Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

A. Phương pháp giải

+ Giả sử đa thức có nghiệm là x = a.

Ta dùng phương pháp thêm ( bớt) , tách hạng tử và nhóm các hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung là x – a.

+ Chú ý:

            • A.B + A.C = A.(B + C)

            • Đa thức bậc hai ax² + bx + c có hai nghiệm là x₁; x₂.

Khi đó: ax² + bx + c = a.(x = x₁).(x – x₂)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phân tích đa thức 3x² + bx + c thành nhân tử?

A. 3(x+ 1). (x – 9)

B. 3(x + 1). (x – 3)

C. 3(x – 1).(x + 9)

D. 3(x – 1). (x+ 3)

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Ta thấy x = 1 là 1 nghiệm của đa thức đã cho nên ta phân tích như sau:

3x² + 6x – 9 = (3x² – 3) + (6x – 6)

= 3(x + 1).(x – 1) + 6(x – 1)

= 3(x – 1).[(x + 1) + 2] = 3(x – 1).(x + 3)

Chọn D.

Ví dụ 2. Phân tích đa thức (x² + x)² + 4x² + 4x – 12 thành nhân tử?

A. (x – 1).(x² + x + 2)

B. (x + 1).(x² – x + 2)

C. (1 – x).(x² + x – 2)

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 làm nghiệm. Do đó, ta sẽ nhóm thích hợp để xuất hiện nhân tử chung x – 1 như sau:

+ x³ + x – 2 = (x³ – 1) + (x – 1)

= (x – 1).(x² + x + 1) + 1.(x – 1)

= (x – 1).(x² + x + 1 + 1) = (x – 1).(x² + x + 2)

Chọn A.

Ví dụ 3. Phân tích đa thức x⁴ – 3x³ + x² – 5 thành nhân tử?

A. (x – 1).(x³ + 4x² + 5x – 5)

B. (x + 1).(x³ – 4x² + 5x – 5)

C. (x + 1).(x³ – 4x² – 5x + 5)

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhân x = -1 là nghiệm.

Ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x + 1 là nhân tử chung như sau:

+ Ta có:

x⁴ – 3x³ + x² – 5 = (x⁴ + 2x³ + x²) – (5x³ + 5)

= x².(x² + 2x + 1)-5(x³ + 1)

= x².(x + 1)² – 5(x + 1).(x² – x + 1)

= (x + 1).[x².(x + 1) – 5(x² – x + 1)]

= (x + 1).(x³ + x² – 5x² + 5x – 5)

= (x + 1).(x³ – 4x² + 5x – 5)

Chọn B.

Ví dụ 4. Phân tích đa thức -7x² + 12x + 4 thành nhân tử

A. ( 2x + 2). (-7x -1)

B. ( – 7x + 3).(x+ 2)

C.( x- 2).(- 7x + 2)

D. ( – 7x – 2). (x- 2)

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 2 là nghiệm. Chúng ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x – 2 như sau:

-7x² + 12x + 4 = -7x² + 14x – 2x + 4

= -7x.(x – 2) – 2(x – 2)

= (-7x – 2).(x – 2)

Chọn D.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Phân tích đa thức -8x² + 24x – 16 thành nhân tử?

A. ( – 8x + 16). (x- 1)

B. ( 8x – 1).( x + 16)

C. ( 4x – 1). (- 2x + 16)

D. ( 2x – 2).(- 4x + 8)

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung x- 1 như sau:

-8x² + 24x – 16 = (-8x² + 8x) + (16x – 16)

= – 8x(x – 1) + 16.(x – 1) = (-8x + 16).(x – 1)

Chọn A

Câu 2. Phân tích đa thức (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1thành nhân tử?

A. (x- 2). ( 20x – 3)

B. ( x- 2).( 20x + 30).

C. (x+ 2). ( 20x + 3)

D. (2x + 4). (10x – 15)

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 2 làm nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 2 như sau:

20x² – 10x – 60 = 20x² – 80 – 10x + 20

= (20x² – 80) – (10x – 20) = 20.(x² – 4) – 10(x – 2)

= 20.(x + 2).(x – 2) – 10.(x – 2)

= (x – 2).[20(x + 2) – 10] = (x – 2).(20x + 40 – 10)

= (x – 2).(20x + 30)

Chọn B.

Câu 3. Phân tích đa thức -8x³ + 10x² + 4x – 6 thành nhân tử?

A. (x + 1)².(8x – 6)

B. (1 – x)².(-8x + 6)

C. (x – 1)².(-8x – 6)

D. Đáp án khác

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 1 làm nhân tử chung như sau:

-8x³ + 10x² + 4x – 6

= -8x³ + 8x² + 2x² – 2x + 6x – 6

= (x – 1).(-8x² + 2x + 6)

= (x – 1).[(-8x² + 8x) – (6x – 6)]

= (x – 1).[-8x.(x – 1) – 6(x – 1)]

= (x – 1).(x – 1).(-8x – 6)

= (x – 1)².(-8x – 6)

Chọn C.

