải (1): 2x² – x – 3 = 0

Có a = 2; b = -1; c = -3 ⇒ a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

+ Giải (2): 2x² + 3x – 5 = 0

Có a = 2; b = 3; c = -5 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

Vậy phương trình có tập nghiệm

Kiến thức áp dụng

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Luyện tập (trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 37 (trang 56 SGK Toán 9 tập 2): Giải phương trình trùng phương:

Lời giải

a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0 (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành : 9t² – 10t + 1 = 0 (2)

Giải (2):

Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1

⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = 1/9.

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm

b) 5x⁴ + 2x² – 16 = 10 – x²

⇔ 5x⁴ + 2x² – 16 – 10 + x² = 0

⇔ 5x⁴ + 3x² – 26 = 0 (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành : 5t² + 3t – 26 = 0 (2)

Giải (2) :

Có a = 5 ; b = 3 ; c = -26

⇒ Δ = 3² – 4.5.(-26) = 529 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đối chiếu điều kiện chỉ có t₁ = 2 thỏa mãn

+ Với t = 2 ⇒ x² = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0 (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó, (1) trở thành : 0,3t² + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

Giải (2) :

có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5

⇒ a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t₁ = -1 và t₂ = -c/a = -5.

Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Điều kiện xác định: x ≠ 0.

Quy đồng, khử mẫu ta được :

2x⁴ + x² = 1 – 4x²

⇔ 2x⁴ + x² + 4x² – 1 = 0

⇔ 2x⁴ + 5x² – 1 = 0 (1)

Đặt t = x², điều kiện t > 0.

Khi đó (1) trở thành : 2t² + 5t – 1 = 0 (2)

Giải (2) :

Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1

⇒ Δ = 5² – 4.2.(-1) = 33 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Đối chiếu với điều kiện thấy có nghiệm t₁ thỏa mãn.

Vậy phương trình có tập nghiệm

Kiến thức áp dụng

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Luyện tập (trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 38 (trang 56-57 SGK Toán 9 tập 2): Giải các phương trình:

Lời giải

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x

⇔ x² – 6x + 9 + x² + 8x + 16 = 23 – 3x

⇔ x² – 6x + 9 + x² + 8x + 16 + 3x – 23 = 0

⇔ 2x² + 5x + 2 = 0

Có a = 2; b = 5; c = 2 ⇒ Δ = 5² – 4.2.2 = 9 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

Vậy phương trình có tập nghiệm

b) x³ + 2x² – (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2)

⇔ x³ + 2x² – (x² – 6x + 9) = x³ – x² – 2x + 2

⇔ x³ + 2x² – x² + 6x – 9 – x³ + x² + 2x – 2 = 0

⇔ 2x² + 8x – 11 = 0.

Có a = 2; b = 8; c = -11 ⇒ Δ’ = 4² – 2.(-11) = 38 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

Vậy phương trình có tập nghiệm

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 + 0,5x² = x³ + 1,5x

⇔ x³ + 1,5x – x³ + 3x² – 3x + 1 – 0,5x² = 0

⇔ 2,5x² – 1,5x + 1 = 0

Có a = 2,5; b = -1,5; c = 1

⇒ Δ = (-1,5)² – 4.2,5.1 = -7,75 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)

⇔ 2x² – 14x – 6 = 3x – 2x + 8

⇔ 2x² – 14x – 6 – 3x + 2x – 8 = 0

⇔ 2x² – 15x – 14 = 0.

Có a = 2; b = -15; c = -14

⇒ Δ = (-15)² – 4.2.(-14) = 337 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

⇔ 14 = (x – 2)(x + 3)

⇔ 14 = x² – 2x + 3x – 6

⇔ x² + x – 20 = 0

Có a = 1; b = 1; c = -20

⇒ Δ = 1² – 4.1.(-20) = 81 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-5; 4}.

Kiến thức áp dụng

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Luyện tập (trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 39 (trang 57 SGK Toán 9 tập 2): Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích:

a) (3x² – 7x – 10).[2x² + (1 – 5)x + 5 – 3] = 0

b) x³ + 3x² – 2x – 6 = 0;

c) (x² – 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x;

d) (x² + 2x – 5)² = (x² – x + 5)².

Lời giải

a)(3x² – 7x – 10).[2x² + (1 – 5)x + 5 – 3] = 0

+ Giải (1):

3x² – 7x – 10 = 0

Có a = 3; b = -7; c = -10

⇒ a – b + c = 0

⇒ (1) có hai nghiệm x₁ = -1 và x₂ = -c/a = 10/3.

