Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

A. Lý thuyết

1. Phương pháp

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B.Q + R, với R=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

   Nếu R=0, ta được phép chia hết.

   Nếu R≠0, ta được phép chia có dư.

Ví dụ: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

a, ( x³ – 7x + 3 – x² ):( x – 3 ).

b, ( 5x³ + 7 – 3x² ):( x² + 1 ).

Hướng dẫn:

a) Ta có:

Khi đó ta có: ( x³ – 7x + 3 – x² ) = ( x – 3 ).( x² + 2x – 1 )

b) Ta có

Khi đó ta có ( 5x³ + 7 – 3x² ) = ( x² + 1 )( 5x – 3 ) – 5x + 10.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện các phép chia

a, ( 2x³ – 26x – 24 ):( x² + 4x + 3 )

b, ( x³ – 9x² + 28x – 30 ):( x – 3 )

Hướng dẫn:

a) Ta có phép chia

Vậy ( 2x³ – 26x – 24 ) = ( x² + 4x + 3 )( 2x – 8 )

b) Ta có phép chia

Vậy ( x³ – 9x² + 28x – 30 ) = ( x – 3 )( x² – 6x + 10 )

Bài 2: Tính nhanh các phép chia sau:

a, ( x⁶ + 2x³y² + y⁴ ):( x³ + y² )

b, ( 625x⁴ – 1 ):[ ( 5x + 1 )( 5x – 1 ) ]

Hướng dẫn:

a) Ta có ( x⁶ + 2x³y² + y⁴ ):( x³ + y² ) = ( x³ + y² )²🙁 x³ + y² ) = ( x³ + y² )

Vậy ( x⁶ + 2x³y² + y⁴ ):( x³ + y² ) = ( x³ + y² )

b) Ta có ( 625x⁴ – 1 ):[ ( 5x + 1 )( 5x – 1 ) ] = [ ( 25x² – 1 )( 25x² + 1 ) ]:( 25x² – 1 ) = ( 25x² + 1 )

Vậy ( 625x⁴ – 1 ):[ ( 5x + 1 )( 5x – 1 ) ] = ( 25x² + 1 )

Bài 3: Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức n³ + 6n² -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 2.

Hướng dẫn:

Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đổi như sau:

Ta có n³ + 6n² -7n + 4 = ( n³ – 3n².2 + 3.n.2² – 8 ) + 12n² – 19n + 12

= ( n – 2 )³ + 12n( n – 2 ) + 5( n – 2 ) + 22

Khi đó ta có: (n³ + 6n² – 7n + 4)/(n – 2) = ( n – 2 )² + 12n + 5 + 22/(n – 2)

Để giá trị của biểu thức n³ + 6n² -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 2.

⇔ ( n – 2 ) ∈ UCLN( 22 ) = {± 1; ± 2; ± 11; ± 22 }

⇒ n ∈ {- 20; – 9; 0; 1; 3; 4; 13; 24 }

Vậy các giá trị nguyên của n cần tìm là n ∈ { – 20; – 9; 0; 1; 3; 4; 13; 24 }