Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây
Với Cách nhận biết hình thang cân hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
A. Phương pháp giải.
Có hai dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Hình thang ABCD (AB//CD) có 
Giải
Vì ABCD là hình thang nên AB//CD , kết hợp giả thiết, ta có:
(Vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau).
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2) thu được OA + OC = OB + OD ⇒ AC = BD.
Điều này chứng tỏ hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Cắt hai cạnh của tam giác ABC bởi một cát tuyến song song với cạnh đáy BC thì tứ giác thu được là hình gì?
Giải
Gọi giao điểm của cát tuyến với các cạnh AB, AC lần lượt là M, N.
Tứ giác MNCB có hai cạnh đối MN//BC nên là hình thang.
Mặt khác vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: 
Do đó hình thang MNCB có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ phân giác BE, CF của các góc B và C.
a) Chứng minh tam giác AEF cân.
b) Chứng minh tam giác BFC và CEB bằng nhau.
c) Chứng minh BFEC là hình thang cân.
Giải
a) Ta có
(t/c phân giác)
Mà 
Xét tam giác ABE và ACF ta có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
b) Xét tam giác BFC và CEB ta có:
c) Ta có
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EF//BC .
Tứ giác BCEF có EF//BC nên BCEF là hình thang.
Lại có
Vậy BCEF là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
C. Bài tập vận dụng.
Câu 1. Cho tam giác AMN cân tại A. Các điểm B, C lần lượt trên các cạnh AM, AN sao cho AB = AC. Hãy chọn câu đúng.
A. MB = NC.
B. BCNM là hình thang cân.
C. 
D. Cả A, B, C đều đúng.
Phần C. bài tập vận dụng cho phần Lời giải vào code Hiển thị đáp án
Xét ΔBAC có: BA = CA (gt) nên ΔBAC là tam giác cân.
Suy ra:
Vì ΔAMN cân tại A ⇒ AM=AN mà AB = AC nên
Lại có: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Mà hai góc 
Tứ giác BCNM có: BC//MN (cmt) nên là hình thang.
Hình thang BCNM có: 
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Đáp án: D.
Câu 2. Cho tam giác MNP cân tại M. Kẻ các đường trung tuyến NQ, PS. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. NSQP là hình thang cân.
B. MSQ là tam giác cân tại S.
C. MSQ là tam giác cân tại Q.
D. NQ ≠ SP.
Đặt 
nên tam giác MSQ cân tại M. Do đó B, C sai.
Áp dụng tính chất về tổng các góc trong tam giác vào hai tam giác MNP và MSQ, ta được:
Tứ giác NSQP có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.
Hình thang NSQP này lại có hai góc kề với một đáy bằng nhau là 
Đáp án: A
Câu 3. Cho ΔBAC cân tại A. Kẻ các đường cao BD, CE. Tứ giác BEDC là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang cân.
C. Hình thang vuông.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Đặt 
Xét ΔBAD và ΔEAC ta được:
(cạnh huyền, góc nhọn).
Suy ra AD = AE nên tam giác AED cân tại A.
Áp dụng tính chất về tổng các góc trong tam giác vào hai tam giác cân ABC và AED, ta được:
Tứ giác BEDC có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.
Hình thang BEDC này lại có hai góc kề với một đáy bằng nhau là 
Đáp án: B
Câu 4. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I, biết rằng AI = IC, IB = ID. Tứ giác ACBD là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang cân.
C. Hình thang vuông.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Do hai góc 
Từ giả thiết 
vì có cặp góc so le trong bằng nhau.
Tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.
Hình thang ABCD này lại có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.
Đáp án: B
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE. Tứ giác BDEC là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang vuông.
C. Hình thang cân.
D. Cả A, B, C đều sai.
Tam giác ADE có AD = AE (gt) nên tam giác ADE cân tại A.
