Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

A. Phương pháp giải

Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

 + Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm.

 + Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia.

* Hai qui tắc biến đổi phương trình:

 + Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

 + Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét xem các phương trình sau có tương đương không?

a) 3x = 3 và x – 1 = 0

b, x + 3 = 0 và 3x + 9 = 0.

a, Ta có 3x = 3 ⇔ 3x – 3 = 0 ⇔ 3(x – 1) = 0 ⇔ 3(x – 1) : 3 = 0 : 3 ⇔ x – 1 = 0

Vậy 3x = 3 ⇔ x – 1 = 0

b, Ta có x + 3 = 0 ⇔ 3(x + 3) = 0.3 ⇔ 3x + 9 = 0

Vậy x + 3 = 0 ⇔ 3x + 9 = 0.

Ví dụ 2: Xét xem các phương trình sau có tương đương không?

a, x – 2 = 0 và (x – 2)(x – 3) = 0

b, 2x – 6 = 0 và x(x – 3) = 0

Hướng dẫn giải:

a, Phương trình x – 2 = 0 có tập nghiệm S = {2},

phương trình (x – 2)(x – 3) = 0 có tập nghiệm S = {2; 3}

Vậy 2 phương trình x – 2 = 0 và (x – 2)(x – 3) = 0 không tương đương

b, Phương trình 2x – 6 = 0 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3

⇒ phương trình 2x – 6 = 0 có tập nghiệm S = {3}

Phương trình x(x – 3) = 0 có tập nghiệm S = {0;3}

Vậy 2 phương trình 2x – 6 = 0 và x(x – 3) = 0 không tương đương

Ví dụ 3: Xét xem hai phương trình x + 2 = 0 và có tương đương không?

Hướng dẫn giải:

Ta có x = -2 là nghiệm của phương trình x + 2 = 0.

Với x = -2 phương trình vô nghĩa.

Vậy hai phương trình đã cho không tương đương.

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Phương trình x – 1 = 0 tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau?

 A. x = 1 .

 B. x = -1

 C. x² + 1 = 0

 D. x² – 1 = 0

Đáp án: A

Ta có x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Bài 2: Phương trình 3x – 6 = 0 tương đương với phương trình nào sau đây ?

 A. x² – 4 = 0.

 B. x – 6 = 0.

 C. x = 3

 D. (x – 2)(x² + 1) = 0.

Đáp án: D

Ta có (1) giải PT: 3x – 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.

phương trình 3x – 6 = 0 có tập nghiệm S = {2}

(2) giải PT: x² – 4 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) = 0 ⇔

Phương trình x² – 4 = 0 có tập nghiệm S = {-2;2}

(3) giải PT: x – 6 = 0 ⇔ x = 6

Phương trình x – 6 = 0 có tập nghiệm S = {6}

(4) Phương trình x = 3 có tập nghiệm S = {3}

(5) giải PT: (x – 2)(x² + 1) = 0 ⇔ x – 2 = 0 (vì x² + 1 ≥ 1 với mọi x)

⇔ x = 2

Phương trình (x – 2)(x² + 1) = 0 có tập nghiệm S = {2}

Vậy PT 3x – 6 = 0 tương đương với phương trình (x – 2)(x² + 1) = 0 vì có cùng tập nghiệm.

Bài 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.

 A. x = 0 và x(x + 1) = 0 là hai phương trình tương đương.

 B. 3x + 2 = x + 8 và 6x + 4 = 2x + 16 là hai phương trình tương đương.

 C. x = 2 và │x│ = 2 là hai phương trình tương đương.

 D. x² = 1 và x² = x là hai phương trình tương đương.

Đáp án: B

Ta có 3x + 2 = x + 8 ⇔ 2(3x + 2) = 2(x + 8) ⇔ 6x + 4 = 2x + 16.

Vậy 3x + 2 = x + 8 và 6x + 4 = 2x + 16 là hai phương trình tương đương.

Bài 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

 A. x – 3 = 0 và 3x = 9 là hai phương trình tương đương.

 B. 2x + 1 = 1 và 3x = 0 là hai phương trình tương đương.

 C. 2x – 4 = 0 và x² = 4 là hai phương trình tương đương.

 D. 3x + 5 = x – 3 và 2x -1 = 3x + 3 là hai phương trình tương đương.

Đáp án: C

Ta có 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2; x² = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2;

Vậy hai phương trình 2x – 4 = 0 và x² = 4 không có cùng tập nghiệm, là hai phương trình không tương đương.

Bài 5: Xét sự tương đương của các phương trình sau ?

a, 18x + 5 = 8x + 15 và 10x = 10

b, 2x – 1 = 2 và (2x – 1)x = 2x.

Hướng dẫn giải:

a, Ta có 18x + 5 = 8x +15 ⇔ 18x – 8x = 15 – 5 ⇔ 10x = 10.

Vậy 2 phương trình 18x + 5 = 8x + 15 và 10x = 10 là tương đương.

b, Ta có: (1) 2x – 1 = 2 ⇔ 2x = 3 ⇔ x =

Phương trình 2x – 1 = 2 có tập nghiệm S = {};

(2) (2x – 1)x = 2x ⇔ (2x – 1)x – 2x = 0 ⇔ x(2x – 1 – 2) = 0

⇔ x (2x – 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2x = 3 ⇔ x = 0 hoặc x =

Phương trình (2x – 1)x = 2x có tập nghiệm S = { 0;

}

Vậy hai phương trình 2x – 1 = 2 và (2x – 1)x = 2x không tương đương vì không có cùng tập nghiệm

Bài 6: Xét sự tương đương của các phương trình sau ?

a, 2x – 3 = 9 và (2x – 3)x = 9x.

b, │3x│ = 6 và │x│ = 2.

Hướng dẫn giải:

a, Ta có 2x – 3 = 9 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6;

(2x – 3)x = 9x ⇔ 2x² – 3x – 9x = 0 ⇔ 2x² – 12x = 0 ⇔ 2x(x – 6) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 6.

Vậy hai phương trình 2x – 3 = 9 và (2x – 3)x = 9x không tương đương vì không có cùng tập nghiệm

b, Ta có │3x│ = 6 ⇔ 3│x│ = 6 ⇔ │ x│ = 2.

Vậy 2 phương trình │3x│ = 6 và │x│ = 2 là tương đương.

Bài 7: Chứng minh hai phương trình và x + 3 = 4x + 4 tương đương.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ⇔ x – 3 = 4x – 2 ⇔ x – 3 + 6 = 4x – 2 + 6 ⇔ x + 3 = 4x + 4.

Vậy hai phương trình

và x + 3 = 4x + 4 tương đương.

Bài 8: Khẳng định và 2x = 4 là hai phương trình tương đương đúng hay sai ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải:

Khẳng định và 2x = 4 là hai phương trình tương đương là sai.

Vì phương trình 2x = 4 có nghiệm x = 2. Nhưng với x = 2 thì phân thức

vô nghĩa.

Vậy x = 2 không là nghiệm của phương trình .

Bài 9: Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?

a, x + 1 = x và x² + 1 = 0.

b, x + 2 = 2 và (x + 2)(x – 2)= 2(x – 2).

Hướng dẫn giải:

a, ta có x + 1 = x ⇔ 0x = 1 (vô lí) ⇒ phương trình vô nghiệm;

x² + 1 = 0 ⇔ x² = -1 (vô lí) ⇒ phương trình vô nghiệm

⇒ Hai phương trình x + 1 = x và x² + 1 = 0 tương đương vì có cùng tập nghiệm.

b, Ta có:

x + 2 = 2 ⇔ x = 2 – 2 ⇔ x = 0

PT x + 2 = 2 có tập nghiệm S = { 0}

(x + 2)(x – 2)= 2(x – 2)

⇔ (x + 2)(x – 2) – 2(x – 2) = 0

⇔ (x – 2)(x + 2 – 2) = 0

⇔ (x – 2)x = 0

⇔

Pt (x + 2)(x – 2)= 2(x – 2) có tập nghiệm S = {0;2}

Vậy hai phương trình x + 2 = 2 và (x + 2)(x – 2)= 2(x – 2) không tương đương vì không có cùng tập nghiệm.

Bài 10: Chứng minh các phương trình │x – 1│ = 2 và (x + 1)(x – 3) = 0 tương đương:

Hướng dẫn giải:

Ta có │x – 1│ = 2 ⇔ x – 1 = -2 hoặc x – 1 = 2 ⇔ x = -1 hoặc x = 3;

(x + 1)(x – 3) = 0 ⇔ x + 1 = 0 hoặc x – 3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 3.

Vậy hai phương trình │x – 1│ = 2 và (x + 1)(x – 3) = 0 tương đương vì có cùng tập nghiệm