Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

A. Phương pháp giải

+ Với mọi x:

+ Với mọi a; b ta có:

. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và . Dấu = xảy ra khi a- b = 0

• Cho biểu thức A(x):

+ Nếu

thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu

+ Nếu

+ Với mọi A; B ta có:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 6x – x²

A. 9                B. 11                C. 8                D. 13

Lời giải

Ta có:

A = 6x – x² = -(x² – 6x)

= -(x² – 6x + 9) + 9

= -(x – 3)² + 9

Với mọi x ta có:

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 9

Chọn A.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 6 – 8x – x²

A. 6                B. 22                C. 18                D. 16

Lời giải

Ta có:

B = 6 – 8x – x² = -(x² + 8x) + 6

= -(x² + 8x + 16) + 6 + 16

= -(x + 4)² + 22

Vì

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 22

Chọn B.

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 4x² + 8x + 10

A . 6                B. 10                C. 12                D. 18

Lời giải

C = 4x² + 8x + 10 = (2x)² + 2.2x.2 + 4 + 6

= (2x + 2)² + 6

Với mọi x ta có:

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6

Chọn A.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có: 2x² + 4x + 9 = (2x² + 4x + 2) + 7 = 2(x² + 2x + 1) + 7 = 2(x + 1)² + 7

Với mọi x,

Do đó, giá trị lớn nhất của A là .

Chọn A.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Với mọi x ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là

Chọn A.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 10 – x²

A. 0                B.10                C. -10                D. 9

Ta có:

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 10

Chọn B.

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4x – 2x²

A. 0                B. 1                C. 4                D. 2

Ta có;

A = 4x – 2x² = -2(x² – 2x)

= -2(x² – 2x + 1) + 2 = -2(x – 1)2 + 2

Vì

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2.

Chọn D.

Câu 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 4x + 3 – x²

A. 7                B. 4                C. 3                D. -1

Ta có:

Vì

Do đó, giá trị lớn nhất của C là 7.

Chọn A.

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = -x² + 6x – 11

A. -11                B. 6                C. -2                D. 9

D = -x² + 6x – 11 = -(x² – 6x) – 11

= -(x² – 6x + 9) + 9 – 11

= -(x – 3)² – 2

Vì

Giá trị lớn nhất của biểu thức D là – 2

Chọn C

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E = 4x – x² + 1

A. 1                B. 5                C. 3                D. 6

Ta có:

E = 4x – x² + 1 = -(x² – 4x) + 1

= -(x² – 4x + 4) + 4 + 1

= -(x – 2)² + 5

Vì

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức E là 5.

Chọn B.

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x² + 8x + 11

A. 3                B. 8                C. 11                D. 9

Ta có:

A = 2x² + 8x + 11 = 2(x² + 4x) + 11

= 2(x² + 4x + 4) – 8 + 11

= 2(x + 2)² + 3

Vì

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3

Chọn A.

Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x² – 2x + y² + 4y + 10

A. 1                B. 10                C. 5                D. 8

Ta có:

E = x² – 2x + y² + 4y + 10

= (x² – 2x + 1) + (y² + 4y + 4) + 5

= (x – 1)² + (y + 2)² + 5

Vì

Do đó, giá trị nhỏ nhất của E là 5.

Chọn C.

Câu 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = 4x² + y² + 6y + 20

A. 20                B. 11                C. 10                D. 16

Ta có;

D = 4x² + y² + 6y + 20 = 4x² + (y² + 6y + 9) + 11

= 4x² + (y + 3)² + 11

Vì:

Suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của D là 11

Chọn B.

Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x² + 5y² – 4xy – 8y + 28

A.10                B. 8                C. 20                D. 15

Ta có:

G = x² + 5y² – 4xy – 8y + 28

G = (x² – 4xy + 4y²) + (y² – 8y + 16) + 8

= (x – 2y)² + (y – 4)² + 8

Vì

Suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 8.

Chọn B.