+ Giải (2):

2x² + (1 – √5)x + √5 – 3 = 0

Có a = 2; b = 1 – √5; c = √5 – 3

⇒ a + b + c = 0

⇒ (2) có hai nghiệm:

Vậy phương trình có tập nghiệm

b) x³ + 3x² – 2x – 6 = 0

⇔ (x³ + 3x²) – (2x + 6) = 0

⇔ x²(x + 3) – 2(x + 3) = 0

⇔ (x² – 2)(x + 3) = 0

+ Giải (1): x² – 2 = 0 ⇔ x² = 2 ⇔ x = √2 hoặc x = -√2.

+ Giải (2): x + 3 = 0 ⇔ x = -3.

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-3; -√2; √2}

c) (x² – 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x

⇔ (x² – 1)(0,6x + 1) = x.(0,6x + 1)

⇔ (x² – 1)(0,6x + 1) – x(0,6x + 1) = 0

⇔ (0,6x + 1)(x² – 1 – x) = 0

+ Giải (1): 0,6x + 1 = 0 ⇔

+ Giải (2):

x² – x – 1 = 0

Có a = 1; b = -1; c = -1

⇒ Δ = (-1)² – 4.1.(-1) = 5 > 0

⇒ (2) có hai nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm

d) (x² + 2x – 5)² = (x² – x + 5)²

⇔ (x² + 2x – 5)² – (x² – x + 5)² = 0

⇔ [(x² + 2x – 5) – (x² – x + 5)].[(x² + 2x – 5) + (x² – x + 5)] = 0

⇔ (3x – 10)(2x² + x – 10) = 0

+ Giải (1): 3x – 10 = 0 ⇔

+ Giải (2):

2x² + x – 10 = 0

Có a = 2; b = 1; c = -10

⇒ Δ = 12 – 4.2.(-10) = 81 > 0

⇒ (2) có hai nghiệm:

Vậy phương trình có tập nghiệm

Kiến thức áp dụng

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Luyện tập (trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 40 (trang 57 SGK Toán 9 tập 2): Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

Hướng dẫn:

a) Đặt t = x² + x, ta có phương trình 3t² – 2t – 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x² +x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

Lời giải

a) 3.(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0 (1)

Đặt t = x² + x,

Khi đó (1) trở thành : 3t² – 2t – 1 = 0 (2)

Giải (2) : Có a = 3 ; b = -2 ; c = -1

⇒ a + b + c = 0

⇒ (2) có hai nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = -1/3.

+ Với t = 1 ⇒ x² + x = 1 ⇔ x² + x – 1 = 0 (*)

Có a = 1; b = 1; c = -1 ⇒ Δ = 1² – 4.1.(-1) = 5 > 0

(*) có hai nghiệm

Có a = 3; b = 3; c = 1 ⇒ Δ = 3² – 4.3.1 = -3 < 0

⇒ (**) vô nghiệm.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm

b) (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0

⇔ (x² – 4x + 2)² + x² – 4x + 2 – 6 = 0 (1)

Đặt x² – 4x + 2 = t,

Khi đó (1) trở thành: t² + t – 6 = 0 (2)

Giải (2): Có a = 1; b = 1; c = -6

⇒ Δ = 1² – 4.1.(-6) = 25 > 0

⇒ (2) có hai nghiệm

+ Với t = 2 ⇒ x² – 4x + 2 = 2

⇔ x² – 4x = 0

⇔ x(x – 4) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 4.

+ Với t = -3 ⇒ x² – 4x + 2 = -3

⇔ x² – 4x + 5 = 0 (*)

Có a = 1; b = -4; c = 5 ⇒ Δ’ = (-2)² – 1.5 = -1 < 0

⇒ (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S = {0; 4}.

Khi đó (1) trở thành: t² – 6t – 7 = 0 (2)

Giải (2): Có a = 1; b = -6; c = -7

⇒ a – b + c = 0

⇒ (2) có nghiệm t₁ = -1; t₂ = -c/a = 7.

Đối chiếu điều kiện chỉ có nghiệm t = 7 thỏa mãn.

+ Với t = 7 ⇒ √x = 7 ⇔ x = 49 (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 49.

⇔ t² – 10 = 3t ⇔ t² – 3t – 10 = 0 (2)

Giải (2): Có a = 1; b = -3; c = -10

⇒ Δ = (-3)² – 4.1.(-10) = 49 > 0

⇒ (2) có hai nghiệm:

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm