Đại Cương về đường thẳng và mặt phẳng –

Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn (h.2.2). Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn (h.2.3).Hinh23 • Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc (). Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng (C), mặt phẳng (6) hoặc viết tắt là mp(P), mp(Q), mp(C), mp(6) hoặc (P), (Q), (a), (6). 2. Điểm thuộc mặt phẳng Cho điểm A và mặt phẳng (C).Khi điểm A thuộc mặt phẳng (C) ta nói A nằm trên (C) hay (C) chứa A., hay (CZ) đi qua A và kí hiệu là A e (CZ). Khi điểm A không thuộc mặt phẳng (C) B ta nói điểm A nằm ngoài (O) hay (C) không chứa A và kí hiệu là A z (CZ). Hình 24 cho ta hình biểu diễn của điểm A thuộc mặt phẳng (C), còn điểm B không /…) thuộc (CZ).Hình 24 3. Hình biểu diễn của một hình không gianĐể nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian.– Ta có một vài hình biểu diễn của hình lập phương như trong hình 2.5.- Hình 2.6 là một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác.Hình 26 Al Hãy Vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác.○Hình 25Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào những quy tắc sau đây. – Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. – Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. – Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. – Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất. Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau. II. CÁC TÍNH CHẤT THỦA NHÂN46Để nghiên cứu hình học không gian, từ quan sát thực tiễn và kinh nghiệm người ta thừa nhận một số tính chất sau.| Tĩnh chốt 1Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Hình 27 cho thấy qua haiđiểm A, B có duy nhất một đường thẳng.Hình 2.7 Tính chốt 2 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.Như vậy một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Ta kí hiệu mặt phẳng qua ba điểmkhông thẳng hàng A, B, C là mặt phẳng (ABC) hoặc mp (ABC) hoặc (ABC) (h.2.8). Hình 28Hình 29, Cửu Đỉnh ở Hoàng Thành, Huế Hình 2.10Quan sát một máy chụp hình đặt trên một giá có ba chân. Khi đặt nó lên bất kì địa hình nào nó cũng không bị gập ghềnh vì ba điểm A, B, C (h.2.10) luôn nằm trên một mặt phẳng. Tính chốt 3 Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.A2 Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước thắng trên mặt bàn ?(h.2.11).Nếu mọi điểm của đường thẳng ‘d đều thuộc mặt phẳng (O) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (O) hay (O) chứa d và kí hiệu là dC (O) hay (C) -> d.As Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần A. +ዘrዝከ 2.11 kéo dài của đoạn BC (h.2.12). Hãy cho biết M có thuộc mặt phẳng (ABC) không và đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) không ? Hình 2,12 MTĩnh chốt 4 Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng. Tính chốt 5 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.Hình 2,13 đập gi }ng As Trong mặt phẳng (P), cho hình bìnhAs Hình 2.16 đúng hay sai ? Tại sao ?Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt (C) và (/?) được gọi là giao tuyến của (CZ) và (6) và kí hiệu là d = (C) ^ (/?) (h.2.14).(6) ༼Hình 2,14hành ABCD). Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S(h.2.15).Hình 2.16Tính chốt đóTrên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng 2 đều đúng.III. CÁCH XÁC ĐINH MộTMATPHẢNG48I. Ba cách xác định mặt phẳngDựa vào các tính chất được thừa nhận trên, ta có ba cách Xác định một mặt phẳng sau đây.*a). Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Ba điểm A, B, C không thẳng hàng xác định một mặt phẳng (h.2.17).b). Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Khi đó điểm A và đường thẳng d xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp (A. d) hay (A. d), hoặc mp (d, A) hay (d., A) (h.2.18).Hình 2,17 Hình 2,18/α\ Hình 2,19 c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là mp (a, b) hay (a, b), hoặc mp (b, a) hay (b, a) (h.2.19).A.2. Một số ví dụVí dụ I. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM 1 và AN = 2.BM NC Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳn (DMN) với các mặt phẳng (ABD), (ACD), B (ABC), (BCD) (h.2.20).Gidi Hình 2.20 Điểm D và điểm M cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (ABD) nên giao Mtuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng DM.4. HìNHHQC11{C}ST-A 49 Tương tự ta có (DMN) ro (ACD) = DN, (DMN) ^ (ABC) = MN.Trong mặt phẳng (ABC), vì 嵩 A. nên đường thẳng MN và BC cắt nhau tại một điểm, gọi điểm đó là E. Vì D, E cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (BCD) nên (DMN) ^ (BCD) = DE. Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau Ox,Oy và hai điểm A, B không nằm trong mặt phẳng (Ox,Oy). Biết rằng đường thẳng 4B và mặt phẳng (O\, Oy) có điểm chung. Một mặt phẳng (O) thay đổi luôn luôn chứa AB và cắt O\, Oy lần lượt tại M. N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi (O) thay đổi.GiảiGọi I là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (Ox, Oy) (h.2.21). Vì AB và mặt phẳng (O\, Oy) cố định nên I cố định. Vì M. N. I là các điểm chung của hai mặt phẳng (O) và (O\, Oy) nên chúng luôn luôn thẳng hàng. Vậy đường thẳng MN luôn luôn đi qua I cố định khi (O) thay đổi.Hình 2.21Nhận xét. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Ví dụ 3. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên ba cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I, đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J. Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng.ܝ * . Ta cóJ là điểm chung của hai mặt phẳng (MNK) và (BCD) (h.2.22).Thật vậy, ta có -> JD e (MNK)e MK MK O (MNK)Je BD =>Je (BCD).BD C (BCD)4. HìNHHQC11(C)-ST-B Lí luận tương tự ta có I, H cũng là điểm chung của hai mặt phẳng (MNK) và (BCD).Vậy I, J, H nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) và (BCD) nên J.J. H thẳng hàng.Ví dụ 4. Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm củaHình 2.22 đoạn AD và G là trọng tâm của Htam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phäng (BCD).ܝ ܐ .Gọi J là giao điểm của AG và BC. Trong mặt phẳng (AJD), “=3:45 = } nên GK và JD K AD 2cắt nhau (h.2.23). Gọi L là giao điểm của GK và J.D. BIL EJID J Ta có => Le (BCD).JD C(BCD) Vậy L là giao điểm của GK và (BCD). Nhận xét. Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.Hình 223 °IV. HìNH CHOP VẢ HìNH TỨDIÊN 1. Trong mặt phẳng (C) cho đa giác lồi 4142 … An. Lấy điểm S nằm ngoài (O). Lần lượt nổiš Với các đỉnh A1, A2, …, A, ta được n tam giác SAA, SA243, …, SA, A1. Hình gồm đa giác A, A2,… A, và n tam giác SAA, SA2A2, …, SAA) gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A, A2,… A. Ta gọi S là đỉnh và đa giác51 4142 . 4, là mặt đáy. Các tam giác SAA, SAA, …. SA,41 được gọi là các mặt bên : các đoạn SA, SA2, …, SA, là các cạnh bên : các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,… (h.2.24).Hình 2,242. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD, gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB. BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD, gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó,Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.Lẽ”. Chú ý. Khi nói đến tam giác ta có thể hiểu là tập hợp các điểm thuộc các cạnh hoặc cũng có thể hiểu là tập hợp các điểm thuộc các cạnh và các điểm trong của tam giác đó. Tương tự có thể hiểu như vậy đối với đa giác.As Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp Ở hình 224. Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M. N. P lần lượt là trung điểm của AB. AD, SC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp và giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp.Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC, CD lần lượt tại K, L. Gọi E là giao điểm của PK và SB, F là giao điểm của PL và SD (h.225). Ta có giao điểm của (MNP) với các cạnh SB, SC, SD lần lượt là E. P. F. Từ đó suy ra (MNP) r (ABCD) = MN, (MNP) a (SAB) = EM, (MNP) rn (SBC) = EP, (MNP) r (SCD) = PF và (MWP) ^ (SDA) = FN.Hình 2,25[

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Đại Cương về đường thẳng và mặt phẳng

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!