Phương trình mặt phẳng –

Phương trình mặt phẳng. Vectơ n ≠ 0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng (α). Rõ ràng nếu n là vectơ pháp tuyến của mp(α) thì km (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của mp(α). 然Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (ø) đi qua điểm Mo (x0;}”0,20) và có vectơ pháp tuyến m (A : B : C). Chú ý rằng vì ni z0 nên 4° + B° +C* > 0. Khi đó, điều kiện cần và đủ để điểm M(x, y, z) thuộc (2) là n. MoM = 0 (h.63), hay(Acx — xo) + B(y — yo) + C(z —zo) = 0. (I)Nhận xét. Nếu ta đặt D = -(A\0+ Byọ + C-0) thì phương trình (1) trở thành:A:\ + By + C2 + D = 0, trong đó (2)Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (ø) hay nói gọn là phương trình mp(CZ). Như vậy, tạ dễ dàng viết được phương trình mặt phẳng nếu biết toạ độ của một điểm thuộc nó và toạ độ một vectơ pháp tuyến của nó. Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (ø) đi qua ba điểm M(0; 1 : 1), N(1: –2: 0) và P(1: 0; 2). Giải. Ta có MN=(1; – 3: – 1) và MP = (1: – 1:1). Từ đó ta tính được n = MN, MP = (-4 : – 2:2). Vecto ni # 0 vuông góc với cả hai vectơ MN, MP nên n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (2). Như vậy, (2) là mặt phẳng đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n nên có phương trình -4(x-0) – 2(y – 1) + 2 (2 – 1) = 0, hay 2 x + y – z = 0. El 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1:–2:3) và B(-5; 0:1). Hãy viết phương 皇 ܢܚܬܚܬܝܬܐ录 ±ܩܝ ܢܚ.“ dt pтлаг 19 uruт 19 шut; \ г g ABNhư vậy, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng (2). Định lí sau đây khẳng định điều ngược lại.ĐINH LíTrong không gian Oxyz, mỗi phương trình Ax + By+ Cz + D = 0 với A°+ B°+ C° > 0 đều là phương trình của một mặt phẳng xác định.2 (để chứng minh định lí). Lấy một nghiệm (\0; yo:20) nào đó của phương trình (2), tức làAxo + Byo + Czo + D = 0. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm Mụ(\o : ya : -0) và có vectơ pháp tuyến là n(A, B, C). Hãy viết phương trình của (P) để thấy rằng nó tương đương với phương trình (2).2. Các trường hợp riêng然Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng và nói rõ trong mỗi trường hợp đó, mặt phẳng có đặc điểm gì.3. Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (C) Có phương trình :Ax + By + C2 + D = 0. Hãy giải thích vì sao ta có các khẳng định sau đây: a). Mặt phẳng (C) đi qua gốc toạ độ O khi và chỉ khi D = 0. b). Mặt phẳng (C) song song (hoặc chứa) trục toạ độ OY khi và chỉ khi A = 0. Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = 0 và trường hợp C = 0. c). Mặt phẳng (ø) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy) khi và chỉ khi A = B = 0.Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = C = 0 và trường hợp C = A = 0.Sau đây ta xét trường hợp mặt phẳng có phương trình A\ + By + C2 + D = 0 với các hệ số A, B, C, D đều khác 0.Khi đó bằng cách đặt a = -. b = , C = 一岩 ta đưa phương trình trênvề dạng (3)Rõ ràng mặt phẳng có phương trình (3) cắt các trục Ox,Oy, O2 lần lượt tại các điểm M(a : 0 ; 0), N(0; b : 0) và P(0: 0 ; c). Độ dài đại số của các Vecto OM, ON, OP trên các trục toạ độ chứa chúng lần lượt là OM = a : ON = b : OP = c. Bởi vậy phương trình (3) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M = (30:15, 6). a). Hãy viết phương trình mặt phẳng (C) đi qua các hình chiếu của M trên Các trục toạ độ, b) Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm O trên mp(O). Giải a) Các hình chiếu của M trên các trục toạ độ là các điểm (30: 0; 0), (0: 15:0) và (0: 0; 6). Phương trình mp(C) đi qua ba điểm đó là — + – – + A = 1 hay x + 2 y +52 – 30 = 0. 