Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

A. Phương pháp giải

         + Bước 1. Đặt t = f(x) , đưa đa thức đã cho về đa thức biến t.

         + Bước 2. Phân tích đa thức ẩn t đó thành nhân tử bằng các phương pháp: Dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách ( thêm, bớt) hạng tử.

         + Bước 3. Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử theo ẩn t, ta trả lại theo biến x.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

A. (x+ 2). (x- 1). (x+ 4).( x- 3)

B. ( x + 2). (x+ 1). ( x- 3). (x – 4)

C. (x – 2). (x- 1). (x- 4). (x+3)

D. Đáp án khác

Lời giải

Đặt t = x² + x, ta có:

(x² + x)² – 14(x² + x) + 24 = t² – 14t + 24

+ Ta có:

t² – 14t + 24 = t² – 2t – 12t + 24

= (t² – 2t) – (12t – 24)

= t(t – 2) – 12(t – 2) = (t – 2).(t – 12)

+ Do đó,

(x² + x)² – 14(x² + x) + 24 = (x² + x – 2).(x² + x – 12)

= [(x² – x) + (2x – 2)].[(x² – 16) + (x + 4)]

= [x(x – 1) + 2(x – 1)].[(x + 4).(x – 4) + 1.(x + 4)]

= (x + 2).(x – 1).(x + 4).(x + 3)

Chọn A.

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức (x² + x)² + 4x² + 4x – 12 thành nhân tử

A. (x + 1).(x – 2).(x² + x + 6)

B. (x – 1).(x – 2).(x² + x + 6)

C. (x – 1).(x + 2).(x² + x + 6)

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta có: (x² + x)² + 4x² + 4x – 12 = (x² + x)² + 4(x² + x) – 12

Đặt t = x² + x, khi đó:

(x² + x)² + 4(x² + x) – 12 = t² + 4t – 12 (1)

+ Ta có:

t² + 4t – 12 = t² – 4 + 4t – 8

= (t + 2).(t – 2) + 4(t – 2)

= (t – 2).(t + 2 + 4) = (t – 2).(t + 6) (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra:

(x² + x)² + 4x² + 4x – 12

= (x² + x – 2).(x² + x + 6)

= [(x² – 1) + (x – 1)].(x² + x + 6)

= [(x – 1).(x + 1) + (x – 1)].(x² + x + 6)

= (x – 1).(x + 1 + 1).(x² + x + 6) = (x – 1).(x + 2).(x² + x + 6)

Chọn C.

Ví dụ 3. Phân tích đa thức (x² + x + 1).(x² + x + 2) – 12 thành nhân tử

A. (x + 1).(x + 2).(x² – x + 5)

B. (x – 1).(x + 2).(x² + x + 5)

C. (x – 1).(x – 2).(x² + x + 5)

D. Đáp án khác

Lời giải

Đặt t = x² + x + 1 => t + 1 = x² + x + 2

Khi đó: (x² + x + 1).(x² + x + 2) – 12 = t.(t + 1) – 12 (1)

Ta có:

t(t + 1) – 12 = t² + t – 12

= (t² – 9) + (t – 3)

= (t + 3).(t – 3) + 1.(t – 3)

= (t – 3).(t + 3 + 1) = (t – 3).(t + 4) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(x² + x + 1).(x² + x + 2) – 1² = (x² + x + 1 – 3).(x² + x + 1 + 4)

= (x² + x – 2).(x² + x + 5) = [(x² – 1) + (x – 1)].(x² + x + 5)

= [(x + 1).(x – 1) + (x – 1)].(x² + x + 5)

= (x – 1).(x + 2).(x² + x + 5)

Chọn B.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Phân tích đa thức (x² + 4x + 8)² + 3x(x² + 4x + 8) + 2x² thành nhân tử

A. (x – 2).(x + 4).(x² + 5x + 8)

B. (x + 2).(x – 4).(x² + 5x + 8)

C. (x – 2).(x – 4).(x² + 5x + 8)

D. (x + 2).(x + 4).(x² + 5x + 8)

+ Đặt t = x² + 4x + 8, khi đó:

(x² + 4x + 8)² + 3x(x² + 4x + 8) + 2x² = t² + 3xt + 2x²

+ Ta có:

t² + 3xt + 2x² = (t² + xt) + (2xt + 2x²)

= t.(t + x) + 2x.(t + x) = (t + 2x).(t + x)

Do đó: (x² + 4x + 8)² + 3x(x² + 4x + 8x) + 2x²

= (x² + 4x + 8 + 2x).(x² + 4x + 8 + x)

= (x² + 6x + 8).(x² + 5x + 8)

= [(x² + 2x) + (4x + 8)].(x² + 5x + 8)

= [x(x + 2) + 4(x + 2)].(x² + 5x + 8)

= (x + 2).(x + 4).(x² + 5x + 8)

Chọn D.

