Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây
A. Phương pháp giải
Gọi ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d, chứng minh d = 1 hoặc d = -1
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh phân thức 
Hướng dẫn giải:
Gọi ƯCLN của –n + 3 và n – 4 là d
⇒ (-n + 3)⋮ d và (n – 4)⋮ d
⇒ [(-n + 3) +(n – 4)] ⋮ d
⇒ -1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho là tối giản với ∀n ∈ N
Ví dụ 2: Chứng minh phân thức 
Hướng dẫn giải:
Gọi ƯCLN của 2n + 1 và 5n + 3 là d
⇒ (2n +1)⋮ d và (5n + 3)⋮ d
⇒ [2(5n + 3) – 5(2n + 1) ] ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số 
Hướng dẫn giải:
Gọi d là ƯCLN của n3 + 2n và n4 + 3n2 + 1
Ta có n3 + 2n ⋮ d ⇒ n(n3 + 2n) ⋮ d ⇒ n4 + 2n2 ⋮ d (1)
(n4 + 3n2 + 1) –(n4 + 2n2) ⋮ d
⇒ n2 + 1 ⋮ d⇒ (n2 + 1)2 = n4 + 2n2 + 1 ⋮ d (2)
Từ (1) và (2) suy ra (n4 + 2n2 +1) – (n4 + 2n2) ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = ± 1
Vậy
C. Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh phân thức 
Hướng dẫn giải:
Gọi ƯCLN của 2n + 1 và 5n + 3 là d
⇒ (3n + 1) ⋮ d và (5n + 2) ⋮ d
⇒ [3(5n + 2) – 5(3n + 1)] ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 2: Chứng minh phân thức 
Hướng dẫn giải:
Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2
⇒ (12n + 1)⋮ d và (30n + 2)⋮ d
⇒ [5(12n + 1) – 2(30n + 2)] ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 3: Chứng minh phân thức
Hướng dẫn giải:
Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 2n2 – 1
⇒ (2n +1)⋮ d và (2n2 -1)⋮ d
⇒ [n(2n + 1) – (2n2 -1)] = n + 1⋮ d
⇒ 2(n + 1) ⋮ d ⇒ (2n + 2) – (2n + 1) = 1 ⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 4: Chứng minh phân thức 
Hướng dẫn giải:
Gọi d là ƯCLN của 2n + 5 và 3n + 7
⇒ (2n + 5)⋮ d và (3n + 7)⋮ d
⇒ [3(2n + 5) – 2(3n + 7)] = 1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 5: Chứng minh phân thức 
Hướng dẫn giải:
Gọi d là ƯCLN của 5n + 7 và 7n + 10
⇒ (5n + 7)⋮ d và (7n + 10)⋮ d
⇒ [7(5n + 7) – 5(7n + 10)] = -1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 6: Chứng minh phân thức
Hướng dẫn giải:
Gọi d là ƯCLN của 3n – 2 và 4n – 3
⇒ (3n – 2)⋮ d và (4n – 3)⋮ d
⇒ [3(4n – 3) – 4(3n – 2)] = -1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 7: Chứng minh phân thức 
Hướng dẫn giải:
Gọi d là ƯCLN của 3n và 3n + 1
⇒ 3n ⋮ d và (3n + 1)⋮ d
⇒ [(3n + 1) – 3n ] = 1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 8: Chứng minh phân thức 
Hướng dẫn giải:
Gọi d là ƯCLN của 2n – 1 và 4n2 – 2
⇒ (2n -1)⋮ d và (4n2 – 2)⋮ d
⇒ [2n(2n – 1) – (4n2 – 2)] = -2n + 2⋮ d
⇒ (2n – 1) + (-2n + 2) = 1 ⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 9: Chứng minh phân thức
Hướng dẫn giải:
Gọi d là ƯCLN của 7n – 5 và 3n – 2
⇒ (7n – 5)⋮ d và (3n – 2)⋮ d
⇒ [3(7n – 5) – 7(3n – 2)] = -1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 10: Cho phân thức 
Hướng dẫn giải:
Giả sử m, n là các số nguyên và ƯCLN(m, n) = 1 (vì
nếu d là ước chung m của m + n thì:
(m + n) d và m d
⇒ [(m + n) – m ] = n d
⇒ d ∈ ƯC (m,n) ⇒ d = 1(vì
Vậy nếu phân thức