Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây

A. Lý thuyết

1. Số hữu tỉ

– Các phân số bằng nhau là cách viết khác nhau của cùng một số, số đó được gọi là số hữu tỉ.

– Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số a/b với a, b ∈ Z và b ≠ 0

– Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q ( x là số hữu tỉ thì ghi là x ∈ Q )

2. So sánh hai số hữu tỉ

Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm như sau:

– Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương

x = a/m; y = b/m (a, b, m ∈ Z, m > 0)

– So sánh hai số nguyên a và b

+ Nếu a < b thì x < y

+ Nếu a = b thì x = y

+ Nếu a > b thì x > y

– Trên trục số nếu x < y thì điểm nằm bên trái điểm y

– Số hữu tỉ lớn hớn 0 được gọi là số hữu tỉ dương.

– Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọc là số hữu tỉ âm.

– Số 0 không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm.

Nhận xét:

+ Số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ dương (a/b > 0) thì a, b cùng dấu.

+ Số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ âm (a/b > 0) thì a, b trái dấu.

+ Ta có:

3. Công, trừ hai số hữu tỉ

Để cộng trừ hai số hữu tỉ x và y , ta làm như sau:

– Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương (quy đồng mẫu số dương)

– Thực hiện phép cộng trừ (cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu)

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu của số hạng đó.

Với x, y, z, t ∈ Q, ta có: x + y = z ⇒ x = z – y.

4. Nhân, chia hai số hữu tỉ

Chú ý:

+ Mỗi số hữu tỷ y ≠ 0 đều có một số nghịch đảo là. Số nghịch đảo của a/b là b/a (với a, b ≠ 0)

+ Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ≠ 0 gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu là x/y hoặc x : y.

5. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của một số hữu tỷ x, kí hiệu là xⁿ, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1).

Với x ∈ Q, n ∈ N, n > 1 ta có:

xⁿ đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x; x gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Cũng như vậy, đối với số hữu tỉ x, ta có các công thức: x^m.xⁿ = x^{m + n}

(Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ)

x^m😡ⁿ = x^{m – n} ( x ≠ 0, m ≥ n)

(Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi mũ của lũy thừa chia)

6. Lũy thừa của lũy thừa

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ

(x^m) = x^m.n

7. Lũy thừa của một tích, một thương

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa

(x.y)ⁿ = xⁿ.yⁿ

Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa

8. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x được kí hiệu là |x|, là khoảng cách từ điểm x tới điểm O trên trục số.

+ Nếu x > 0 thì |x| = x

+ Nếu x = 0 thì |x| = 0.

+ Nếu x < 0 thì |x| = -x

Từ định nghĩa trên ta có thể viết như sau:

9. Tính chất của tỉ lệ thức

Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)

Nếu a/b = c/d thì a.d = b.c

Ví dụ:

Tính chất 2

Nếu a.d = b.c và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ thức:

10. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

11. Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn

+ Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

+ Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

12. Quy ước làm tròn số

+ Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bỏ đi bằng chữ số 0.

+ Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bỏ đi bằng chữ số 0.

13. Số vô tỉ

+ Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

+ Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I.

14. Căn bậc hai

Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x² = a .

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là √a và -√a

14. Số thực

+ Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

+ Tập hợp các số thực được kí hiệu là R .

+ x ∈ R: x là một số thực

B. Bài tập

Bài 1: So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất

Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²

b) (a + b)(a – b) = a² – b²

Bài 4: Thực hiện các phép tính sau

Bài 5: Chứng minh rằng 10⁹ + 10⁸ + 10⁷ chia hết cho 222

Ta có: 10⁹ + 10⁸ + 10⁷ = 10⁷(10² + 10 + 1)

(2.5)⁷.(10² + 10 + 1) = 2⁷.5⁷.(100 + 10 + 1)

2⁶.5⁷.111.2 = 222.2⁶.5⁷ chia hết 222 (đpcm)

Bài 6: Chứng minh rằng nếu a/b = c/d thì:

Bài 7: Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2; 3; 4. Biết rằng tổng số điểm mười của A và C lớn hơn B là 6 điểm mười. Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm 10?

Gọi a, b, c lần lượt là số điểm 10 của ba học sinh A, B, C