Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

1. So sánh độ dài của đường kính và dây.

    Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Ví dụ: Gọi AB là một dây bất kỳ của đường tròn (O; R). Chứng minh rằng AB ≤ 2R

    + Trường hợp 1: AB là đường kính

     ⇒ AB = 2R

    + Trường hợp 2: AB không là đường kính

     Xét tam giác AOB, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

     AB < AO + OB = R + R = 2R

     Vậy ta luôn có AB ≤ 2R

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.

    + Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

    + Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Ví dụ: Cho hình vẽ sau, tính độ dài dây AB khi biết OA = 13cm; AM = MB; OM = 5cm.

Hướng dẫn:

Áp dụng định lý: “ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy “

Khi đó ta có: OM ⊥ AB.

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

⇒ AB = 2.AM = 2.12 = 24 (cm)

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho tam giác ABC có đường cao là BD, CE. Chứng minh rằng B, D, C, E cùng một đường tròn và ED < BC .

Ta có: tam giác EBC và DBC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền BC

⇒ Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác này có tâm tại F (F là trung điểm của BC) với bán kính FB

⇒ Các điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn

Trong đường tròn đường kính BC có ED là dây cung nên ED < BC.

Câu 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD không cắt AB. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên CD. Chứng minh: CH = DK

Dựng OE vuông góc với CD (E thuộc CD)

Khi đó ta có: E là trung điểm của CD (theo định lí 2): EC = ED (1)

Xét tứ giác ABKH có

Do đó tứ giác ABKH là hình thang.

Xét hình thang ABKH có O là trung điểm của AB và OE // AH // BK

⇒ E là trung điểm của HK : EH = EK

Từ (1) và (2) thì ta có: EH – EC = EK – ED hay CH = DK