Suy ra 
Tam giác ABC cân tại A (gt) nên
Từ (1) và (2) suy ra 
Mà 2 góc 
Tứ giác BDEC có DE//BC nên tứ giác BDEC là hình thang.
Lại có 
Đáp án: C.
Câu 6. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho DE//BC . Chọn đáp án đúng nhất. Tứ giác BDEC là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang vuông.
C. Hình thang cân.
D. Cả A, B, C đều sai.
Tứ giác BDEC có DE//BC nên tứ giác BDEC là hình thang.
Lại có 
Đáp án: C.
Câu 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tứ giác BMNC là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang cân
C. Hình thang vuông.
D. Cả A, B, C đều sai.
Ta có: AB = AM + MB và AC = AN + NC. Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại A) và BM = NC (gt)
Suy ra AN = AM
Xét tam giác AMN có: AM = AN (cmt)
Suy ra tam giác AMN cân tại A. Suy ra 
Xét tam giác ANM có: 
Xét tam giác ABC có: 
Từ (1) và (2) suy ra 
Mà 
Xét tứ giác MNCB có MN//BC nên MNCB là hình thang.
Lại có 
Đáp án: B.
Câu 8. Cho tam giác KDC cân tại K. Trên các cạnh KD, KC lấy các điểm A, B sao cho AB//CD. Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chọn khẳng định đúng?
A. KI là đường trung trực của hai đáy AB và CD.
B. KI là đường trung trực của đáy AB nhưng không là đường trung trực của CD.
C. KI là đường trung trực của đáy CD nhưng không là trung trực của AB.
D. KI không là đường trung trực của cả hai đáy AB và CD.
Tứ giác ABCD có AB//CD nên tứ giác ABCD là hình thang.
Lại có 
Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:
AD = BC (do ABCD là hình thang cân)
AC = BD (do ABCD là hình thang cân)
CD là cạnh chung
Suy ra ΔACD=ΔBCD (c-c-c). Suy ra 
Xét tam giác ICD có 
ID = IC (1)
Tam giác KCD cân ở K. Do đó
KC = KD (2)
Từ (1) và (2) suy ra KI là đường trung trực của CD (*)
Xét tam giác ADB và tam giác BCA có:
AD = BC (cmt)
AB là cạnh chung
AC = BD
Suy ra ΔABD=ΔACB (c-c-c). Suy ra 
Xét tam giác IAB có 
Ta có: KA = KD – AD; KB = KC – BC. Mà KD = KC, AD = BC, do đó
KA = KB (4)
Từ (3) và (4) suy ra KI là đường trung trực của AB. (**)
Từ (*) và (**) suy ra KI là đường trung trực của hai đáy.
Đáp án: A.
Câu 9. Cho tam giác KDC cân tại K. Trên các cạnh KD, KC lấy các điểm A, B sao cho AB//CD. Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chọn câu sai.
A. ΔABK cân tại K.
B. ΔKCD cân tại K.
C. ΔICD đều.
D. KI là đường phân giác 
Tứ giác ABCD có AB//CD nên tứ giác ABCD là hình thang.
Lại có 
Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:
AD = BC (do ABCD là hình thang cân)
AC = BD (do ABCD là hình thang cân)
CD là cạnh chung
Suy ra ΔACD=ΔBCD(c-c-c). Suy ra 
Xét tam giác ICD có 
Tam giác KCD cân ở K (theo đề bài) nên B đúng.
Xét tam giác KDI và tam giác KCI có:
KD = KC (do cân tại K)
KI là cạnh chung
IC = ID
Suy ra ΔKID=ΔKCI(c-c-c). Suy ra 
Ta có: AB//CD (do ABCD là hình thang) nên 
Mà 
Đáp án: C.
Câu 10. Phải bổ sung thêm điều kiện gì thì hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân?
A. Hai cạnh đáy không bằng nhau.
B. Hai cạnh bên không song song.
C. Cả A và B.
D. A hoặc B.
Đáp án: D.