Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

A. Lý thuyết

1. Công thức nhân đơn thức với đa thức

Cho A, B, C, D là các đơn thức ta có: A( B + C – D ) = AB + AC – AD.

2. Công thức nhân đa thức với đa thức

Cho A, B, C, D là các đa thức ta có:

( A + B ).( C + D ) = A.( C + D ) + B.( C + D ) = AC + AD + BC + BD.

3. Các hằng đẳng thức đáng nhớ

( A + B )² = A² + 2AB + B²

( A – B )² = A² – 2AB + B²

A² – B² = ( A – B )( A + B ).

( A + B )³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

( A – B )³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³.

A³ + B³ = ( A + B )( A² – AB + B² )

A³ – B³ = ( A – B )( A² + AB + B² ).

4. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhân tử chung

+ Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

+ Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.

5. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức.

+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để phù hợp với các nhân tử.

6. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

+ Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

+ Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.

+ Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

7. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều cách

Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết:

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng

⇒ Để phân tích đa thức thành nhân tử.

8. Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

9. Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Chú ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh

10. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B.Q + R, với R=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R≠0, ta được phép chia có dư.

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Giá trị của biểu thức A = x( 2x + 3 ) – 4( x + 1 ) – 2x( x – 1/2 ) là ?

   A. x + 1.   B. 4.

   C. – 4   D. 1 – x

Ta có A = x( 2x + 3 ) – 4( x + 1 ) – 2x( x – 1/2 ) = ( 2x.x + 3.x ) – ( 4.x + 4.1 ) – ( 2x.x – 1/2.2x )

= 2x² + 3x – 4x – 4 – 2x² + x = – 4.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Chọn câu trả lời đúng ( 2x³ – 3xy + 12x )( – 1/6xy ) bằng ?

   A. – 1/3x⁴y + 1/2x²y² – 2xy²

   B. – 1/3x⁴y + 1/2x²y² + 2xy²

   C. – 1/3x⁴y + 1/2x²y² – 2x²y³

   D. – 1/3x⁴y + 1/2x²y² – 2x²y

Ta có: ( 2x³ – 3xy + 12x )( – 1/6xy ) = ( – 1/6xy ).2x³ – 3xy( – 1/6xy ) + 12x( – 1/6xy )

= – 1/3x⁴y + 1/2x²y² – 2x²y

Chọn đáp án D.

Bài 3: Kết quả nào sau đây đúng với biểu thức A = 2/5xy( x²y -5x + 10y ) ?

   A. 2/5x³y² + xy² + 2x²y.

   B. 2/5x³y² – 2x²y + 2xy².

   C. 2/5x³y² – 2x²y + 4xy².

   D. 2/5x³y² – 2x²y – 2xy².

Ta có: A = 2/5xy( x²y -5x + 10y ) = 2/5xy.x²y – 2/5xy.5x + 2/5xy.10y

= 2/5x³y² – 2x²y + 4xy².

Chọn đáp án C.

Bài 4: Kết quả của phép tính ( x – 2 )( x + 5 ) bằng ?

   A. x² – 2x – 10.

   B. x² + 3x – 10

   C. x² – 3x – 10.

   D. x² + 2x – 10

Ta có ( x – 2 )( x + 5 ) = x( x + 5 ) – 2( x + 5 )

= x² + 5x – 2x – 10 = x² + 3x – 10.

Chọn đáp án B.

Bài 5: Thực hiện phép tính ( 5x – 1 )( x + 3 ) – ( x – 2 )( 5x – 4 ) ta có kết quả là ?

   A. 28x – 3.

   B. 28x – 5.

   C. 28x – 11.

   D. 28x – 8.

Ta có ( 5x – 1 )( x + 3 ) – ( x – 2 )( 5x – 4 ) = 5x( x + 3 ) – ( x + 3 ) – x( 5x – 4 ) + 2( 5x – 4 )

= 5x² + 15x – x – 3 – 5x² + 4x + 10x – 8 = 28x – 11

Chọn đáp án C.

Bài 6: Điền vào chỗ trống: A = ( 1/2x – y )² = 1/4x² – … + y²

   A. 2xy.   B. xy.

   C. – 2xy.   D. 1/2xy.

Áp dụng hằng đẳng thức ( a – b )² = a² – 2ab + b².

Khi đó ta có A = ( 1/2x – y )² = 1/4x² – 2.1/2x.y + y² = 1/4x² – xy + y².

Suy ra chỗ trống cần điền là xy.

Chọn đáp án B.

Bài 7: Điều vào chỗ trống: … = ( 2x – 1 )( 4x² + 2x + 1 ).

   A. 1 – 8x³.

   B. 1 – 4x³.

   C. x³ – 8.

   D. 8x³ – 1.

Áp dụng hằng đẳng thức a³ – b³ = ( a – b )( a² + ab + b² )

Khi đó ta có ( 2x – 1 )( 4x² + 2x + 1 ) = ( 2x – 1 )[ ( 2x )² + 2x.1 + 1 ] = ( 2x )³ – 1 = 8x³ – 1.

Suy ra chỗ trống cần điền là 8x³ – 1.

Chọn đáp án D.

Bài 8: Đa thức 4x( 2y – z ) + 7y( z – 2y ) được phân tích thành nhân tử là ?

   A. ( 2y + z )( 4x + 7y )

   B. ( 2y – z )( 4x – 7y )

   C. ( 2y + z )( 4x – 7y )

   D. ( 2y – z )( 4x + 7y )

Ta có 4x( 2y – z ) + 7y( z – 2y ) = 4x( 2y – z ) – 7y( 2y – z ) = ( 2y – z )( 4x – 7y ).

Chọn đáp án B.

Bài 9: Kết quả nào sau đây đúng?

   A. ( 10xy² ):( 2xy ) = 5xy

   B. ( – 3/5x⁴y⁵z ):( 5/6x³y²z ) = 18/25xy³

   C. ( – 3/4xy² )²🙁 3/5x²y³ ) = 15/16y

   D. ( – 3x²y²z ):( – yz ) = – 3x²y

Ta có

+ ( 10xy² ):( 2xy ) = 5y

⇒ Đáp án A sai.

+ ( – 3/5x⁴y⁵z ):( 5/6x³y²z ) = – 18/25xy³

⇒ Đáp án B sai.

+ ( – 3/4xy² )²🙁 3/5x²y³ ) = ( 9/16x²y⁴ ):( 3/5x²y³ ) = 15/16y

⇒ Đáp án C đúng.

+ ( – 3x²y²z ):( – yz ) = 3x²y

⇒ Đáp án D sai.

Chọn đáp án C.

Bài 10: Kết quả của phép tính ( – 3 )⁶🙁 – 2 )³ là ?

   A. 729/8.   B. 243/8.

   C. – 729/8.   D. – 243/8.

Ta có: ( – 3 )⁶🙁 – 2 )³ = 3⁶🙁 – 2³ ) = 729:( – 8 ) = – 729/8.

Chọn đáp án C.

Bài 11: Đa thức M thỏa mãn xy² + 1/3x²y² + 7/2x³y = ( 5xy ).M là ?

   A. M = y + 1/15xy² + 7/10x²

   B. M = 1/5y + 1/15xy + 7/10x²

   C. M = – 1/5y + 1/5x²y + 7/10x²

   D. Cả A, B, C đều sai.

Ta có xy² + 1/3x²y² + 7/2x³y = ( 5xy ).M

⇒ M = ( xy² + 1/3x²y² + 7/2x³y ):( 5xy )

= 1/5y + 1/15xy + 7/10x².

Chọn đáp án B.

Bài 12: Kết quả nào sau đây đúng ?

   A. ( – 3x³ + 5x²y – 2x²y² ):( – 2 ) = – 3/2x³ – 5/2x²y + x²y²

   B. ( 3x³ – x²y + 5xy² ):( 1/2x ) = 6x² – 2xy + 10y²

   C. ( 2x⁴ – x³ + 3x² ):( – 1/3x ) = 6x² + 3x – 9

   D. ( 15x² – 12x²y² + 6xy³ ):( 3xy ) = 5x – 4xy – 2y²

Ta có:

+ ( – 3x³ + 5x²y – 2x²y² ):( – 2 ) = 3/2x³ – 5/2x²y + x²y²

⇒ Đáp án A sai.

