Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây
A. Lý thuyết
1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối
Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là | a |, ta định nghĩa như sau:
Ví dụ: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức sau:
a) A = | x – 1 | + 3 – x khi x ≥ 1.
b) B = 3x – 1 + | – 2x | khi x < 0.
Hướng dẫn:
a) Khi x ≥ 1 ta có x – 1 ≥ 0 nên | x – 1 | = x – 1
Do đó A = | x – 1 | + 3 – x = x – 1 + 3 – x = 2.
b) Khi x < 0 ta có – 2x > 0 nên | – 2x | = – 2x
Do đó B = 3x – 1 + | – 2x | = 3x – 1 – 2x = x – 1.
2. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
a) Phương pháp chung
Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Bước 2: Rút gọn hai vế của phương trình, giải phương trình
Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét
Bước 4: Kết luận nghiệm
b) Một số dạng cơ bản
Dạng
hoặc
Dạng | A | = | B | ⇔ A = B hay A = – B.
Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
+ Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu GTTĐ.
+ Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.
+ Xét từng khoảng, khử các dấu GTTĐ, rồi giải PT tương ứng trong trường hợp đó.
+ Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ: Giải bất phương trình | 4x | = 3x + 1
Hướng dẫn:
Ta có | 4x | = 3x + 1
+ Với x ≥ 0 ta có | 4x | = 4x
Khi đó phương trình trở thành 4x = 3x + 1
⇔ 4x – 3x = 1 ⇔ x = 1.
Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, nên 1 là một nghiệm của phương trình đã cho
+ Với x < 0 ta có | 4x | = – 4x
Khi đó phương trình trở thành – 4x = 3x + 1
⇔ – 4x – 3x = 1 ⇔ – 7x = 1 ⇔ x = – 1/7.
Giá trị x = – 1/7 thỏa mãn điều kiện x < 0, nên – 1/7 là một nghiệm cần tìm.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 1/7;1 }
B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 3x + 2 + | 5x | với x > 0.
b) A = | 4x | – 2x + 12 với x < 0.
c) A = | x – 4 | – x + 1 với x < 4
Hướng dẫn:
a) Với x > 0 ⇒ | 5x | = 5x
Khi đó ta có: A = 3x + 2 + | 5x | = 3x + 2 + 5x = 8x + 2
Vậy A = 8x + 2.
b) Ta có: x < 0 ⇒ | 4x | = – 4x
Khi đó ta có: A = | 4x | – 2x + 12 = – 4x – 2x + 12 = 12 – 6x
Vậy A = 12 – 6x.
c) Ta có: x < 4 ⇒ | x – 4 | = 4 – x
Khi đó ta có: A = | x – 4 | – x + 1 = 4 – x – x + 1 = 5 – 2x.
Vậy A = 5 – 2x
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) | 2x | = x – 6
b) | – 5x | – 16 = 3x
c) | 4x | = 2x + 12
d) | x + 3 | = 3x – 1
Hướng dẫn:
a) Ta có: | 2x | = x – 6
+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 2x = x – 6 ⇔ x = – 6.
Không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.
+ Với x < 0, phương trình tương đương: – 2x = x – 6 ⇔ – 3x = – 6 ⇔ x = 2.
Không thỏa mãn điều kiện x < 0.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Ta có: | – 5x | – 16 = 3x
+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 5x – 16 = 3x ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8
Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0
+ Với x < 0, phương trình tương đương: – 5x – 16 = 3x ⇔ 8x = – 16 ⇔ x = – 2
Thỏa mãn điều kiện x < 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 2;8 }
c) Ta có: | 4x | = 2x + 12
+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 4x = 2x + 12 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6
Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0
+ Với x < 0, phương trình tương đương: – 4x = 2x + 12 ⇔ – 6x = 12 ⇔ x = – 2
Thỏa mãn điều kiện x < 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 2;6 }
d) Ta có: | x + 3 | = 3x – 1
+ Với x ≥ – 3, phương trình tương đương: x + 3 = 3x + 1 ⇔ – 2x = – 2 ⇔ x = 1.
Thỏa mãn điều kiện x ≥ – 3
+ Với x < – 3, phương trình tương đương: – x – 3 = 3x + 1 ⇔ – 4x = 4 ⇔ x = – 1
Không thỏa mãn điều kiện x < – 3
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 1 }