Câu 2. Phân tích đa thức (x+ 1).(x+ 2). (x+ 3). (x+ 4) + 1 thành nhân tử

A. (x +1).(x+ 5). (x+ 6). (x- 1)

B. (x+ 2).(x- 3).(x + 7).(x – 1)

C. (x² + 5x + 5)²

D. Đáp án khác

(x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1

= [(x + 1).(x + 4)].[(x + 2).(x + 3)] + 1

= (x² + 5x + 4).(x² + 5x + 6) + +1

+ Đặt t = x² + 5x + 5 => t – 1 = x² + 5x + 4; t + 1 = x² + 5x + 6

+ Ta có :

(x² + 5x + 4).(x² + 5x + 6) + 1

= (t – 1).(t + 1) + 1 = t² – 1 + 1

= t² = (x² + 5x+ 5)²

Chọn C.

Câu 3. Phân tích đa thức x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x – 12 thành nhân tử

A. (x – 1).(x – 2).(x² – x + 6)

B. (x – 1).(x + 2).(x² + x + 6)

C. (x + 1).(x + 2).(x² – x + 6)

D. Đáp án khác

• Ta có:

x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x – 12

= (x⁴ + 2x³ + x²) + (4x² + 4x) – 12

= x².(x² + 2x + 1) + 4x(x + 1) – 12

= x².(x + 1)2 + 4x.(x + 1) – 12

• Đặt t = x(x + 1) => t² = x².(x + 1)²

Do đó;

x².(x + 1)² + 4x.(x + 1) – 12 = t² + 4t – 12

= (t² + 6t) – (2t + 12) = t(t + 6) -2(t + 6) = (t – 2).(t + 6)

= [x.(x + 1) – 2].[x.(x + 1) + 6] = (x² + x – 2).(x² + x + 6)

= [(x² – 1) + (x – 1)].(x² + x + 6)

= [(x + 1).(x – 1) + 1.(x – 1)].(x² + x + 6)

= (x – 1).(x + 1 + 1).(x² + x + 6) = (x – 1).(x + 2).(x² + x + 6)

Chọn B.

Câu 4. Phân tích đa thức (x + 1).(x + 3).(x + 5).(x + 7) + 15 thành nhân tử

A. (x + 6).(x + 2).(x² + 8x + 10)

B. (x – 6).(x + 2).(x² + 8x – 10)

C. (x + 6).(x – 2).(x² – 8x + 10)

D. Đáp án khác

Ta có:

(x + 1).(x + 3).(x + 5).(x + 7) + 15

= [(x + 1).(x + 7)].[(x + 3).(x + 5)] + 15

= (x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15

+ Đặt t = x² + 8x + 11 =>t – 4 = x² + 8x + 7; t + 4 = x² + 8x + 15

Khi đó: (x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15

= (t – 4).(t + 4) + 15

= t² – 16 + 15 = t² – 1 = (t + 1).(t – 1)

= (x² + 8x + 11 + 1).(x² + 8x + 11 – 1)

= (x² + 8x + 12).(x² + 8x + 10)

= [(x² + 2x) + (6x + 12)].(x² + 8x + 10)

= [x.(x + 2) + 6(x + 2)].(x² + 8x + 10)

= (x + 6).(x + 2).(x² + 8x + 10)

Chọn A.

Câu 5. Phân tích đa thức(x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15 thành nhân tử

A. (x² – 8x + 10).(x + 6).(x + 2)

B. (x² + 8x + 10).(x + 6).(x + 2)

C. (x² + 8x + 10).(x – 6).(x + 2)

D. Đáp án khác

Đặt t = x² + 8x + 7 => t + 8 = x² + 8x + 15

Ta có: (x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15

= t.(t + 8) + 15 = t² + 8t + 15

= (t² + 5t) + (3t + 15)

= t(t + 5) + 3(t + 5) = (t + 3).(t + 5)

= (x² + 8x + 7 + 3).(x² + 8x + 7 + 5)

= (x² + 8x + 10).(x² + 8x + 12)

= (x² + 8x + 10).[(x² + 2x) + (6x + 12)]

= (x² + 8x + 10).[(x(x + 2) + 6(x + 2)]

= (x² + 8x + 10).(x + 6).(x + 2)

Chọn B.

