Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách giáo khoa hình học 11
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
• Giải Toán Lớp 11
• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
• Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao

Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác Trong mục này, ta xét các phương trình có dạng như : √3tan2x + 3 = 0 (phương trình bậc nhất đối với tan2.x), hay 2(sin^2)x + 5 sinx – 3 = 0 (phương trình bậc hai đối với sinx),… Để giải các phương trình dạng này, ta chọn một biểu thức lượng giác thích hợp có mặt trong phương trình làm ẩn phụ và quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với ẩn phụ đó (có thể nêu hoặc không nêu kí hiệu ẩn phụ).a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:1) V3tan 2x +3 = 0; 2) cos(x + 30°) + 2coso 15° = 1. Gidi 1) Nistan 2x + 3= 0 se tan2e = – , tan2x = – w3 es tan2 =tan(-s)巫2. ‘ 2) Để ý rằng : 1 – 2cos° 15° = – cos30° = cos150°, ta có cos(x + 30°) + 2coso 15° = 1 <=> cos(x + 30°) = 1 — 2 coso 15° x=- +kx + 3O’ = 150′ + k360′ x + 30″ = -150″ + k360° cos(x + 30°) = cos 150° sinx – 7 LA R- + K2π, sin x = sin – 6 – – 12m 6Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 품 + k27t và Y = + k27t.2) Đặt cot3x = 1, ta có phương trình t” – I – 2 = 0. Phương trình này có hai nghiệm là t = – 1 và t = 2. Do đó,1- = t3.x ܐ cott 3 – cot 3 – 2 = 0 -> CO3 \ cot 3.x = 2. 3T x = + k 3x = α + Kπ ぐ二> 4. 3 3x = arccot 2+ kt V =arcot2+ kVậy phương trình đã cho có các nghiệm làЛ. 1 7.- – – – Va. A E – – – D 4 + k και và \ sarcot 2 + k,н1 Giải phương trình 4cos”x -2(1 N2) cos x + 2 = 0. Ví dụ 3. Giải phương trình 2cos 2.x+2cosx – V2 = 0.343. DASó&GT11 (NC)-B2.Gidi 2cos 2x +2cos x – V2 = 0 -> 2(2cost- 1) +2cos x – V2 = 0V2cos x = – -,c 4cost +2cos x – (2 + V2) = 0 -> 1 + V2 COSA = – 2C COSA = s C COSA = cos === + K2π. (phương trình cosx = – 1 vô nghiệm vì – 1 3cos(3Y – 6) = −3 <> cos(3x – 6) = −1 – D Với giá trị nào của m thì phương trình 2sin3\ + N5 cos3x = m có nghiệm ? Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải phương trình dạngasinox + b sinx cos x + c cosx = 0,trong đó a, b và c là những số đã cho, với a z 0 hoặc biz 0 hoặc cz 0. Chúng được gọi là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Để giải phương trình dạng này, ta chia hai vế cho cos”x (với điểu kiệncosx +0) để đưa về phương trình đối với tanx, hoặc chia hai vế cho sin”x (với điều kiện sinx z 0) để đưa về phương trình đối với cot \.38Ví dụ 6. Giải phương trình— 5sin x cos x — 6cos*x = 0. (3) Gidi Khi cosx = 0 thì sinx = +1 nên dễ thấy các giá trị của X mà cosx = 0 không phải là nghiệm của (3).Vậy chia hai vế của (3) cho cosov, ta được phương trình tương đương:-2 a sink – 5″ – 6 – 0. COS Y COSA Do đó tanx = 2, (3) <=> 4 tanx – 5tanx – 6 = 0 <=> 3. tan A = — 4. x = arctan2 + kt reactantx = arctanl — + kT. 4. Vậy các nghiệm của phương trình (3) là \ = arctan2 + &ft và \ = arctan(- 3) + Kπ. OH5 Giải phương trình (3) bằng cách chia hai vế cho sin”x. Nhận xét 1) Phương trình a sin”x + b sinx cosx + c cos”x = 0 khi a = 0 hoặc c = 0 có thể được giải gọn hơn bằng cách đưa về phương trình tích. Chẳng hạn, đối với phương trình N3 sin”x – sinx cosx = 0, ta có V3 sino v – Sin y cos x = 0 <> sinx (N3sinx — cos x) = 0.2) Đối với phương trìnha sinox + b sin x cos x + ccoso = d (a, b, c, d e TR, a* + b” + c* +ع O) (4) ta có thể quy về giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx bằng cách viết d dưới dạng d = d(sin”x + cos”x).4.Chẳng hạn, đối với phương trình 2sin”x-5sinx cosx – cos”Y = -2, ta có thể làm như sau :… 2 2 2sin x – 5sin x cosx – cosx = -2 … 2 – 2 … 2 2 4sinox — 5sin x cos x + cosx = 0. Ngoài ra ta cũng có thể quy phương trình (4) về phương trình bậc nhất đối với sin2Y và cos2Y bằng cách sử dụng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi:2sinox = 1 — cos 2x, 2cosx = 1 + cos 2x, 2sin x cos x = sin 2x. Chẳng hạn, 2sinox-5sin cosx-cosx=-2- (1 – cos2) – sin2x – (1 + cos 2x) = -2<=> 3cos 2x + 5 sin 2x = 5. Giải phương trình sinor – N3 sinx cosx +2cos”x = 1 bằng hai cách đã nêu trênMột số ví dụ khác Thực tế, chúng ta còn gặp nhiều phương trình lượng giác mà khi giải cần phải thực hiện các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa chúng về các phương trình dạng quen thuộc. Trong mục này, chúng ta chỉ nêu một số ví dụ đơn giản. Ví dụ 7. Giải phương trìnhsin 2x sin 5x = sin 3x sin 4x. (4) Gidi Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có(4) –> (cosis – cosTix) = (cos x – cos 7A)X = kπ, 3x = + x + k2nt <=> TI x = k– 2 Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là Y = kT và X = k (Dễл 2 phương trình (4) có các nghiệm là x = k ). Othấy họ nghiệm x = k $ bao gồm cả họ nghiệm x = kTt nên có thể nói3940Ví dụ 8. Để giải phương trìnhsinfix + sini*3 x = 2sin*2x, (5) ta có thể sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích. Cụ thể ta có1 — cos 2 x 1 – cos 6.x (5) += 1 — cos 4x < > cos 2x + cos 6x = 2cos 4 x <=> 2cos 4x cos 2r – 2cos 4x = 0 <=> 2cos 4x (cos 2x – 1) = 0. (6) Giải tiếp phương trình (6) rồi kết luận về nghiệm của phương trình (5). Chú ý rằng khi giải phương trình lượng giác, ta cần lưu ý đến điều kiện xác định của nó để loại bỏ các nghiệm ngoại lai. Ví dụ 9. Giải phương trình tan 3x = tan. \, Gidi Với điều kiện cos.3Y z 0 và cosx + 0, ta có tan 3x = tanx -> 3x = x + k It < > x = k Để là nghiệm của phương trình đã cho, các giá trị k * của X còn phải thoả mãn các điềukiện cos3x z 0 và cosx z 0. Để kiểm tra các điều kiện này, ta có thể làm như sau : Cácgiá trị x = k gồm có bốn họ (h. 1.26): (A); x = k2rt (ứng với điểm A); (B): x = 홍 + K2ft (ứng với điểm B); (A’); x = t + k2rt (ứng với điểm A’);Hình 1.26t Bằng cách thử trực tiếp, dễ thấy các họ (A) và (A’) thoả mãn, còn (B) và (B’) không thoả mãn các điều kiện cos.3Y z 0 và cosx z 0. Vậy phương trình tan 3x = tanx có các nghiệm là x = T + k2rt và x = k2rt (hay còn có thể viết gọn là Y = kTt). OGiải phương trình cot2_\ = cos(x — g).(B): x = + k2ft (ứng với điểm B).2 Câu hủi và bài tập27. Giải các phương trình sau:a) 2cos x – 3 = 0; b) V3 tan3x – 3 = 0; c) (sin x + 1)(2cos 2x – V2) = 0.28. Giải các phương trình sau:a) 2cosy-3cos x + 1 = 0 b) cos x + sin x + 1 = 0c) + N3) tanx + 1 = 0.29. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính3. Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo,bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm):a) 3cos 2\ + 10sin_\ + 1 = 0 trên – b) 4cos 2\ + 3 = 0 trên (0) c) cot”x-3cot\ -10 = 0 trên (0, π) :冗 エ 5- ープ : プ|。 d) 3tan 3.x Otren. Giải các phương trình sau:a) 3cos x + 4sin x = -5; b) 2sin2 – 2cos 2x = 2; c) 5sin2x – 6cos’ v = 13.chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng (h. 1.27). Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm 1 giây được tính theo công thức h = |d| trong đód = 5sin 6t-4cos 6t,X○ Vị trí cân bằng *○F/ình 1.27 3. 23. 3.36Với d được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng d> 0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, d<0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi:a) Ở vào thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ? b) Ở vào thời điểm nào trong l giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?. 1 م. ر (Tính chính xác đến 100 giây).. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:a) asin_x + bcos \ (a và b là hằng số, a* +b” :عي O); b) sinox + sin x cos x + 3cosx;c) Asinox + Bisin x cos x + Ccosov (A, B và C là hằng số).. Giải các phương trình sau:a) 2sine +3 J3 sinx cos x - cosx = 4 b) 3 sinox +4sin2+ (8V3-9)cosx = 0;c) sin" x + sin 2 x — 2cos*\x =Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng để giải các phương trình sau:a) cos x cos 5x = cos 2x cos 4x ; b) cos 5x sin 4x = cos 3.x sin 2x ; c) sin 2x + sin 4x = sin 6.x : d) sin x + sin 2x = cos.x + cos 2x.. Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:- a) sin 4x + sino3x sin'2x + sinfixb) cosx + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2.. Giải các phương trình sau: a) tant = tanx b) tan (2x + 10”) + cot x = 0; c) (1 — tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx ; d) tanx + tan 2x = sin 3x cos x ;e) tanA + cot2x = 2cot4x.BẤT PHƯONG TRINH LƯợNG GIÁC• Trước hết, ta xét bài toán sau : Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 < t < 24) cho bởi CÔng thứcTL h = 3cos - + 1 12. Z cos(# + 1) *Hỏi tàu lớn có thể qua lại trên kênh trong khoảng thời gian nào trong ngày, biết rằng tàu lớn chỉ có thể đi được qua kênh khi độ sâu của nước |à trên 11 mét ?Để giải bài toán này, ta phải tìm các giá trị của f (0 < 1 < 24) thoả mãn3cos 몽-1 + 12 > 11. (1) Như vậy, ta phải giải bất phương trình (1). Đó là một bất phương trình lượng giác. Dễ thấy (1) tương đương với bất phương trình cos[ ] + – ; và nếu đặt E 器 + 1 thì bất phương trình này có dạng 1 COSV > – (2)3.• Nói chung, Việc giải một bất phương trình lượng giác được quy về giải các bất phương trình lượng giác có một trong các dạngf(x) < m, f(x) > m, f(x) > m, f(x) < m, (3) trong đó m là một số cho trước, f(\) là sinx, cos\, tanx hoặc cot\. Các bất phương trình này gọi là các bất phương trình lượng giác cơ bản. • Dựa vào tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác, ta có thể giải một bất phương trình lượng giác cơ bản dạng (3) theo hai bước sau : – Bước 1. Tìm nghiệm của bất phương trình trên một đoạn bất kì nào đó, chỉ cần đoạn đó có độ dài bằng chu kì của hàm số y = f(x). Bước này có thể thực hiện bằng cách sử dụng đồ thị hoặc đường tròn lượng giác (xem Ví dụ 1). – Bước 2. Mở rộng kết quả lên toàn trục số bằng cách tịnh tiến miền nghiệm thu được ở bước 1 sang phải, sang trái những đoạn có độ dài bằng bội nguyên dương của chu kì. Bước này có thể tiến hành dựa vào nhận xét sau: Cho y = f{A} là hàm số tuần hoàn với chu kì T. Nếu bất phương trình f{\) < m (hoặc f(\) > m, f(x) > m, f(\) < m) nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (a ; b) thì bất phương trình đó cũng nghiệm đúng với mọi \ thuộc mỗi khoảng (a + KT : b + KT), e. Ví dụ 1. Giải bất phương trìnhtanx < 1. (4) Phương pháp giải như sau: Bước 1. Hàm số y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kì Tt nên trước hết ta tìmghiệm của (4) trên một đoạn có độ dài It, chẳng hạn trên đoạ -$::| Có hai cách: Cách 1 (sử dụng đồ thị). Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, ta vẽ đồ thị của hàm số I = tan_\ trên đoạn | 홍 và đường thẳng y = 1 (h. 1.28). Từ đó, dễ thấy trên đoạn ấy, bất phương trình tan Y < 1 có nghiệm làTI TI 5 . -- ܐ -- ܐ -- -- ཏུང་ ཅོང་ (5) y y = 1 I B D 1 M. - リア一益 - π. χ. 품 - 4 2 A" O A. -1 写 M. 'B - ܐܠܝܐ Hình 1.28 Hình 7,29Cách 2 (sử dụng đường tròn lượng giác). Trên trục tang, chọn điểm D sao cho AD = 1. Đường thẳng OD cắt đường tròn lượng giác tại M1 và M2 (h, 1.29). Để xác định2 phải trục tung. Dễ thấy rằng nghiệm của bất phương trình tan x < 1 là số đo radian của các cung lượng giác (trên nửa đường tròn đang Xét) có điểm cuối M thuộc Cung TI 4.nghiệm của bất phương trình trên đoạn - ta chỉ chú ý nửa đường tròn bên- tròn B'AM, Suy ra -> < \ — OSY 3 Giải Vì hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2ft nên c trước hết ta tìm nghiệm của (2) trên đoạn [-II ; T[].Trên trục côsin, ta chọn điểm H sao cho OH = Gọi M4 và M2 là hai giao điểm của đường tròn lượng giác với đường thẳng đi qua H và vuông góc với trục CÔsin (h. 1.30). Dễ thấy rằng nghiệm của bất phương trình (2) là số đo radian của các cung lượng giác có điểm cuối M thuộc cung tròn M2AM, . Hình /. 30سے Gọi a là số đo rađan của cung tròn ABM,(0 < x < It và cos(2 = l , dùng máy tính, ta tính được as 1,911). Khi đó, trên đoạn3 [–Tt: T{], bất phương trình (2) có nghiệm là –ơ c. Y < a. l:A خر حسی خشحیم گھلا ہے ہی کیمبر ܝ ܢܚܬܐ ܩ 1 . .ܥ܂ ܐܩ -&+ K27t < x < (Y+ k27t (với Cy s: 1,911). O Ví dụ 3. Giải bất phương trình sin x > 0,5.GiảiVì hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2.Itnên trước hết ta tìm nghiệm của (6) trên đoạn[0; 2It]. Trên đoạn ấy, bất phương trình sin\> 0.5 5Có nghiệm là < x < 풍 (h. 1.31). (Có thểsử dụng một trong hai cách nêu trên để suy ra kết quả này). Do đóB'sin x > 0,5 + k2n -a < + k27t. OHình 1.3/ LUyệm tập37. Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (h. 1.32) được biểu diễn qua thời gian f(t > 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức h = |d| với d’= 3cos[ဒုံ(2; 1) trong đó ta quy ước rằng d> 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d’<0 trong trường hợp trái lại.V VHình 1-32a) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.b) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến giây).38. Giải các phương trình sau:a) cos’x - 3 sin x = 0 ; b) (tanx + cotv): — (tanx + cotx) = 2 ; c) sin x + m를 = 0.5.39. Chứng minh rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:a) sin x - 2cos x = 3 : b) 5sin 2x + sin x + cos x + 6 = 0. Hướng dẩn b): Đặt sinx + cosx = [.40. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho (khi cần tính46gần đúng thì tính chính xác đến 故 giây) : Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (h. 1.32) được biểu diễn qua thời gian f(t > 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức h = |d| với d’= 3cos[ဒုံ(2; 1) trong đó ta quy ước rằng d> 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d’<0 trong trường hợp trái lại.