+ ( 3x³ – x²y + 5xy² ):( 1/2x ) = 6x² – 2xy + 10y²

⇒ Đáp án B đúng.

+ ( 2x⁴ – x³ + 3x² ):( – 1/3x ) = – 6x³ + 3x² – 9x

⇒ Đáp án C sai.

+ ( 15x² – 12x²y² + 6xy³ ):( 3xy ) = 5x/y – 4xy – 2y²

⇒ Đáp án D sai.

Chọn đáp án B.

Bài 13: Kết quả của phép chia ( 7x³ – 7x + 42 ):( x² – 2x + 3 ) là ?

   A. – 7x + 14

   B. 7x + 14

   C. 7x – 14

   D. – 7x – 14

Ta có phép chia

Chọn đáp án B.

Bài 14: Phép chia x³ + x² – 4x + 7 cho x² – 2x + 5 được đa thức dư là ?

   A. 3x – 7.

   B. – 3x – 8.

   C. – 15x + 7.

   D. – 3x – 7.

Ta có phép chia

Dựa vào kết quả của phép chia trên,, ta có đa thức dư là – 3x – 8.

Chọn đáp án B.

Bài 15: Giá trị của x thỏa mãn 2x( x + 3 ) + 2( x + 3 ) = 0 là ?

   A. x = – 3 hoặc x = 1.

   B. x = 3 hoặc x = – 1

   C. x = – 3 hoặc x = – 1

   D. x = 1 hoặc x = 3.

Ta có 2x( x + 3 ) + 2( x + 3 ) = 0 ⇔ ( x + 3 )( 2x + 2 ) = 0

Chọn đáp án C.

Bài 16: Tính ( x + 1/3 )( x – 1/3 )( 9 – 18x ) ta được kết quả ?

   A. – 18x³ + 9x² + 2x – 1

   B. – 18x³ + 9x² – 2x + 1

   C. 18x³ + 9x² + 2x – 1

   D. 18x³ – 9x² – 2x

Ta có: ( x + 1/3 )( x – 1/3 )( 9 – 18x ) = ( x² – 1/9 )( 9 – 18x ) = x²( 9 – 18x ) – 1/9( 9 – 18x )

= 9x² – 18x³ – 1 + 2x = – 18x³ + 9x² + 2x – 1.

Chọn đáp án A.

Bài 17: Tính ( 2x + y )² + ( 2x – y )² ta được kết quả ?

   A. 8x² – 2y².

   B. 8x² + 2y²

   C. 4x² + 2y².

   D. 4x² – 2y²

Ta có:

( 2x + y )² + ( 2x – y )² = 4x² + 4xy + y² + 4x² – 4xy + y² = 8x² + 2y².

Chọn đáp án B.

Bài 18: Rút gọn biểu thức xⁿ( x^{n + 1} + yⁿ ) – yⁿ( xⁿ + y^{n – 1} ) được kết quả là?

   A. x^{2n + 1} – y^{2n – 1}

   B. x²ⁿ – y²ⁿ

   C. x²ⁿ – y^{2n – 1}

   D. xⁿ + 2 – yⁿ

Ta có:

xⁿ( x^{n + 1} + yⁿ ) – yⁿ( xⁿ + y^{n – 1} ) = xⁿ.x^{n + 1} + xⁿ.yⁿ – yⁿ.xⁿ – yⁿ.y^{n – 1}

= x²x + 1 + xⁿ.yⁿ – xⁿ.yⁿ – y^{2n – 1} = x²x + 1 – y^{2n – 1}.

Chọn đáp án A.

Bài 19: Rút gọn biểu thức ( a – b )³ + ( a + b )³ – a( 6b² + 2a² ) được kết quả là ?

   A. 2a³ + 2b³ – 3a²b

   B. a³ + b³ + 6a²b

   C. 2a³ + 2b³

   D. 0

Ta có:

( a – b )³ + ( a + b )³ – a( 6b² + 2a² ) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 6ab² – 2a³

= 2a³ + 6ab² – 6ab² – 2a³ = 0.

