Các số đặc trưng của mẫu số liệu –

Để nhanh chóng nắm bắt được những thông tin quan trọng chứa đựng trong mẫu số liệu, ta đưa ra một vài chỉ số gọi là các số đặc trưng của mẩu số liệu. Số trung bình: Giả sử ta có một mẫu số liệu kích thước N là X1, X2, …, Xn.m nửa khoảng (bảng 7b). Ta gọi trung điểm \, của đoạn (hay nửa khoảng) ứng với lớp thứ i là giá trị đại diện của lớp đó.Lбр Giá trị đại diện Tần số (a , a) 1 ոլ (as aal ۔V2 п2 (a 2n – I a2n, m հո:N = Ση =1Bding 7a Lόρ Giá trị đại diện Tần số (a , a) X1 ոլ (a as) 2 2:ا۔ lam am +1) ا۔ry1 Лт N = Ση =1 Bding 7bKhi đó, số trung bình của mẫu số liệu này được tính xấp xỉ theo công thức – 1 ; A st N Σ прx; -=1 Ví dụ 1. Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 lá cây và thu được bảng tầnSố sau (đơn vị: mm):Lбр Giá trị đại diện || Tần số 5,45; 5,85) 5,65 5 5,85; 6,25) 6,05 9 6,25; 6,65) 6.45 15 6,65; 7,05) 6.85 19 (7,05; 745) 7.25 16 (7,45; 7,85) 7,65 8 (7,85; 8,25) 8,05 2N = 74Khi đó, chiều dài trung bình của 74 lá này xấp xỉ là 5.5, 65+9. 6,05+…+8. 7,65+2.8,056,80 74 (mm) DÝ nghĩa của số trung bình Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẩu. Nó là một số đặc trưng quan trọng của mẩu số liệu. Chẳng hạn, nếu biết rằng thời gian trung bình để điều trị khỏi bệnh A đối với bệnh nhân nam là 5,3 ngày, đối với bệnh nhân nữ là 6,2 ngày thì ta có thể cho rằng nói chung với bệnh A thì bệnh nhân nam chóng bình phục hơn so với bệnh nhân nữ. Tuy nhiên, khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch rất lớn đối với nhau thì số trung bình chưa đại diện tốt cho các số liệu trong mẫu. Ví dụ 2. Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi. Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau (thang điểm 100): 0; 0; 63 : 65; 69; 70; 72; 78 : 81; 85; 89. Số trung bình là 0+ 0 + 63+…+85+89 is 61,09. 11 Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết các em (9 em) trong nhóm có số điểm Vượt số trung bình. Như vậy, số trung bình này không phản ánh đúng trình độ trung bình của nhóm. Trong trường hợp này, có một số đặc trưng khác thích hợp hơn đó là số trung vị. O ”. 2. Số trung vị Giả sử ta có một mẩu số liệu kích thước N được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Nếu N là một số lẻ thì số liệu đứng thứ N + 1 (số liệu đứng chính giữa) gọi là số trung vị. Nếu N là một sốchẳn, ta lấy trung bình cộng của hai số liệu đứng thứ và – 1 làm số trung vị. Số trung vị được kí hiệu là M.172Ví dụ 3. Điều tra về số học sinh trong 28 lớp học, ta được mẫu số liệu sau (sắp xếp theo thứ tự tăng dần): 38 39 39 40 40 40 40 40 40 41. 41 41 42 42 43 43 43 43 44 44 44 44 44 45 45 46 47 47 Số liệu đứng thứ 14 là 42, đứng thứ 15 là 43. Do vậy, số trung vị là42 + 43 2M. = 42,5. Dн1a) Tinh số trung vị của mẫu số liệu trong ví dụ 2 b) Tinh số trung bình của mẫu số liệu trong ví dụ 3 và so sánh nó với số trung vịCHÚ Ý Khi các số liệu trong mẫu không có sự chênh lệch quá lớn thì số trung bình và số trung vị xấp xỉ nhau.Η2 Đo chiều cao của 36 học sinh của một trường, ta có mẫu số liệu sau, sắp xếptheo thứ tự tăng (đơn vị: cm):160 161 161 162. 162 162. 163 163. 163. 164. 164. 164164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174 Tìm số trung vị của mẫu số liệu này.Mót Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng phân bố tần số. Ta đã biết giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là Mo. Ví dụ 4. Một cửa hàng bán quần áo thống kê số áo sơ mi nam đã bán ra trong một quý theo các cỡ khác nhau và có được bảng tần số sau | Cỡáo (x) | 36 || 37 || 38 || 39 || 40 || 41 || 42 | | Số áo bán được (n) || 13 || 45 || 110 || 184 || 126 || 40 || 5 ||Điều mà cửa hàng quan tâm nhất là cỡ áo nào được khách hàng mua nhiều nhất. Bảng thống kê trên cho thấy cỡáo mà khách hàng mua nhiều nhất là cỡ 39 (tức là giá trị39 có tần số lớn nhất). Vậy giá trị39 là mốt của mẫu số liệu này. O CHÚ Ý Một mẫu số liệu có thể có một hay nhiều mốt.173 dụ 5. Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (đơn vị là nghìn đồng). Số quạt cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sauGiá tiền (x) 100 150 300 350 400 500 Số quạt bán được (n) | 256 353 534 300 534 175Ta thấy mẫu số liệu trên có hai mốt là 300 nghìn đồng và 400 nghìn đồng. Đó là giá tiền của hai loại quạt được khách hàng mua nhiều nhất. O 4. Phương sai và độ lệch chuẩnVí dụ 6. Điểm trung bình từng môn học của hai học sinh An và Bình trong năm học vừa qua được cho trong bảng sau :Món Điểm của An || Điểm của Bình Toán 8 8.5 Vật lí 7.5 9.5 Hoá học 7.8 9.5 Sinh học 8,3 8.5 Ngữ văn 7 5 Lịch sử 8 5.5 Địa lí 8.2 6 Tiếng Anh 9 9 Thể dục 8 9 Công nghệ 8,3 8.5 Giáo dục công dân 9 10H3 Tính điểm trung bình (không kể hệ số) của tất cả các môn học của An và của Bình. Theo em, bạn nào học khá hơn ? Nhìn vào bảng điểm, ta có ngay nhận xét là An học đều các môn, còn Bình thì không. Sự chênh lệch, biến động giữa các điểm của An thì ít, của Bình thì nhiều. • Để đo mức độ chênh lệch giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình, người ta đưa ra hai số đặc trưng là phương sai và độ lệch chuẩn.174Giả sử ta có một mẩu số liệu kích thước N là {\1, …, \\}. Phương sai của mẩu số liệu này, kí hiệu là s”, được tính bởi công thức sau2 1 Σ 2s = X(x, -X), (3)Ntrong đó Y là số trung bình của mẩu số liệu. Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là s.Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn Trong công thức (3), ta thấy phương sai là trung bình cộng của bình phương khoảng cách từ mỗi số liệu tới số trung bình. Như vậy, phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẩu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng lớn.CHÚ Ý Có thể biến đổi công thức (3) thành(4)Sử dụng công thức (4) thuận tiện hơn trong tính toán. Trở lại ví dụ ở trên, ta hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn điểm các mônN học của An và Bình. Trước hết, ta tính các tổng X_\, và Σχέ. =1 =Từ số liệu ở cột điểm của An, ta có 111 A = 89,1 , Σχι = 725.11. I =1Từ số liệu ở cột điểm của Bình, ta có11 x = 89 , Σχι – 750.5.=175 176Tiếp theo, ta thế các kết quả này vào công thức (4) để tìm so. Phương sai và độ lệch chuẩn điểm các môn học của An là 725.11 11 Phương sai và độ lệch chuẩn điểm các môn học của Bình là 2 s: s2,764; si s V2.764 s 1,663. Ta thấy mức độ “học lệch” của Bình so với An được thể hiện qua việc so sánh hai phương sai : Phương sai điểm các môn học của Bình gấp gần 9 (< 8.945) lần phương sai điểm các môn học của An. Điều đó phù hợp với nhận xét Bình học lệch hơn An. Ta cũng có thể so sánh độ học lệch của Bình và An thông qua việc so sánh hai O2 s = s0,309 ; sa s NO,3091 s0,556. 11độ lệch chuẩn. N لائي . Việc tính các tổng X_\, và X_xể sẽ nhanh chóng nếu dùng máy tính bỏ túi. - -1 (Xem bài đọc thêm để được hướng dẫn chi tiết về cách sử dụng máy tính bỏ túi trong tính toán thống kê).• Nếu số liệu được cho dưới dạng bảng phân bố tần số (bảng 7) thì phương sai được tính bởi công thức(5)Ví dụ 7. Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây.| Sản lượng (x) || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 | | Tần số (n) || 5 || 8 || 11 || 10 || 6 | N = 40 |a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng. b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Giải. Trước hết, ta tính5 5 Σημα = 884. Σημα = 19598. i=1 9.a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là X = t = 22,1 (ta). 40 b) Theo công thức (5), ta có phương sai là 2 s’ = 19598 |器) = 1,54. 40 40 Độ lệch chuẩn là s = N1,54 s. l.,24 (tạ). O • Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng phân bố tần số ghép lớp. Các số liệu được chia thành m lớp ứng với m đoạn (hoặc nửa khoảng). Gọi x, là giá trị đại diện của lớp thứ i (xem bảng 7a,7b). Khi đó, phương sai của mẫu số liệu này có thể tính xấp xỉ theo công thức (5). Ví dụ 8. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu cho ở ví dụ 1. Giải. Ta có7Σημα = 502,9,1-17.Σημα = 3443,385.=l2 Vậy 2 - 3+3385 - 50o” - 0.347. 74 742 Độ lệch chuẩn là s s \{0,347's 0,589 (mm). O Câu hủi và bài tậpTrong các bài tập dưới đây, yêu cầu tính số trung bình, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm). Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm là 20). Kết quả được cho trong bảng sau đây. Điểm || 9 ||10|11||12|13|14|15||16|17|18|19| Tần số | 1 | 1 | 3 || 5 || 8 ||13||19||24||14|10| 2 | N = 100a) Tính số trung bình. b) Tính số trung vị và mốt. Nêu ý nghĩa của chúng. c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.12-bsionC)-A 77ן10. Người ta chia 179 củ khoai tây thành chín lớp căn cứ trên khối lượng của11.1.1 3.178chúng (đơn vị là gam). Ta có bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây.Lόp Tần số 10; 19 1 20: 29) 14 30:39) 21 40; 49 73 50:59 42 60; 69 13 70; 79) 9 80; 89 4 90:99) 2 N = 179Tính khối lượng trung bình của một củ khoai tây. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.Bảng sau đây trích từ số theo dõi bán hàng của một cửa hàng bán xe máy. | Số xe bán trong ngày | 0 || 1 | 2 | 3 || 4 || 5 || Tần số 2 13 15 12 || 7 || 3 |a) Tìm số xe trung bình bán được trong một ngày. b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.LUWệm tậpTrong các bài tập dưới đây, yêu cầu tính số trung bình, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn chính xác đến hàng phần trăm.. Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2.005. Đơn vị là triệu đồng. | Tháng || 1 | 2 || 3 || 4 || 5 || 6 | 7 || 8 || 9 | 10 || 1 1 | 12 | Lai i 12 i 15 - 18 i 13 - 13 - 16 – 18 i 14 i 15 - 17 - 20 - 17 a) Tìm số trung bình, số trung vị. b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Một cửa hàng vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán ra trong 23 ngày cuối năm 2005. Kết quả như sau: 47 54 43 50 61 36 65 54 50 43 62 59 36 45 45 33 53 67 21 4.5 50 36 58.12B - DS 10(NC)1.5a) Tìm số trung bình, số trung vị.b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong mỗi tháng được thống kê trong bảng sau đây. | Tháng || 1 | 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 | 10 || 1 1 | 12 | | só khách || 430 || 560||450||550||760 || 430 || 525 || 110 || 635||450|| 800 |950 a) Tìm số trung bình, số trung vị.b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.. Trên hai con đường A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h) của 30chiếc ô tô trên mỗi con đường như sau :Con đường A: 60 65 70 68 62 75 80 83 82 69 73 75 85 72 67 88 90 85 72 63 75 76 85 84 70 61 60 65 73 76. Con đường B: 76 64 58 82 72 70 68 75 63 67 74 70 79 73 75 71 68 72 73 79 80 63 62 71 70 74 69 60 63. a) Tìm số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn của tốc độ ô tô trên mỗi con đường A, B, b) Theo em thì xe chạy trên con đường nào an toàn hơn ?SỦ DUNG MÁY TÍNH BỞ TÚI TRONG THỐNG KÊMáy tính bỏ túi (MTBT) là công cụ hỗ trợ rất đắc lực cho việc học Thống kê. Nhờ MTBT, Thống kê đã trở nên dễ học và dễ ứng dụng. Chẳng hạn, đối với máy CASIOf\ - 500MS, để tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn, chúng ta cần làm trình tự theo các bước sau: 1) Đầu tiên, để vào chế độ tính toán thống kê, ta ấn2 2) Giả sử mẫu số liệu là \, \,..., Y. Để nhập số liệu, ta ấnV .ܕܐ •-- Vn 179Để nhập mẫu số liệu \,, \,...,\, trong đó \, có tần số n, (i=1,2,..., m), ta ấn A. in DT vs SHIFT, n. DTI. A, SHIFT: n, 3) Nhập dữ liệu xong, để tính số trung bình Y, ta ấn S – VAR] [1] =] 4) Để tính độ lệch chuẩn s, ta ấn 2 =5) Để tính phương sai s” (lấy bình phương của độ lệch chuẩn), ta ấn tiếpVí dụ 1. Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn điểm các môn học của An ở ví dụ 6, 83. Sau khi thực hiện bước 1, để nhập dữ liệu, ta ấn 2) 8 7.5 ... 9 3) Để tính trung bình Y, ta ấnKết quả \ = 8.1, đó là số trung bình cần tìm. 4) Để tính độ lệch chuẩn s, ta ấn2 ||드 Kết quả x > 0,555959449, đó là độ lệch chuẩn cần tìm. 5) Để tính phương sai s”, ta ấn tiếpKết quả x’s 0.309090909, đó là phương sai cần tìm. Ví dụ 2. Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trong ví dụ 7, 83.Sau khi thực hiện bước 1, để nhập dữ liệu, ta ấn2) 20SHIFT :5|DT 21SHIFT-8 DT. 24 SHIFT : 6|DT3) Để tính trung bình Y, ta ấn 1 =Kết quả Y = 22,1, đó là số trung bình cần tìm. Trong các bài tập dưới đây, yêu cầu tính số trung bình, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn chính xác đến hàng phần trăm.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Các số đặc trưng của mẫu số liệu

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!