Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây
Với Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình chữ nhật môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
Phần C. bài tập vận dụng cho phần Lời giải vào code Hiển thị đáp án
A. Phương pháp giải
Cách 1:
1. Vẽ thêm hình chữ nhật bằng cách kẻ đường vuông góc hoặc vẽ thêm hình bình hành có một góc vuông.
2. Áp dụng:
Cách 2:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính x trên hình.
Giải
Kẻ
Áp dụng tính chất về cạnh vào hình chữ nhật ABHD, thu được:
DH = AB = 10, BH = AD = x.
Do đó CH = CD – DH = 15 – 10 = 5.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác BHC vuông tại H thu được:
Vậy x = 12.
Ví dụ 2. Cho hình thang vuông ABCD có
Giải
Vẽ
Mà DC = 2AB (theo giả thiết). (3)
Từ (2) và (3) suy ra DC = 2HC nên DH = HC. (4)
Từ (1) và (4) ta có BH là đường trung trực của DC, do đó BC = BD. (5)
Lại có DC = BC (theo giả thiết). (6)
Từ (5) và (6) suy ra BC = CD = BD nên ΔBCD là tam giác đều, do đó
Vì
Ví dụ 3. Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
Giải
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:
Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AH = BC : 2 = 10 : 2 = 5 (cm)
C. Bài tập vận dụng
Câu 1. Hãy chọn câu sai. Cho ABCD là hình chữ nhật có O là giao điểm hai đường chéo. Khi đó:
A. AC = BD.
B. AB = CD; AD = BC.
C. AO = OB.
D. OC > OD.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = DC, AD = BC, AC = BD và AC, BD cắt nhau tại
trung điểm O của mỗi đường. Hay OA = OB = OC = OD nên A, B, C đúng, D sai.
Đáp án: D.
Câu 2. Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm, 12cm là:
A. 6,5cm.
B. 6cm.
C. 13 cm.
D. 10 cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:
Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AH = BC : 2 = 13 : 2 = 6,5 cm.
Đáp án: A.
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm , điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
A. 6cm.
B. 36cm.
C. 18cm.
D. 12cm.
Xét tứ giác ADME có
Xét tam giác DMB có
Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là:
(AD + DM).2 = (AD + BD).2 = 2AB = 2AC = 2.6 = 12 cm
Vậy chu vi ADME là 12 cm.
Đáp án: D.
Câu 4. Cho ΔABC cân tại A, đường cao BH. Từ điểm M trên cạnh BC kẻ
A. MP + MQ = BH
B.. MP + MQ = 2BH
C. MP + MQ = 1/2 BH
D. MP + MQ = 3BH
Kẻ
MK//AC
Tứ giác MKHQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Xét tam giác BMP và MBK có:
BM chung;
(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn) suy ra MP = BK. (1)
Lại có MQ = KH (2) theo tính chất về cạnh của hình chữ nhật.
Cộng theo vế đẳng thức (1) và (2), ta được MP + MQ = BK + KH = BH.
Đáp án: A.
Câu 5. Cho tam giác ABC có góc B nhọn và
A. AI = IC.
B. AD = HC.
C. Cả A, B đều đúng.
D. Cả A, B đều sai.
Đặt
Từ giả thiết
Ta có
Trong tam giác vuông AHC ta có
Từ (1) và (2)
Do đó I là trung điểm của AC nên chọn AC là một đường chéo.
Vẽ thêm E sao cho I là trung điểm của HE thì tứ giác AHCE là hình chữ nhật, vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và có góc
Lại có
Áp dụng tính chất về cạnh vào hình chữ nhật AHCE và tính chất hai cạnh đối diện với hai góc bằng nhau ta được
Đáp án: C.
Câu 6. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM và phân giác AD. Khẳng định nào sau đây đúng?
Áp dụng định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền vào tam giác vuông ABC, ta được:
(vì trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau).
Lại có
Vì AD là phân giác của góc A theo giả thiết nên
Trừ theo vế đẳng thức (2) cho (1) ta được
Điều này chứng tỏ AD là tia phân giác của góc HAM.
Đáp án: C.
Câu 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b (a > b). Các phân giác trong của các góc A, B, C, D tạo thành tứ giác MNPQ. Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật MNPQ theo a, b.
Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD.
Ta có:
Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A, suy ra
DQ = QE = DE : 2.
Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2.
Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF.
Suy ra DQ = FN và DQ//FN. Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó QN = DF = CD – CF Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b .
Đáp án: B.
Câu 8. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a; AD = b. Cho M, N, P, Q là các đỉnh của tứ giác MNPQ và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ.
Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.
Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra
IH là đường trung bình của tam giác QMN nên
Tương tự
Do đó
Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có:
Do đó
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với MN//AC//QP, QM//BD//NP hay MNPQ là hình bình hành.
Theo định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại B ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là
Đáp án: C.
Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Tính độ dài nhỏ nhất của DE khi M di chuyển trên BC biết AB = 15cm, AC = 20cm.
A. 9cm.
B. 15cm.
C. 8cm.
D. 12cm.
Xét tứ giác ADME có
AM = DE (tính chất).
Để DE nhỏ nhất thì AM nhỏ nhất mà AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.
Từ đó DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.
Khi đó DE = AM.
Xét tam giác ABC, theo định lý Py-ta-go ta có
Gọi BM = x thì MC = 25 – x.
Xét tam giác AMB vuông tại M, theo định lý Py-ta-go ta có:
Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lý Py-ta-go ta có:
Từ (1) và (2) suy ra:
Suy ra:
suy ra DE = AM = 12cm.
Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là 12cm.
Đáp án: D.
Câu 10. Cho hình thang cân ABCD, đáy nhỏ AB = 6, CD = 18, AD = 10. Gọi I, K, M, L lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CA, AD và BD. Tính độ dài các cạnh AB, AL, AK.
Xét tam giác ABD có M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra ML//AB và ML = AB : 2 = 3. Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (1)
Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK//AB và IK = AB : 2 = 3. Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.
Ta có:
(do MI là đường trung bình của hình thang ABCD)
Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6.
Xét tứ giác ABKL có: KL = AB (= 6);KL//AB. Do đó ABKL là hình bình hành.
Lại có:
Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân).
Suy ra AK = BL.
Xét hình bình hành ABKL có AK = BL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông AML vuông tại L ta có:
Vậy AL = BK = 4.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AKL ta có: .
Đáp án: C.