Chọn đáp án D.

Bài 20: Giá trị của biểu thức P = x³ – 9x² + 27x – 17 tại x =4 là ?

   A. P = 17.   B. P = – 17.

   C. P = 11.   D. P = – 11.

Ta có P = x³ – 9x² + 27x – 17 = ( x³ – 9x² + 27x – 27 ) + 10 = ( x – 3 )³ + 10.

Với x =4, ta có: P = ( 4 – 3 )³ + 10 = 1 + 10 = 11.

Chọn đáp án C.

Bài 21: Giá trị của biểu thức M = ( x – y + z )² + ( z – y )² + 2( x – y + z )( y – z ) tại x =10 là ?

   A. M = 10   B. M = 20

   C. M = 100   D. M = 200

Ta có: M = ( x – y + z )² + ( z – y )² + 2( x – y + z )( y – z )

= ( x – y + z )² – 2( x – y + z )( z – y ) + ( z – y )²

= [ ( x – y + z ) – ( z – y ) ]² = x²

Với x = 10, ta có M = 10² = 100.

Chọn đáp án C.

Bài 22: Thu gọn ( a + b – c )⁷🙁 a + b – c )⁵, ta được kết quả ?

   A. ( a + b – c )²

   B. ( a + b – c )

   C. ( a + b – c )³

   D. ( a + b – c )^{– 2}.

Ta có ( a + b – c )⁷🙁 a + b – c )⁵ = ( a + b – c )⁷ – 5 = ( a + b – c )²

Chọn đáp án A.

Bài 23: Phân tích đa thức 3x + 6xy + 2yz + z thành nhân tử, ta được:

   A. ( 3x + z )( 2y + 1 )

   B. ( 3x – z )( 2y + 1 )

   C. ( 3x + z )( 2y – 1 )

   D. ( 3x – z )( 2y – 1 )

Ta có: 3x + 6xy + 2yz + z = ( 3x + 6xy ) + ( 2yz + z )

= 3x( 2y + 1 ) + z( 2y + 1 ) = ( 2y + 1 )( 3x + z ).

Chọn đáp án A.

Bài 24: Chọn câu sai với mọi số tự nhiên n thì giá trị của biểu thức ( n + 7 )² – ( n – 5 )² chia hết cho ?

   A. 24   B. 16

   C. 8   D. 6

Ta có: ( n + 7 )² – ( n – 5 )² = ( n² + 14n + 49 ) – ( n² – 10n + 25 ) = 24n + 24

Khi đó ta có: ⇒ 24n + 24 chia hết cho 24,8,6.

Do đó 24n + 24 không chia hết cho 16.

Chọn đáp án B.

Bài 25: Với mọi giá trị của biến số thì giá trị của biểu thức 16x⁴ – 40x²y³ + 25y⁶ là một số ?

   A. dương

   B. không dương

   C. âm

   D. không âm

Ta có 16x⁴ – 40x²y³ + 25y⁶ = ( 4x² )² – 2.( 4x² ).( 5y³ ) + ( 5y³ )² = ( 4x² – 5y³ )²

Nhận thấy: ( 4x² – 5y³ )² ≥ 0 ⇒ Giá trị của biểu thức là một số không âm.

Chọn đáp án D.

Bài 26: Để biểu thức 9x² + 30x + a là bình phương của một tổng thì giá trị của a thỏa mãn yêu cầu là ?

   A. 9   B. 25

   C. 36   D. Kết quả khác

Ta có: 9x² + 30x + a = ( 3x )² + 2.( 3x ).5 + 5² + a – 25 = ( 3x + 5 )² + a – 25

Để biểu thức 9x² + 30x + a là bình phương của một tổng ⇔ a – 25 = 0 ⇔ a = 25.

Chọn đáp án B.

Bài 27: Giá trị nhỏ nhất của y = ( x – 3 )² + 1 là ?