Câu 4. Phân tích đa thức -x⁵ + 8x² + 2x + 9 thành nhân tử

A. (1 – x).(-x⁴ – x³ – x² + 7x + 9)

B. (x + 1).(-x⁴ – x³ + x² + 7x + 9)

C. (1 – x).(-x⁴ – x³ – x² – 7x + 9)

D. (x – 1).(-x⁴ – x³ – x² + 7x + 9)

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 1 như sau:

-x⁵ + 8x² + 2x – 9

= (-x⁵ + x²) + (7x² – 7) + (2x – 2)

= -x².(x³ – 1) + 7(x² – 1) + 2.(x – 1)

= -x².(x – 1).(x² + x + 1) + 7(x + 1).(x – 1) + 2(x – 1)

= (x – 1).[-x².(x² + x + 1) + 7(x + 1) + 2]

= (x – 1).(x⁴ -x³ – x² + 7x + 7 + 2)

= (x – 1).(-x⁴ – x³ – x² + 7x + 9)

Chọn D

Câu 5. Phân tích đa thức 4x⁴ + x³ – 4x – 1 thành nhân tử

A. (4x + 1).(x – 1).(x² + x + 1)

B. (2x + 2).(x – 1).(x² + x – 1)

C. (4x – 1).(x + 1).(x² + x + 1)

D. Đáp án khác

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= 1 làm nghiệm. Ta nhóm làm xuất hiện x – 1 như sau:

4x⁴ + x³ – 4x – 1 = (4x⁴ – 4x) + (x³ – 1)

= 4x(x³ – 1) + (x³ – 1)

= (4x + 1).(x³ – 1)

= (4x + 1).(x – 1).(x² + x + 1)

Chọn A.

Câu 6. Phân tích đa thức 6x³ – 4x² – 3x + 7 thành nhân tử

A. (x + 1).(6x² + 8x + 7)

B. (x – 1).(6x² + 9x + 7)

C. (x + 1).(6x² – 10x + 7)

D. Đáp án khác

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= -1 làm nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x + 1 như sau:

6x³ – 4x² – 3x + 7

= (6x³ + 6) – (4x² + 4x) + (x + 1)

= 6(x³ + 1) – 4x(x + 1) + 1.(x + 1)

= 6(x + 1).(x² – x + 1) – 4x.(x + 1) + 1.(x + 1)

= (x + 1).[6.(x² – x + 1) – 4x + 1]

= (x + 1).(6x² – 6x + 6 – 4x + 1)

= (x + 1).(6x² – 10x + 7)

Chọn C.

Câu 7. Phân tích đa thức -x³ + 2x² + 9x – 18 thành nhân tử

A. (3+ x). (3- x). ( 4- x)

B. (3 + x). (3- x). (x- 2)

C. (x + 2). ( x- 2). ( 6 -x)

D. (2 – x). ( x +1). ( x – 9)

-x³ + 2x² + 9x – 18

= (-x³ + 2x²) + (9x – 18)

= -x².(x – 2) + 9(x – 2)

= (-x² + 9).(x – 2)

= (9 – x²).(x – 2)

= (3 + x).(3 – x).(x – 2)

Chọn B.

Câu 8. Phân tích đa thức -10x² + 5x + 75 thành nhân tử

A.( -10x – 25). (x – 3)

B. (5x + 5).(-2x + 15)

C.( – 5x + 15).( 2x + 6)

D. ( -10x + 20).( x + 3)

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= 5 là nghiệm. Ta nhóm làm xuất hiện x – 5:

-10x² + 5x + 75

= (-10x² + 90) + (5x – 15)

= -10.(x² – 9) + 5.(x – 3)

= -10.(x + 3).(x – 3) + 5.(x – 3)

= (x – 3).[-10.(x + 3) + 5]

= (x – 3).(-10x – 25)

Chọn A.

Câu 9. Phân tích đa thức 17x² – 13x – 94 thành nhân tử

A. (x+ 2). ( 17x – 47)

B. (x + 5). ( 17x – 2)

C. (17x – 1).(x + 94)

D. Đáp án khác

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = – 2 làm nghiệm ta nhóm để xuất hiện x + 2:

17x² – 13x – 94

= 17x² – 68 – 13x – 26

= 17.(x² – 4) – 13.(x + 2)

= 17.(x + 2).(x – 2) – 13.(x + 2)

= (x + 2).[17(x – 2) – 13] = (x + 2).(17x – 47)

Chọn A.

Câu 10. Phân tích đa thức -2x³ + 8x – 30 thành nhân tử

A. (x + 3). (- x + 1).(2x + 10)

B. (x + 3).(-2x² + 6x – 10)

C. (x+ 3). ( 2x + 2). (x – 5)

D. (-x + 3).(2x² – 6x – 10)

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = -3 là nghiệm. Ta làm xuất hiện nhân tử chung x + 3 như sau:

-2x³ + 8x – 30 = -2x³ + 8x + 24 – 54

= (-2x³ – 54) + (8x + 24) = -2(x³ + 27) + 8.(x + 3)

= -2.(x + 3).(x² – 3x + 9) + 8.(x + 3)

= (x + 3).[-2(x² – 3x + 9) + 8]

= (x + 3).(-2x² + 6x – 18 + 8)

= (x + 3).(-2x² + 6x – 10)

Chọn B.