Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây

A. Lý thuyết

1. Đường phân giác của tam giác

• Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M, khi đó đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC. Ta cũng gọi đường thẳng AM là đường phân giác của tam giác ABC.

• Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Tam giác ABC có ba đường phân giác giao nhau tại I, khi đó:

3. Ví dụ

Ví dụ 1:Tam giác ABC có trung tuyến AM đồng thời là phân giác. Chứng minh tam giác đó là tam giác cân

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong của hai góc B và góc C cắt nhau tại I và hai đường phân giác ngoài của hai góc ấy cắt nhau tại P. Chứng minh rằng A, I, P thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

Hai phân giác góc trong của góc B^ và góc C^ cắt nhau tại I

Suy ra I cũng phải thuộc phân giác của góc A^

(tính chất ba đường phân giác) (1)

Từ P hạ PH, PK, PJ vuông góc lần lượt với AB, BC, AC.

Ta có: PH = PK (do P thuộc phân giác góc ngoài của góc B^)

Tương tự: PK = PJ ⇒ PH = PJ

Điều này chứng tỏ P thuộc phân giác góc A (2)

Từ (1) và (2) vậy A, I, P thẳng hàng.

B. Bài tập

Bài 1: Hai đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải:

Bài 2: Cho ΔABC. Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc B. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB tại M, cắt AC tại N. Chứng minh rằng MN = BM + CN

Hướng dẫn giải:

Ba phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm nên CI là tia phân giác của góc C