Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách giáo khoa hình học 11
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
• Giải Toán Lớp 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
• Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 4.32 trang 170 Sách bài tập Đại số 11: Cho hàm số

Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

Lời giải:

a)

Hàm số này có tập xác định là R \ {0}

b)

Từ đồ thị (H.7) dự đoán f(x) liên tục trên các khoảng (−∞;0), (0; +∞) nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,

– Với x > 0, f(x) = x − 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (0; +∞)

– Với x < 0, f(x) = 1 – x cũng là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (−∞; 0)

Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì

Bài 4.33 trang 170 Sách bài tập Đại số 11: Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)

Lời giải:

Xét hàm số

– Trường hợp x ≤ 0

f(x) = x + 2 là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]

– Trường hợp x > 0

f(x) = 1 / x² là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó.

Như vậy f(x) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)

Tuy nhiên, vì nên hàm số f(x) không cógiới hạn hữu hạn tại x = 0. Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2)

Bài 4.34 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)

Lời giải:

Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và

(1)

Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và

(2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b (vì ). Nghĩa là nó liên tục trên (a; c)

Bài 4.35 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀

Chứng minh rằng nếu

thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀

Đặt và biểu diễn f(x) qua g(x)

Lời giải:

Đặt

Suy ra g(x) xác định trên (a; b) \ {x₀} và

Mặt khác, f(x) = f(x₀) + L(x − x₀) + (x − x₀)g(x) nên

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại

Bài 4.36 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

Lời giải:

a) Hàm số có tập xác định là [-5; +∞). Do đó, nó xác định trên khoảng (-5; +∞) chứa x = 4

Vì nên f(x) liên tục tại x = 4

b) Hàm số: tại x = 1 có tập xác định là R

Ta có g(1) = -2 (1)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

Vậy g(x) liên tục tại x = 1

Bài 4.37 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a)

b)

Lời giải:

a)

Tập xác định của hàm số là D = R

– Nếu x ≠ √2 thì

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng (-∞; √2) và (√2; +∞)

– Tại x = √2:

Vậy hàm số liên tục tại x = √2

Kết luận : y = f(x) liên tục trên R

b) có tập xác định là D = R

– Nếu x ≠ 2 thì là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)

Tại x = 2:

Vậy hàm số y = g(x) không liên tục tại x = 2

Kết luận: y = g(x) liên tục trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞) nhưng gián đoạn tại x = 2

Bài 4.38 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Tìm giá trị của tham số m để hàm số

Lời giải:

Đáp số:

Bài 4.39 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh rằng phương trình

a) x⁵ − 3x − 7 = 0 luôn có nghiệm;

b) cos2x = sinx − 2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng

c) có nghiệm dương.

Lời giải:

a) Xét f(x) = x⁵ − 3x − 7 và hai số 0; 2.

b) Xét f(x) = cos2x – sinx + 2 trên các khoảng

c) Ta có

⇔ x³ + 6x + 1 = 4

⇔ x³ + 6x – 3 = 0

Hàm số f(x) = x³ + 6x − 3 liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)

Ta có f(0). f(1) = −3. 4 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình x³ + 6x − 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

Do đó, phương trình có ít nhất một nghiệm dương.

Bài 4.40 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) (1 − m²)(x + 1)³ + x² – x – 3 = 0;

b) m(2cosx − √2) = 2sin5x + 1

Lời giải:

a) (1 − m²)(x + 1)³ + x² – x – 3 = 0

f(x) = (1 − m²)(x + 1)³ + x² – x − 3 là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có f(−1) = −1 < 0 và f(−2) = m² + 2 > 0 nên f(−1).f(−2) < 0 với mọi m.

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình (1 − m²)(x + 1)³ + x² – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

b) m(2cosx − √2) = 2sin5x + 1

Xét hàm số f(x) = m(2cosx − √2) – 2sin5x – 1 trên đoạn

Bài 4.41 trang 172 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh phương trình

xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n-1x + a_n = 0 luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Lời giải:

Hàm số f(x) = xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n-1x + a_n xác định trên R

– Ta có

Vì nên với dãy số (x_n) bất kì mà x_n → +∞ ta luôn có lim f(x_n) = +∞

Do đó, f(x_n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì f(x_n) > 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho f(a) > 1 (1)

Vì nên với dãy số (x_n) bất kì mà x_n → −∞ ta luôn có lim f(x_n) = −∞ hay lim[−f(x_n)] = +∞

Do đó, −f(x_n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì −f(x_n) > 1 kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho −f(b) > 1 hay f(b) < −1 (2)

– Từ (1) và (2) suy ra f(a).f(b) < 0

Mặt khác, f(x) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.

Bài 4.42 trang 172 Sách bài tập Đại số 11: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Cho ví dụ minh hoạ.

Lời giải:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)

Ví dụ minh hoạ :

– f(x) = x² − 1 liên tục trên đoạn [−2;2], f(−2).f(2) = 9 > 0

Phương trình x² – 1 = 0 có nghiệm x = 1 hoặc x = -1 trong khoảng (-2; 2)

– f(x) = x² + 1 liên tục trên đoạn [-1; 1] và f(−1).f(1) = 4 > 0. Còn phương trình x² + 1 = 0 lại vô nghiệm trong khoảng (-1; 1)

Bài 4.43 trang 172 Sách bài tập Đại số 11: Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học.

Lời giải:

Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)

Minh hoạ hình hoạ (H.8):

Bài tập trắc nghiệm trang 172 Sách bài tập Đại số 11:

Bài 4.44: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu:

Lời giải:

D

Chọn đáp án:

Bài 4.45: Cho hàm số

Với giá trị nào của tham số a thì hàm số f(x) liên tục tại x = -1?

A. a = 2         B. a = 4         C. a = 3         D. a = 6

Lời giải:

Chọn đáp án: A

Bài 4.46: Phương trình x⁴ – 3x² + 1 = 0

A. Không có nghiệm trong (-1; 3)            B. Không có nghiệm trong (0; 1)

C. Có ít nhất hai nghiệm            D. Chỉ có một nghiệm duy nhất

Lời giải:

Tính f(0), f(1), f(3) và nhận xét về dấu của chúng để kết luận.

Chọn đáp án: C

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm