Khoảng cách –

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng. Để đi đến khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoặc một đường thẳng, ta xét hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng112hoặc đường thẳng. Trên hình 125a), ta có H là hình chiếu của M trên mp(P) và trên hình 125b), ta có H là hình chiếu của M trên đường thẳng A.M M H A. α) b) Hình 125 Ta có định nghĩa sau: ĐINH NGHIA 1Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đườngthẳng A) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H làhình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đườngthẳng A). Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được kí hiệu là d(M :(P)). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A được kí hiệu là d(M : A).[?1]. Trong các khoảng cách từ M đến một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P),khoảng cách nào là nhỏ nhất ?[?2]. Cũng câu hỏi như trên nếu thay mặt phẳng (P) bởi đường thẳng A.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song songCho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Với hai điểm A, B bất kì trên a, hiển nhiên ta có d(A :(P)) = d(B:(P)) (h.126). Như vậy, d(A ; (P)) không phụ thuộc vào vị trí của điểm A khi A thay đổi trên a. Từ đó ta có định nghĩaHình 126ĐINH NGHIA 2 Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P), song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).8. HH1Nc-A 113 Kí hiệu khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song vớinó là d(a:(P)). Khi đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), trong các khoảng cách từ mộtđiểm bất kì của a đến một điểm bất kì của (P), khoảng cách nào là …hở/?hất ?Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Khi ർ *一。 ấy, dễ thấy d(A:(Q)) = d(B:(Q)) với A, B là hai điểm bất kì thuộc (P), tức là d(A :(Q)) không phụ thuộc vào vị trí của điểm A khi Athay đổi trên (P) (h.127). K Từ đó ta có định nghĩa Hình 127 ĐINH NGHIA 3Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.Kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là d((P); (Q)) thì d((P):(Q)) = d(A :(Q)) = d(C:(P)), trong đó A là một điểm nào đó thuộc (P) và C là một điểm nào đó thuộc (Q). Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song, khoảng cách nào là nhỏ nhất ?3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Bài toán Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, Tìm đường thẳng c cắt cả a và b đồng thời vuông gốc với cả a và b. Gidi Do a và b chéo nhau nên có duy nhất mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng a. Mặt phẳng (P) đi qua a và vuông góc với (Q) cắt đường thẳng b tại điểm J. Gọi c là đường thẳng đi qua J và vuông góc với (O) thì c nằm trong mp(P), do đó c cắt a tại điểm I. Khi ấy c là đường thẳng phải tìm (h.128). D F/ình 1281148, HH11NC-B 汽 Chứng minh tính duy nhất của đường thẳng c trong bài toán trên.Thuật ngữ Đường thẳng c nói trên gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn thẳng IJ gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó (h.129).Hình 129ĐINH NGHIA 4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Kí hiệu khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là d(a; b) [?5. Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách nào là nhỏ nhất ? Nếu gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song- I Z ဖူးဖွံဖြိုးဖြုံး ဖွua hal difonf thin၆ ·z_r” IJ = d(a ; b) = d(a ; (O)) = d(b, ; (P)) =d(P) : (Q)). །། Vậy ta có: J り Whán xét Hình 1301) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng Còn lại. 2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 4. Một số ví dụ ܲܠܢ Ví dụ 1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’có AB=a,AD = b, AA’= c. a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’). … b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB” và AC”.c) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’C’D) trong trường hop a = b = c.115 Gidi (h.131) a) Kẻ BH vuông góc với AC, do BH || AA” nên BH L (ACCA”). Vậy d(B:(ACC’A’)) = BH. Ta có BH . A C = BA . BC. abb) BB” và AC’chéo nhau mà BB’// (ACC’A’) nênhay BH =C Hình 13/ab Vao + bo c). Dễ thấy mp(AB’C) và mp(A’C’D) song song với nhau. Do a = b = c nên ABCD,A’B’C’D” là hình lập phương. Khi đó, gọi K và K” lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ thì mp(KK’D’D) là mặt phẳng trung trực của A’C’. Từ đó suy ra mp(KK’D’D) vuông góc với mp(DA’C’). Kẻ KI vuông góc với giao tuyến DKZ của hai mặt phẳng đó thì KI | mp(A’C’D). Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’C’D) bằng KI. Ta có tam giác KK“D vuông tại K nênd(BB’; AC) = d(BB’; (ACCA)) = d(B; (ACCA)) =—————- KI – DK? KK° (eš) ? ? ‘ 2 tức là KI – i.- Chú ý rằng BD’ vuông góc với hai mặt phẳng (ACB’), (DA’C’) và đi qua116tâm G, G” của hai tam giác đều ABC, DA’C’. Từ đó suy ra khoảng cách cần tìm cũng bằng GG” và bằng է5D, DVí dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA || (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳnga) SB và AID: b) BD và SC. 23.3.3Giaii (h.132) a) Ta có AD || (SBA), kẻ AH vuông góc với SB thì AH là đường vuông góc chung của SB và AD. Vậyd(AD : SB) =AH. Vì AH là đường cao của tam giác vuông cân SAB nênAH = av2. 2 Từ đó d(AD): SB) = ܧܳܧ Hình 132b) Ta có BD vuông góc với mp(SAC) tại tâm O của hình vuông ABCD. Trong mp(SAC), kẻ OK vuông góc với SC thì OK là đường vuông gócchung của BD và SC. Dễ thấy d(BD: SC) = OK = 불41 (AI là đường cao của tam giác vuông SAC). Ta có 1 1V6 dN6nên AI = , từ đó d(BD: SC)===Côu hỏi vòi bời tộp. Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c”. Tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởicạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy. b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và B’C’ vuông góc, tính khoảng cách giữa chúng.. Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cáchgiữa hai đường thẳng BC’ và CD’.. Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’có AB= AA’=a,AC’=2a.a) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD’). b) Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng AC” và CD’. Tínhkhoảng cách giữa hai đường thắng ấy.9.hht.nc-A 1 1 7 Cho hình hộp thoi ABCD A’B’C’D’, có các cạnh đều bằng a và BAD = BAA” = DAA” = 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng aN2. a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD). b). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD: K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo a.. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đườngvuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD. Điều ngược lại có đúng không ?

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Khoảng cách

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!