Câu 6. Phân tích đa thức (x + 2). (x+ 3). (x+ 4).(x+ 5) – 24 thành nhân tử

A. (x² – 7x + 16).(x + 6).(x + 1)

B. (x² + 7x + 16).(9x – 6).(x + 1)

C. (x² + 7x + 16).(x + 6).(x + 1)

D. Đáp án khác

Ta có: (x + 2). (x + 3). (x+ 4). (x+ 5) – 24

= [(x + 2).(x + 5)].[(x + 3).(x + 4)] – 24

= (x² + 7x + 10).(x² + 7x + 12) – 24

+ Đặt t = x² + 7x + 11 => t – 1 = x² + 7x + 10; t + 1 = x² + 7x + 12

Khi đó:

(x² + 7x + 10).(x² + 7x + 12) – 24

= (t – 1).(t + 1) – 24

= t² – 1 – 24 = t² – 25 = (t + 5).(t – 5)

= (x² + 7x + 11 + 5).(x² + 7x + 11 – 5)

= (x² + 7x + 16).(x² + 7x + 6)

= (x² + 7x + 16).[(x² + x) + (6x + 6)]

= (x² + 7x + 16).[x(x + 1) + 6(x + 1)]

= (x² + 7x + 16).(x + 6).(x + 1)

Chọn C.

Câu 7. Phân tích đa thức thành nhân tử (x² + 3)² – x² – 5

A. (x² + 2).(x² + 1)

B. (x² + 4).(x² + 2)

C. (x² + 3).(x² + 1)

D. (x² + 4).(x² + 1)

Đặt t = x² + 3. Suy ra:

(x² + 3)³ – x² – 5 = (x² + 3)² – (x² + 3) – 2

= t² – t – 2 = (t² – 1) – (t + 1)

= (t + 1).(t – 1) – (t + 1)

= (t + 1).(t – 1 – 1) = (t + 1).(t – 2)

= (x² + 3 + 1).(x² + 3 – 2) = (x² + 4).(x² + 1)

Chọn D.

Câu 8. Phân tích đa thức x⁴ – x² – 6 thành nhân tử

A. (x² – 2).(x² + 3)

B. (x² + 2).(x² – 3)

C. (x² – 2).(x² – 3)

D. (x² + 2).(x² + 3)

Đặt t = x², khi đó:

x⁴ – x² – 6 = t² – t – 6

= (t² – 4) – (t + 2) = (t + 2).(t – 2) – 1.(t + 2)

= (t + 2).(t – 2 – 1) = (t + 2).(t – 3)

= (x² + 2).(x² – 3)

Chọn B.

Câu 9. Phân tích đa thức (x³ + 3)2 – 3(x³ + 3) + 2 thành nhân tử

A. (x³ + 2).(x + 1).(x² – x + 1)

B. (x³ + 2).(x – 1).(x² + x + 1)

C. (x³ – 2).(x + 1).(x² – x + 1)

D. Đáp án khác

Đặt t = x³ + 3, ta có:

(x³ + 3)2 – 3(x³ + 3) + 2 = t² – 3t + 2

= (t² – t) – (2t – 2) = t(t – 1) – 2(t – 1)

= (t – 1).(t – 2)

= (x³ + 3 – 1).(x³ + 3 – 2)

= (x³ + 2).(x³ + 1) = (x³ + 2).(x + 1).(x² – x + 1)

Chọn A.

Câu 10. Phân tích đa thức (3 – x³)2 + x³ – 9 thành nhân tử

A. (3 – x³).x³

B. -(5 – x³).x³

C. (6 – x³).x³

D. Đáp án khác

Đặt t = 3 -x³ => x³ = 3 – t

Ta có:

(3 – x³)2 + x³ – 9

= t² + 3 – t – 9 = t² – t – 6

= (t² – 3t) + (2t – 6)

= t(t – 3) + 2(t – 3) = (t + 2).(t – 3)

= (3 – x³ + 2).(3 – x³ – 3)

= -(5 – x³).x³

Chọn B.