   A. 1 khi x=3   B. 3 khi x =1

   C. 0 khi x=3   D. Không có GTNN trên TXĐ

Ta có: y = ( x – 3 )² + 1 ≥ 1 vì ( x – 3 )² ≥ 0.

⇒ Min = 1 khi x – 3 = 0 ⇔ x = 3.

Chọn đáp án A.

Bài 28: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9x² – 6x + 5 đạt được khi x bằng ?

   A. x = 1/2   B. x = 1/3

   C. x = 3   D. x = 4/3

Ta có: 9x² – 6x + 5 = ( 9x² – 6x + 1 ) + 4 = ( 3x – 1 )² + 4 ≥ 4 vì ( 3x – 1 )² ≥ 0

⇒ Min = 4 khi và chỉ khi 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3.

Chọn đáp án B.

Bài 29: Giá trị lớn nhất của biểu thức S = 4x – 2x² + 1 là ?

   A. 3   B. 2

   C. -3   D. -2

Ta có S = 4x – 2x² + 1 = – 2x² + 4x + 1 = – 2( x² – 2x ) + 1

= – 2( x² – 2x + 1 ) + 2 + 1 = – 2( x – 1 )² + 3 ≤ 3. vì – 2( x – 1 )² ≤ 0∀ x

⇒ Min = 3 khi và chỉ khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Chọn đáp án A.

Bài 30: Giá trị của 2x² + 3( x + 1 )( x – 1 ) = 5x( x + 1 ) thỏa mãn

   A. x = 5/3.   B. x = – 5/3

   C. x = 3/5.   D. x = – 3/5.

Ta có 2x² + 3( x + 1 )( x – 1 ) = 5x( x + 1 )

⇔ 2x² + 3( x² – 1 ) = 5x² + 5x

⇔ 5x² – 3 = 5x² + 5x ⇔ 5x = – 3 ⇔ x = – 3/5.

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận

1. Nhận biết – Thông hiểu

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau

a, ( x² -1 )( x² + 2x )

b, ( x + 3 )( x² + 3x -5 )

c, ( x -2y )( x²y² – xy + 2y )

d, ( 1/2xy -1 )( x³ -2x -6 )

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( x² -1 )( x² + 2x ) = x²( x² + 2x ) – ( x² + 2x )

= x⁴ + 2x³ – x² – 2x.

b) Ta có ( x + 3 )( x² + 3x -5 ) = x( x² + 3x -5 ) + 3( x² + 3x -5 )

= x³ + 3x² – 5x + 3x² + 9x – 15 = x³ + 6x² + 4x – 15

c) Ta có ( x -2y )( x²y² – xy + 2y ) = x( x²y² – xy + 2y ) – 2y( x²y² – xy + 2y )

= x³y² – x²y + 2xy – 2x²y³ + 2xy² – 4y²

d) Ta có ( 1/2xy -1 )( x³ -2x -6 ) = 1/2xy( x³ -2x -6 ) – ( x³ -2x -6 )

= 1/2x⁴y – x²y – 3xy – x³ + 2x + 6

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:

a, xy( xy² + y³ )

b, 2y( x + yz + zx )

c, x²y²( x² + y² )

Hướng dẫn:

a) Ta có: xy( xy² + y³ ) = xy.xy² + xy.y³ = x²y³ + xy⁴.

b) Ta có: 2y( x + yz + zx ) = 2y.x + 2y.yz + 2y.zx = 2xy + 2y²z + 2xyz

c) Ta có: x²y²( x² + y² ) = x²y².x² + x²y².y² = x⁴y² + x²y⁴.

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Hướng dẫn:

a) Ta có

(áp dụng hằng đẳng thức a² – b² = ( a + b )( a – b ) )

Vậy A= 25/47

b) Ta có

(áp dụng hằng đẳng thức ( a + b )² = a² + 2ab + b²;( a – b )² = a² – 2ab + b² )

Vậy B=1

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a, ( ab – 1 )² + ( a + b )²

b, x³ + 2x² + 2x + 1( ab – 1 )² + ( a + b )²

c, x² – 2x – 4y² – 4y

Hướng dẫn:

a) Ta có ( ab – 1 )² + ( a + b )² = a²b² – 2ab + 1 + a² + 2ab + b²

= a²b² + a² + b² + 1 = ( a²b² + a² ) + ( b² + 1 )