30 15 6b) Điểm H nằm trên mặt phẳng (ø) và vectơ OH cùng phương với vectơ pháp tuyến rỉ(1:2: 5) của (O), tức là OH = fĩ. Bởi vậy, nếu gọi (x : y); z) là toạ độ của H thìx + 2y+52 – 30 = 0A” – 1y = 2t Bằng cách thay các giá trị \, y, z từ ba phương trình cuối vào phương trình đầu, ta được t + 41 + 251 – 30 = 0. Từ đó ta tìm được t = 1 và do đó H = (1:2: 5), a3. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳngHai bộ só ti lė Xét các bộ n số (\} , \2 ; . ; \,,) (n > 2), trong đó các số \}, \2,… \, không đồng thời bằng 0. * Hai bộ số (A1 , A2 ; . ; An) và (B’) ; B2; …: B,) như thế được gọi là tỉ lệ với nhau (hay tỉ lệ) nếu có một số 1 sao cho AJ = 1B, A2 = tB2,…, An = IB, . Khi đó ta ViếtA: A: : : : A) = Bi: B: : : : B, hoặc & = &= = . I Theo định nghĩa đó, ta có S S SSL S S S S 부 = 그로 = 1 =ly 1: 2:3=2;-4: 6 hay $=-{=ố (ở đây t = }); SSS S SSS S SSS S SSS SSS S SSS S SS 2 = P = – ” ( – 204:0=102.0hy 습== ỗ (ở đây t = 2) * Khi hai bộ số (A1 , A2 ; . ; An) và (B) ; B2; …: B,) không tỉ lệ, ta viếtA : A : … : A 7. By : B : … : B,1 *85Ví dụ:1:5 : –2: 4 z l:–2: 5: 4, 1 : 0 : 1 : 2 z 1 : 1 : 1 : 2. * Ta hãy xét trường hợp hai bộ số (A1 , A2, …: An) và (BI : B2 : …: B,) tỉ lệ, nhưng hai bộ số (A1 , A2, … : An : A11) và (BI : B2; . ; B, : B,1,1) không tỉ lệ. Điều đó có nghĩa là: có số 1 sao cho A) = (B1, A2 = [B2,…..A) = 1B, nhưng An || Z. IB, 11. Trong trường hợp đó, ta viết: = == – 부. B) B. B, Bn+1 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Trong không gian OAyz cho hai mặt phẳng (ø) và (ø) lần lượt có phương trình : (a) : Ax + By + Cz + D = 0 (or’) : A’ x + By + C’2 + D = 0;chúng lần lượt có vectơ pháp tuyến là n (A; B: C) và n”(A’: B’: C”).[?1] Nếu A : B: Cz A’: B’: C” thì ta có thể nói gì về hai vectơ m (A; B: C) và n” (A’: B’; C”) và do đó nói gì về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (CZ) và (C^) ?Bây giờ ta xét trường hợp A : B: C = A’: B’: C’ hay ==.Tóm lại ta có:Cho hai mặt phẳng (O) và (C^) lẩn lượt có phương trình : (a): Ax + By + Cz + D = 0 (oxo) : Aox + Boy + C’z + Do = 0.a) Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi A : B: Cz A’: B’: C”.b) Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khic) Hai mặt phẳng đó trùng nhau khi và chỉ khi A B CA, B, C, D,22|| Hai mặt phẳng (o) và (a) nói trên vuông góc với nhau khi nào ?5 然 Cho hai mặt phẳng (2): 2Y – my+ 10- + m + 1 = 0 (6) : \ -2y + (3m + 1)z – 10 = 0.Hãy tìm giá trị của m để: a) Hai mặt phẳng đó song song, b). Hai mặt phẳng đó trùng nhau: c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau: d). Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.4. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳngTrong không gian Owyz, cho điểm M0(\0 : yo: -0) và mặt phẳng (ø) cóphương trình : A \ + By + C2 + D = 0. Hoàn toàn tương tự như công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong hình học phẳng,ta có công thức sau đây về khoảng cách d(M0 (0)) từ điểm Mo tới mp(a):d(Mo. (O2)) =|Avo +By+Cz0+D NA? + B + C?6 ܟ 汽 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là: 3x – y +2= – 6 = 0 và 6Y – 2y + 4- + 4 = 0.Ví dụ 3. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b, OC = C. Tính độ dài đường cao của tứ diện ke tio, O.Giải Vì ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên ta có thể chọn hệ toạ độ có gốc là O và có A = (a : 0 ; 0), B = (0 ; b : 0), C = (0: 0 ; c) (h.64). Khi đó mp(ABC) có phương trình theo đoạn chắn làC + 2 + – 1 = 0. a b cChiều cao h cần tìm là khoảng cách từ điểm O tới mp(ABC) nên0+0+0 –1 abc. be – ca. Lab.h =Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD,A’B’C’D’ cạnh a, Trên các cạnh AA”, BC, C’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CN = D’P = I, với 0 < 1 < a. Chứng minh rằng mp(MWP) song song với mp(ACD') và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.Giaii Chọn hệ toạ độ Oxyg có gốc O trùng với D, các trục O\, Oy, Oz lần lượt đi qua A, C và D' như ở hình 65. Khi đó: A = (a; 0, 0), C = (0, a .0), D = (0, 0; a). M = (a; 0; t), N = (t; a ; 0), P = (0:1: a).Phương trình theo đoạn chắn của mp(ACD) là://ình 65+ 2 + F = 1 hay x + y + z- a = 0. Mặt phẳng đó có vectơ pháp tuyến n = (1:1:1). Mặt khác, mp(MNP) có vectơ pháp tuyến là n'=[MN, MP]. Ta có MN = (t – a : a; — ) : MP = (-a ; t : a — 1). Từ đó ta tìm được toạ độ của n” làn=(ao + o – a α' + f -αι ? + 1 -at).Bởi vậy hai vectơ n và n" cùng phương; ngoài ra dễ thấy điểm M không nằm trên mp(ACD'); do đó mp(MNP)//mp(ACD'). 1.1. 6Khoảng cách d giữa hai mặt phẳng đó bằng khoảng cách từ điểm M của mp(MNP) tới mp(ACD') nên ta có la + 0 + 1 - all v3V12 + 2 + 12 3dCôu hỏi vòi bời tộp. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :a). Đi qua ba điểm M(2:0: -1), N(1; –2:3), P(0: 1: 2): b) Đi qua hai điểm A(1:1;-1), B(5; 2: 1) và song song với trục Oz: c) Đi qua điểm (3 : 2 ;-1) và song song với mặt phẳng có phương trình A – 5y + z = 0; d) Đi qua hai điểm A(0': 1 : 1), B(-1 ; 0; 2) và vuông góc với mặt phẳng xーy+z+1=0: e). Đi qua điểm M(a, b, c) (với abc#0) và song song với một mặt phẳng toạ độ: g). Đi qua điểm G(1:2:3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC; h). Đi qua điểm H(2; l: 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.- Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:a) \ + 2y = 2 + 5 = 0 và 2\ + 3y – 72 – 4 = 0; b)x - 2y + 2 – 3 = 0 và 2\ – y + 42 – 2 = 0; c)x+y+zー1=0 và 2\ + 2y + 22 + 3 = 0; d).3Y – 2y + 32 + 5 = 0 và 9\ – 6y – 92 – 5 = 0; e)x - y + 22 – 4 = 0 và 10x – 10y+202 – 40 = 0.. Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:a) 2Y + ny + 22 + 3 = 0 và mY + 2y – 42 + 7 = 0;b) 2x + y + m2 — 2 = 0 va x + ту + 22 + 8 = 0.Cho hai mặt phẳng có phương trình là 2х – my + 3z - 6 + m = 0 và (m + 3)x - 2y+ (5m + 1)z - 10 = 0. Với giá trị nào của m thì: a) Hai mặt phẳng đó song song: b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau: c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau: d). Hai mặt phẳng đó vuông góc ?. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (O) và (O) trong mỗi trường hợp sau :a) (a): 2.x - y + 42 + 5 = 0, (cy):3x+5yーzー1=0: b) (0): 2 x + y - 22 - 1 = 0, (α) : 6ν - 3ν + 22 - 2 = 0: c) (O2) : x + 2 y + z - 1 = 0, (cy):x+2y+z+5=0.- Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳngAx + By + C2 + D = 0 và AA + By + C2 + D’ = 0 Với D + D'.. Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:a) M cách đều điểm A(2:3: 4) và mặt phẳng 2x + 3y + 2 – 17 = 0; b) M cách đều hai mặt phẳng x + y = 2 + 1 = 0 và x - y + 2 + 5 = 0.. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giácvuông đỉnh O. Gọi ø, 6, 7 lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn :b) cosa + coso 6 + coso y = 1.. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4\ + 3y - 122 + 1 = 0và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình :A + y + 2 - 2c - 4y-6-2 = 0.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Phương trình mặt phẳng

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!