Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây
A. Lý thuyết
1. Bình phương của một tổng
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2.
Ví dụ:
a) Tính ( a + 3 )2.
b) Viết biểu thức x2 + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( a + 3 )2 = a2 + 2.a.3 + 32 = a2 + 6a + 9.
b) Ta có x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.
2. Bình phương của một hiệu
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A – B )2 = A2 – 2AB + B2.
Ví dụ:
a) Tính ( 5x -y )2
b) Viết biểu thức 4x2 – 4x + 1 dưới dạng bình phương của một hiệu
Hướng dẫn:
a) Ta có ( 5x -y )2 = ( 5x )2 – 2.5x.y + ( y )2 = 25x2 – 10xy + y2.
b) Ta có 4x2 – 4x + 1 = ( 2x )2 – 2.2x.1 + 1 = ( 2x – 1 )2.
3. Hiệu hai bình phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A2 – B2 = ( A – B )( A + B ).
Ví dụ:
a) Tính ( x – 2 )( x + 2 ).
b) Tính 56.64
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( x – 2 )( x + 2 ) = ( x )2 – 22 = x2 – 4.
b) Ta có: 56.64 = ( 60 – 4 )( 60 + 4 ) = 602 – 42 = 3600 – 16 = 3584.
Bài 4
4. Lập phương của một tổng
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
Ví dụ:
a) Tính ( x + 2 )3.
b) Viết biểu thức x3 + 3x2 + 3x + 1 dưới dạng lập phương của một tổng.
Hướng dẫn:
a) Ta có ( x + 2 )3 = x3 + 3.x2.2 + 3x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
b) Ta có x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3x2.1 + 3x.12 + 13 = ( x + 1 )3.
5. Lập phương của một hiệu.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.
Ví dụ :
a) Tính ( 2x – 1 )3.
b) Viết biểu thức x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 dưới dạng lập phương của một hiệu.
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( 2x – 1 )3 = ( 2x )3 – 3.( 2x )2.1 + 3( 2x ).12 – 13 = 8x3 – 12x2 + 6x – 1
b) Ta có : x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = ( x )3 – 3.x2.2y + 3.x.( 2y )2 – ( 2y )3 = ( x – 2y )3
Bài 5
6. Tổng hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ).
Chú ý: Ta quy ước A2 – AB + B2 là bình phương thiếu của hiệu A – B.
Ví dụ:
a) Tính 33 + 43.
b) Viết biểu thức ( x + 1 )( x2 – x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương.
Hướng dẫn:
a) Ta có: 33 + 43 = ( 3 + 4 )( 32 – 3.4 + 42 ) = 7.13 = 91.
b) Ta có: ( x + 1 )( x2 – x + 1 ) = x3 + 13 = x3 + 1.
7. Hiệu hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ).
Chú ý: Ta quy ước A2 + AB + B2 là bình phương thiếu của tổng A + B.
Ví dụ:
a) Tính 63 – 43.
b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2 + 2xy + 4y2 ) dưới dạng hiệu hai lập phương
Hướng dẫn:
a) Ta có: 63 – 43 = ( 6 – 4 )( 62 + 6.4 + 42 ) = 2.76 = 152.
b) Ta có : ( x – 2y )( x2 + 2xy + 4y2 ) = ( x )3 – ( 2y )3 = x3 – 8y3.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
Hướng dẫn:
a) Ta có: 
(áp dụng hằng đẳng thức a2 – b2 = ( a + b )( a – b ) )
Vậy A = 25/47.
b) Ta có 
(áp dụng hằng đẳng thức ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2; ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2 )
Vậy B = 1.
Bài 2: Tìm x biết
a) ( x – 3 )( x2 + 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
b) ( x + 1 )3 – ( x – 1 )3 – 6( x – 1 )2 = – 10.
Hướng dẫn:
a) Áp dụng các hằng đẳng thức ( a – b )( a2 + ab + b2 ) = a3 – b3.
( a – b )( a + b ) = a2 – b2.
Khi đó ta có ( x – 3 )( x2 + 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
⇔ x3 – 33 + x( 22 – x2 ) = 0 ⇔ x3 – 27 + x( 4 – x2 ) = 0
⇔ x3 – x3 + 4x – 27 = 0
⇔ 4x – 27 = 0 ⇔ x = 27/4.
Vậy giá trị x cần tìm là x= 27/4 .
b) Áp dụng hằng đẳng thức ( a – b )3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
Khi đó ta có: ( x + 1 )3 – ( x – 1 )3 – 6( x – 1 )2 = – 10.
⇔ ( x3 + 3x2 + 3x + 1 ) – ( x3 – 3x2 + 3x – 1 ) – 6( x2 – 2x + 1 ) = – 10
⇔ 6x2 + 2 – 6x2 + 12x – 6 = – 10
⇔ 12x = – 6 ⇔ x = – 1/2.
Vậy giá trị x cần tìm là x= – 1/2