= a²( b² + 1 ) + ( b² + 1 ) = ( a² + 1 )( b² + 1 )

b) Ta có x³ + 2x² + 2x + 1 = ( x³ + 1 ) + ( 2x² + 2x )

= ( x + 1 )( x² – x + 1 ) + 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x² + x + 1 )

c) Ta có x² – 2x – 4y² – 4y = ( x² – 4y² ) – ( 2x + 4y )

= ( x – 2y )( x + 2y ) – 2( x + 2y )

= ( x + 2y )( x – 2y – 2 ).

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau A = x⁶ – 2x⁴ + x³ + x² – x, biết x³ – x = 6.

Hướng dẫn:

Ta có: A = x⁶ – 2x⁴ + x³ + x² – x = ( x⁶ – 2x⁴ + x² ) + ( x³ – x )

= ( x³ – x )² + ( x³ – x )

Với x³ – x = 6, ta có A = 6² + 6 = 36 + 6 = 42.

Vậy A = 42.

Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau

a, P = 12x⁴y²🙁 – 9xy² ) tại x = – 3;y = 1,005.

b, Q = 3x⁴y³:2xy² tại x = 2;y = 1.

Hướng dẫn:

a) Ta có P = 12x⁴y²🙁 – 9xy² ) = (12/- 9)x^{4 – 1}y^{2 – 2} = – 4/3x³

Với x = – 3;y = 1,005 ta có P = – 4/3( – 3 )³ = 36.

Vậy P = 36.

b) Ta có Q = 3x⁴y³:2xy² = 3/2x^{4 – 1}y^{3 – 2} = 3/2x³y.

Với x = 2; y = 1 ta có Q = 3/2( 2 )³.1 = 12.

Vậy Q = 12.

2. Vận dụng – Vận dụng cao.

Bài 1: Tìm biết

a, 4( 18 – 5x ) – 12( 3x – 7 ) = 15( 2x – 16 ) – 6( x + 14 )

b, 2( 5x – 8 ) – 3( 4x – 5 ) = 4( 3x – 4 ) + 11.

c, ( x + 2 )( x + 3 ) – ( x – 2 )( x + 5 ) = 6

d, 3( 2x – 1 )( 3x – 1 ) – ( 2x – 3 )( 9x – 1 ) = 0

Hướng dẫn:

a) Ta có 4( 18 – 5x ) – 12( 3x – 7 ) = 15( 2x – 16 ) – 6( x + 14 )

⇔ 4.18 – 4.5x – 12.3x – 12.( – 7 ) = 15.2x – 15.16 – 6.x – 6.14

⇔ 156 – 56x = 24x – 324 ⇔ 56x + 24x = 156 + 324

⇔ 80x = 480 ⇔ x = 6.

Vậy giá trị x cần tìm là x = 6.

b) Ta có 2( 5x – 8 ) – 3( 4x – 5 ) = 4( 3x – 4 ) + 11

⇔ 2.5x – 2.8 – 3.4x – 3.( – 5 ) = 4.3x – 4.4 + 11

⇔ – 2x – 1 = 12x – 5 ⇔ 12x + 2x = – 1 + 5

⇔ 14x = 4 ⇔ x = 2/7.

Vậy giá trị x cần tìm là x =2/7

c) Ta có ( x + 2 )( x + 3 ) – ( x – 2 )( x + 5 ) = 6

⇔ x( x + 3 ) + 2( x + 3 ) – x( x + 5 ) + 2( x + 3 ) = 6

⇔ x² + 3x + 2x + 6 – x² – 5x + 2x + 6 = 6

⇔ 2x = – 6 ⇔ x = – 3.

