Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

A. Phương pháp giải

Để biểu thức có giá trị nguyên ta làm như sau:

         + Chia đa thức A(n) cho đa thức B(n) – khi bậc của đa thức A(n) lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức B(n)

         + Biến đổi:

Để nguyên khi

nguyên

Suy ra: CMB(n); B(n) ∈ U(C)

Tìm các ước của C. Suy ra, các trường hợp của B(n)

Từ đó, suy ra các giá trị nguyên của n thỏa mãn.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm n nguyên để ( n + 1) chia hết cho ( n – 1)

A. n ∈ {0; 2; 3; -1}          B. n ∈ {1; 2; 4; -1}          C. n ∈ {4; 2; 3; 1}          D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có:

Do đó, để (n + 1) chia hết cho ( n – 1) thì Ư(2)

Mà Ư(2) = {-1; 1; 2; -2}

+ Nếu n – 1 = -1 thì n =0

+ Nếu n – 1= 1 thì n = 2

+ Nếu n – 1 = 2 thì n = 3.

+ Nếu n – 1 = -2 thì n = -1

Vậy để (n + 1) chia hết cho ( n – 1) thì n ∈ {0; 2; 3; -1}

Chọn A.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của n để n² chia hết cho (n + 2)

A.4          B. 5          C. 6          D. 7

Lời giải

Ta có:

Để n² chia hết cho (n + 2) thì

nguyên

Suy ra, nguyên nên (n+ 2)∈ Ư (4)

Mà Ư(4) = {-1; 1; -2; 2; -4; 4}

Vậy để n² chia hết cho (n + 2) thì n ∈ {-3; -1; -4; 0; -6; 2}

Vậy có 6 giá trị nguyên của n thỏa mãn .

Chọn C.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên dương n thỏa mãn n³ – 28 chia hết cho n- 3

A. 1          B. 2          C. 3          D. 4

Lời giải

Ta có:

Để n³ – 28 chia hết cho n- 3 khi và chỉ khi nguyên

Suy ra: nguyên.

Do đó, (n – 3) ∈ U(3) = {-1; 1}

+ Nếu n – 3 = -1 thì n = 2

+ Nếu n – 3 = 1 thì n = 4

Vậy có 2 giá trị nguyên dương của n thỏa mãn.

Chọn B.

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của n để ( 6n+ 5) chia hết cho (3n + 1)

A. 1          B. 2          C. 3          D .4

Lời giải

Ta có:

Để ( 6n +5) chia hết cho (3n + 1) thì nguyên

Suy ra: nguyên nên (3n + 1) ∈ U(3) = {-3; -1; 1; 3}

Vậy chỉ có đúng 1 giá trị nguyên của n thỏa mãn là n = 0

Chọn A

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên n thỏa mãn n³ + 6n² – 7n + 4 chia hết cho n – 2 ?

A. 6          B. 5          C. 7          D. 8

Ta có

n³ + 6n² – 7n + 4 = (n³ – 3n².2 + 3.n.22 – 8) + 12n² – 19n + 12

= (n – 2)³ + 12n(n – 2) + 5(n – 2) + 22

Khi đó ta có:

Để giá trị của biểu thức n³ + 6n² – 7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 2

=> n ∈ {1; 3; 0; 4; 13; -9; 24; -20}

Vậy có 8 giá trị nguyên của n thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n để -2n² – 4 chia hết cho n + 1

A. 1          B. 2          C. 3          D. 4

Ta có:

Để -2n² – 4 chia hết cho n + 1 thì nguyên

Suy ra: nguyên. Do đó, (n +1) ∈ U(6) = {-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6}

Mà n nguyên dương nên n ∈ {1; 2; 5}

Vậy có 3 giá trị nguyên dương thỏa mãn đầu bài

Chọn C.

Câu 3. Tìm các giá trị nguyên của n để (-3n³ + 2n² – 31) chia hết cho n + 2

A. -3 và 4          B. -2 và – 4          C. – 1 và 3          D. – 3 và – 1

Ta có:

Để (-3n³ + 2n² – 31) chia hết cho n + 2 khi và chỉ khi nguyên

Suy ra: nguyên nên (n + 2)∈ U(1) = {-1; 1}

+ Nếu n + 2 = -1 thì n = -3

+ Nếu n + 2 = 1 thì n = -1

Vậy có 2 giá trị nguyên của n thỏa mãn là – 3 và -1

Chọn D.

Câu 4. Tìm các giá trị nguyên dương của n để (4n² + 1) chia hết cho n + 2

A. 13 và 15          B. 15          C. 13 và 17          D. 13 và 11

Ta có:

Để (4n2 + 1) chia hết cho n + 2 thì nguyên

Suy ra: nguyên nên (n +2)∈ U(17) = {-17; -1; 1; 17}

Vậy chỉ có đúng 1 giá trị nguyên dương của n thỏa mãn là n = 15.

Chọn B.

Câu 5. Tìm các giá trị nguyên âm của n để -2n² + 8n + 4³ chia hết cho ( n +3)

A. -4 và – 2          B. -4 và – 1          C. -2 và – 1          D. 2 và – 1

Ta có:

Để -2n² + 8n + 4³ chia hết cho ( n +3 ) thì nguyên

Suy ra: nguyên nên ( n +3) .

+ Nếu n + 3 = -1 thì n = – 4

+ Nếu n + 3 = 1 thì n = – 2

Vậy có 2 giá trị nguyên âm của n thỏa mãn là – 4 và – 2

Chọn A

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của n thỏa mãn n³ + 2 chia hết cho n – 3

A.2          B. 3          C. 4          D. 5

Ta có:

Để n3 + 2 chia hết cho n – 3 thì nguyên

Suy ra: nguyên nên (n – 3) ∈ U(29) = {-29; -1; 1; 29}

Vậy có 4 giá trị nguyên của n thỏa mãn

Chọn C

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của n thỏa mãn n⁴ + 2n² + 1 chia hết cho (n + 2)

A. 5          B. 6          C. 7          D. 8

Ta có:

Để nn4 + 2n2 + 1 chia hết cho (n + 2) thì nguyên

Suy ra: nguyên nên (n +2) ∈ U(25) = {-25; -5; -1; 1; 5; 25}

Vậy có 6 giá trị nguyên của n thỏa mãn

Chọn B

Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên n thỏa mãn 4n + 2 chia hết cho 2n – 1

A.1          B. 2          C. 4          D. 6

Ta có:

Để ( 4n +2) chia hết cho 2n – 1 thì nguyên

Suy ra: nguyên nên ( 2n – 1)∈ U(4) = {-1; -2; -4; 1; 2; 4}

Vậy có 2 giá trị nguyên của n thỏa mãn là 0 và 1

Chọn B.