Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Với Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Phương pháp giải

Sử dụng một trong hai cách sau:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình sau, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

Giải

Tứ giác AEDF là hình vuông.

Theo hình vẽ thì . Tứ giác AEDF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật AEDF có AD là đường phân giác của góc A nên nó là hình vuông.

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Giải

Đặt AD = a thì AB = 2a

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được:

AE = EB = CF = FD = a.

a) Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a

⇒ AE = EF = DF = AD = a

Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Hình thoi ADFE có nên nó là hình vuông.

b) Tứ giác MENF là hình vuông

Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được:

Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc

nên nó là hình vuông.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x.

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

và MB = NC = PD = QA = a – x, nên bốn tam giác vuông MBN, NCP, PDQ, QAM bằng nhau theo trường hợp (c – g – c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là MN = NP = PQ = QM.

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được:

Lại có góc BNC là góc bẹt hay

Từ (1) và (2) suy ra

Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Phần C. bài tập vận dụng cho phần Lời giải vào code Hiển thị đáp án

Hiển thị đáp án

Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.

Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Hiển thị đáp án

Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi. Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông.

Đáp án: A.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Mà AE = BF = CG = DH (gt) nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH

hay DG = CF = EB =AH.

nên HG = GF = HE = EF.

Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi.

Hình thoi EFGH có nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 4. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Vì ABCD là hình thoi nên (tính chất).

Mà OE, OF, OG, OH lần lượt là phân giác nên ta có

Suy ra

nên H, O, F thẳng hàng.

Tương tự ta có: E, O, G thẳng hàng.

Xét ta có OD = OB; (đối đỉnh); (so le trong) nên (g – c – g) suy ra OE = OG (1)

Tương tự ta có: (g – c – g) ⇒ OF = OH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác EFGH là hình bình hành vì có hai đường chéo EG; HF giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Lại xét có:

Suy ra: hình bình hành EFGH có hai đường chéo bằng nhau EG = HF nên EFGH là hình chữ nhật.

Lại có:

Hình chữ nhật EFGH có: nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Ta có: ΔABC vuông cân tại A nên

Xét tam giác vuông FGC có:

Suy ra ∆FGC là tam giác vuông cân tại

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông EHB có

Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H

Mà BH = HG = GC(gt) nên FG = EH = HG

Lại có:

Xét tứ giác EFGH có:

⇒Tứ giác EFGH là hình bình hành.

Mà nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Mặt khác EH = HG (cmt) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex//AF, qua F kẻ Fy//AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. AEPF là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Xét hai tam giác ABE và ADF có:

AB = AD (do ABCD là hình vuông)

Mặt khác lại do EP//AF; FP//AE ⇒AEPF là hình bình hành (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ AEPF là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 7. Cho ΔABC vuông cân tại B. Từ điểm D thuộc cạnh AB vẽ tại E, tia ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA. Khi đó MNPQ là hình gì?