Vậy giá trị x cần tìm là x = -3

d) Ta có 3( 2x – 1 )( 3x – 1 ) – ( 2x – 3 )( 9x – 1 ) = 0

⇔ 3( 6x² – 2x – 3x + 1 ) – ( 18x² – 2x – 27x + 3 ) = 0

⇔ 18x² – 15x + 3 – 18x² + 29x – 3 = 0

⇔ 14x = 0 ⇔ x = 0

Vậy giá trị x cần tìm là x =0

Bài 2: Chứng mình rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến y (x≠0; y≠0) với biểu thức đó là A = 2/3x²y³🙁 – 1/3xy ) + 2x( y – 1 )( y + 1 )

Hướng dẫn:

Ta có A = 2/3x²y³🙁 – 1/3xy ) + 2x( y – 1 )( y + 1 ) = – 2x² – 1y³ – 1 + 2x( y – 1 )( y + 1 )

= – 2xy² + 2x( y² – 1 ) = – 2xy² + 2xy² – 2x = – 2x

⇒ Giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến y

Bài 3: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B với:

A = 7x^{n – 1}y⁵ – 5x³y⁴;

B = 5x²yⁿ

Hướng dẫn:

Ta có A:B = ( 7x^{n – 1}y⁵ – 5x³y⁴ ):( 5x²yⁿ ) = 7/5x^{n – 3}y^{5 – n} – xy^{4 – n}

Theo đề bài đa thức A chia hết cho đơn thức B

Vậy giá trị n cần tìm là n∈ {3; 4}

Bài 4: Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức n³ + 6n² -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 2

Hướng dẫn:

Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đội như sau:

Ta có n³ + 6n² -7n + 4 = ( n³ – 3n².2 + 3.n.2² – 8 ) + 12n² – 19n + 12

= ( n – 2 )³ + 12n( n – 2 ) + 5( n – 2 ) + 22

Khi đó ta có: (n³ + 6n² – 7n + 4)/n – 2 = ( n – 2 )² + 12n + 5 + 22/(n – 2)

Để giá trị của biểu thức n³ + 6n² -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n -2

⇔ ( n – 2 ) ∈ UCLN( 22 ) = {± 1; ± 2; ± 11; ± 22}

⇒ n ∈ {- 20; – 9;0;1;3;4;13;24}

Vậy các giá trị nguyên của n cần tìm là n ∈ {- 20; – 9;0;1;3;4;13;24}

Bài 5: Chứng tỏ rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

a, x( 2x + 1 ) – x²( x + 2 ) + ( x³ – x + 3 )

b, 4( x – 6 ) – x²( 2 + 3x ) + x( 5x – 4 ) + 3x²( x – 1 )

Hướng dẫn:

a) Ta có x( 2x + 1 ) – x²( x + 2 ) + ( x³ – x + 3 ) = ( 2x² + x ) – ( x³ + 2x² ) + ( x³ – x + 3 )

= 2x² + x – x³ – 2x² + x³ – x + 3 = 3.

Biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

b) Ta có: 4( x – 6 ) – x²( 2 + 3x ) + x( 5x – 4 ) + 3x²( x – 1 )

= ( 4x – 24 ) – ( 2x² + 3x³ ) + ( 5x² – 4x ) + ( 3x³ – 3x² )

= 4x – 24 – 2x² – 3x³ + 5x² – 4x + 3x³ – 3x² = – 24.

Biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 6: Chứng minh rằng: ( a + b )² – ( a – b )² = 4ab.

Từ đó tính:

a, ( a + b )² biết a – b = 3 và ab = 4.

b, ( a – b )² biết a + b = 6 và ab = 8.

Hướng dẫn:

Ta có :

⇒ ( a + b )² – ( a – b )² = ( a² + 2ab + b² ) – ( a² – 2ab + b² )

⇒ ( a + b )² – ( a – b )² = 4ab.

a) Ta có ( a + b )² – ( a – b )² = 4ab ⇔ ( a + b )² = ( a – b )² + 4ab

Với a – b = 3 và ab = 4, ta có: ( a + b )² = 3² + 4.4 = 25.

b) Ta có: ( a + b )² – ( a – b )² = 4ab ⇔ ( a – b )² = ( a + b )² – 4ab

Với a + b = 6 và ab = 8, ta có: ( a – b )² = 6² – 4.8 = 36 – 32 = 4.

Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, a³ + b³ + c³ – 3abc

b, x²( y – z ) + y²( z – x ) + z²( x – y )

Hướng dẫn:

a) Ta có a³ + b³ + c³ – 3abc = ( a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ) + c³ – 3ab( a + b ) – 3abc

= ( a + b )³ + c³ – 3ab( a + b + c )

= [ ( a + b )³ + 3( a + b )²c + 3( a + b )c² + c³ ] – 3( a + b )c( a + b + c ) – 3ab( a + b + c )

= ( a + b + c )³ – 3( a + b + c )( ab + bc + ca )

= ( a + b + c )[ ( a + b + c )² – 3( ab + bc + ca ) ]

= ( a + b + c )( a² + b² + c² – ab – bc – ca )

b) Ta có z – x = – [ ( y – z ) + ( x – y ) ]

Khi đó ta có: x²( y – z ) + y²( z – x ) + z²( x – y )

= x²( y – z ) – y²[ ( y – z ) + ( x – y ) ] + z²( x – y )

= ( y – z )( x² – y² ) – ( x – y )( y² – z² )

= ( y – z )( x – y )( x + y ) – ( x – y )( y + z )( y – z )

= ( y – z )( x – y )( x + y – y – z ) = ( y – z )( x – y )( x – z )

Bài 8: Thực hiện các phép chia sau

a, [ 7( x² – 1 )⁴ + 2( 1 – x )³ – 3( x – 1 )² ]:2( x – 1 )²

b, [ 5( x³ – y³ )⁴ + ( x – y )³ ]:( x² – 2xy + y² )

Hướng dẫn:

a) Ta có [ 7( x² – 1 )⁴ + 2( 1 – x )³ – 3( x – 1 )² ]:2( x – 1 )²

= [ 7( x – 1 )⁴( x + 1 )⁴ – 2( x – 1 )³ – 3( x – 1 )² ]:2( x – 1 )²

= 7/2( x – 1 )²( x + 1 )⁴ – ( x – 1 ) – 3/2

b) Ta có [ 5( x³ – y³ )⁴ + ( x – y )³ ]:( x² – 2xy + y² )

= [ 5( x – y )⁴( x² + xy + y² )⁴ + ( x – y )³ ]:( x – y )²

= 5( x – y )²( x² + xy + y² )⁴ + ( x – y )

Bài 9: Tìm giá trị của a để biểu thức ( a²x³ + 3ax² – 6x – 2a ) chia hết cho ( x + 1 )

Hướng dẫn:

Do ( a²x³ + 3ax² – 6x – 2a ) chia hết cho ( x + 1 ) nên ta có thể viết như sau:

( a²x³ + 3ax² – 6x – 2a ) = ( mx² + nx + p )( x + 1 )       ( 1 )

Trong đó thương ( mx² + nx + p ) là một tam thức bậc ha.

Ta thấy ( 1 ) đúng với mọi giá trị của x, nên cũng đúng với x = – 1

Do đó ta có: – a² + 3a + 6 – 2a = 0 ⇔ – a² + a + 6 = 0⇔

Vậy để ( a²x³ + 3ax² – 6x – 2a ) chia hết cho ( x + 1 ) thì giá trị của a là a =3 hoặc a = -2

Bài 10: Tìm giá trị của m để đa thức ( x³ + 3x² – 5x + m ) chia hết cho ( x – 2 )

Hướng dẫn:

Nhận xét: Ở đây, ta có thể đặt phép chia của ( x³ + 3x² – 5x + m ) cho ( x – 2 ) để tìm số dư, rồi cho số dư đó bằng 0, từ đó tìm được giá trị của m.

Mở rộng: Bài toán này ta áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán.

Ta có: ( x³ + 3x² – 5x + m ) = ( x³ – 2x² ) + ( 5x – 10 ) + m + 10

= x²( x – 2 ) + 5( x – 2 ) + m + 10

Nhận thấy:

Khi đó để ( x³ + 3x² – 5x + m ) cho ( x – 2 ) khi và chỉ khi m + 10 = 0 ⇔ m = – 10.

Vậy m = – 10 là giá trị cần tìm.