Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Với Chứng minh đẳng thức diện tích hình thang, hình bình hành, hình thoi môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 2: Đa giác – Diện tích đa giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức diện tích

A. Phương pháp giải

+) Sử dụng các công thức diện tích

+) Vận dụng tính chất diện tích của đa giác.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi E và F tương ứng là trung điểm của AD và BC; gọi K và I tương ứng là hình chiếu vuông góc của E và F trên đường thẳng CD; gọi G và H tương ứng là hình chiếu vuông góc của E và F trên đường thẳng AB. Chứng minh S_ABCD = S_GHIK = KI. GK = EF. GK =1/2 (AB + CD). GK.

Giải.

Xét ΔEGA vuông tại G và ΔEKD vuông tại K, có:

AE = DE (E là trung điểm AD)

⇒ ΔEGA = ΔEKD (cạnh huyền – góc nhọn)

Chứng minh tương tự, ta cũng có ΔFHB = ΔFIC.

Như vậy:

S_ABCD = S_DEK + S_CFI + S_ABFIKE = S_GAE + S_FHB + S_ABFIKE = S_GHIK = KI. GK = EF. GK (vì GHIK là hình chữ nhật do có 4 góc vuông). (1)

Lại có: EF là đường trung bình của hình thang ABCD nên EF = 1/2(AB + CD). (2)

Từ (1) và (2) ⇒ S_ABCD = S_GHIK = KI. GK = EF. GK = 1/2(AB + CD). GK.

Câu 2: Cho điểm O bất kì nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng minh .

Giải.

Từ O kẻ đường thẳng d vuông góc với AB ở H₁, cắt CD ở H₂.

Ta có OH₁ ⊥ AB

Mà AB // CD

Nên OH₂  ⊥ CD. Do đó:

Câu 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Vẽ . Chứng minh

?

Giải.

KẻAH⊥BC tại H và AH cắt MN tại K.

+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN//BC suy ra AH⊥MN tại K.

Xét tứ giác CBPQ có PQ//BC (do MN//BC) và PB//CQ (do cùng vuông góc với PQ) nên CBPQ là hình bình hành. Lại có nên tứ giác CBPQ là hình chữ nhật.

Suy ra  S_CBPQ=BP.BC

+ Xét ΔBPM và ΔAKM có: 

Suy ra ΔBPM=ΔAKM (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒BP=AK (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔABK có MK//BH (do MN//BC) và M là trung điểm của AB nên K là trung điểm của AH (định lý về đường trung bình của tam giác). Nên AK=1/2 AH (2).

Từ (1) và (2) ta có PB=1/2 AH

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy M thuộc AB, N thuộc cạnh CD. Gọi P là giao điểm của AN và DM, Q là giao điểm của BN và CM.

Câu 2: Cho hình thang ABCD (BC là đáy nhỏ). Gọi I là trung điểm của CD. Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB. Kẻ AH và BE vuông góc với d. Chứng minh

Câu 3: Trên đường chéo AC của hình vuông ABCD, lấy điểm E (E khác A và C). Qua E kẻ đường thẳng song song với các cạnh và cắt AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. So sánh diện tích MNPQ và diện tích ABCD.

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACFG, BCHI. Chứng minh 

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, O, E, N là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các đoạn thẳng AO, BE, CN và DK cắt nhau tại L, M, R, P. Chứng minh

Câu 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi K và L là hai điểm thuộc cạnh BC sao cho BK = KL = LC. Tính tỉ số diện tích của:

a) Các tam giác DAC và DCK.

b) Tam giác DAC và tứ giác ADLB.

c) Các tứ giác ABKD và ABLD.

Câu 7: Cho hình thoi MNPQ. Biết A, B, C, D lần lượt là các trung điểm của các cạnh NM, NP, PQ, QM. Tính tỉ số diện tích của tứ giác ABCD và hình thoi MNPQ?