Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây
Với Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
A. Phương pháp giải.
Sử dụng:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AH, BK của hình thang. Chứng minh rằng DH = CK.
Giải
Áp dụng định nghĩa, tính chất và giả thiết vào hình thang cân ABCD, ta được:
(trường hợp cạnh huyền – góc nhọn).
Vậy DH = CK.
Ví dụ 2. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có I là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng: IC = ID và IA = IB.
Giải
Áp dụng tính chất về cạnh bên và đường chéo vào hình thang cân ABCD, ta được:
Suy ra
Trừ theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được: AC – IC = BD – ID ⇒ IA = IB.
Ví dụ 3. Cho hình thang ABCD (AB//CD) hai đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại điểm I thuộc đáy AB. Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên bằng đáy AB của hình thang.
Giải
Áp dụng tính chất góc so le của AB//CD và giả thiết, ta có:
(vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau).
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được AD + BC = AI + BI = AB.
Điều này chứng tỏ tổng hai cạnh bên bằng đáy AB của hình thang.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE
Giải
Xét ΔABD và ΔACE có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
Nên ΔABD=ΔACE (g-c-g). Suy ra AD = AE
Suy ra tam giác ADE cân tại A
Mà
(tam giác ABC cân tại A)
Do đó:
Suy ra tứ giác BEDC là hình thang có hai góc ở đáy
Nên BEDC là hình thang cân.
Lại có: ED // BC nên suy ra
Lại có
Do đó tam giác EBD cân tại E. Suy ra EB = ED.
Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Ví dụ 5. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Giả sử AB≤ CD, chọn câu đúng.
Giải
Kẻ
Áp dụng nhận xét về hình thang có hai cạnh bên song song vào hình thang ABHK có hai cạnh bên AK//BH nên AB = HK.
Xét hai tam giác vuông ADK và BCH có:
AD = BC (ABCD là hình thang cân)
Do đó: ΔADK=ΔBCH (cạnh huyền, góc nhọn). Suy ra DK = HC.
Xét tam giác vuông BDH, theo định lý Py-ta-go, ta có:
Xét tam giác vuông CBH, theo định lý Py-ta-go, ta có:
Suy ra
Đáp án: A.