Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

A. Phương pháp giải

Để chứng minh 1 một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:

      + Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ( Nếu có)

      + Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

A = (x² – x).(x + 1) – (x² + x).(x – 1)

Chứng minh

Ta có: A = (x² – x).(x + 1) – (x² + x).(x – 1)

      A = x²(x + 1) – x.(x + 1) – x²(x – 1) – x(x – 1)

      = x³ + x² – x² – x – x³ + x² – x² + x

      = (x³ – x³) + (x² – x² + x² – x²) + (x – x)

      = 0 + 0 + 0

      = 0

Vậy giá trụ của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Ví dụ 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

      B = x²(x – 2) – x(x² + x + 1) + x(3x + 1)

Chứng minh

Ta có:

      B = x²(x – 2) – x(x² + x + 1) + x(3x + 1)

      = x².x – x².2 – x.x² – x.x – x.1 + x.3x + x.1

      = x³ – 2x² – x³ – x² – x + 3x² + x

      = (x³ – x³) + (3x² – 2x² – x²) + (x – x)

      = 0 + 0 + 0

      = 0

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào x.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức là ?

A.x + 1

B. 4

C. – 4

D. 1- x

Chọn C.

Câu 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x và y

A = (x – y).(x + y) + (y – x).(y + x) + 10

Chứng minh

Ta có:

A = (x – y).(x + y) + (y – x).(y + x) + 10

= x(x + y) – y(x + y) + y.(y + x) – x(y + x) + 10

= x² + xy – xy – y² + y² + xy – xy – x² + 10

= (x² – x²) + (y² – y²) + (xy – xy + xy – xy) + 10

= 0 + 0 + 0 + 10

= 10

Vậy giá trị của biểu thức A là 10 và không phụ thuộc vào x và y.

Câu 3. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x.

A = x(x² + 10) – (x² + 1)(x – 2) – x(2x + 9) + 2

Chứng minh

Ta có: A = x(x² + 10) – (x² + 1)(x – 2) – x(2x + 9) + 2

A = x³ + 10x – x²(x – 2) -1.(x – 2) – 2x² – 9x + 2

= x³ + 10x – x³ + 2x² – x + 2 – 2x² – 9x + 2

= (x³ – x³) + (2x² – 2x²) + (10x – x – 9x) + (2 + 2)

= 0 + 0 + 0 + 4

= 4

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc giá trị của biến x.

Câu 4. Chứng minh giá tri của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến.

A = (x – y²).(x + y²) + (y² – 2).(y² + 2) – x²

Chứng minh

A = (x – y²).(x + y²) + (y² – 2).(y² + 2) – x²

= x(x + y²) – y²(x + y²) + y²(y² + 2) – 2(y² + 2) – x²

= x² + xy² – xy² – y⁴ + y⁴ + 2y² – 2y² – 4 – x²

=(x² – x²) + (xy² – xy²) + (y⁴ – y⁴) + (2y² – 2y²) – 4

= -4

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến

Câu 5. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.

A = (2x – 4).(1 – x²) + x(2x² – 2 – 4x)

Chứng minh

A = (2x – 4).(1 – x²) + x(2x² – 2 – 4x)

= 2x(1 – x²) – 4(1 – x²) + 2x³ – 2x – 4x²

= 2x – 2x³ – 4 + 4x² + 2x³ – 2x – 4x²

= (2x – 2x) + (2x³ – 2x³) + (4x² – 4x²) – 4

= 0 + 0 + 0 – 4

= -4

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x

Câu 6. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x; y

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y

Câu 7. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y

A = (9x – 2y).(x – y) + y(3x – 2y) + (1 – x).(1 + x)

Chứng minh

A = (9x – 2y).(x – y) + y(3x – 2y) + (1 – x).(1 + x)

A = x² – xy – 2xy + 2y² + 3xy – 2y² + 1 + x – x – x²

A = (x² – x²) + (-xy -2xy + 3xy) + (2y² – 2y²) + (x – x) + 1

A = 0 + 0 + 0 + 0 + 1

A = 1

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y

Câu 8. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y.

A = x³ – y³ + (y -x)(x² + y²) + xy(y – x)

Chứng minh

A = x³ – y³ + (y – x)(x² + y²) + xy(y – x)

A = x³ – y³ + x²y + y³ – x³ – xy² + xy² x²y

A = (x³ – -x³) + (y³ – y³) + (x²y – x²y) + (xy² – xy²)

A = 0 + 0 + 0 + 0

A = 0

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y

Câu 9. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y?

A = x²(xy – y – x) – x²y(x – 1) + (x -1)(x² + x + 1)

Chứng minh

A = x²(xy – y – x) – x²y(x – 1) + (x -1)(x² + x + 1)

A = x³y – x²y – x³ – x³y + x²y + x³ + x² + x -x² – x – 1

A = (x³y – x³y) + (x²y – x²y) + (x³ – x³) + (x² – x²) + (x – x) – 1

A = 0 + 0 + 0 + 0 -1

A = -1

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y

Câu 10. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.

A = x⁴ – (x² – 2).(x² + 2)

Chứng minh

A = x⁴ – (x² – 2).(x² + 2)

A = x⁴ – (x⁴ + 2x² – 2x² – 4)

A = x⁴ – (x⁴ – 4)

A = x⁴ – x⁴ + 4

A = 4

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x.