Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách giáo khoa hình học 11
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
• Giải Toán Lớp 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
• Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 4.1 trang 156 Sách bài tập Đại số 11: Biết rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (v_n) với v_n = |u_n| cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không?

Lời giải:

Vì (u_n) có giới hạn là 0 nên |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, |v_n| = ||u_n|| = |u_n|. Do đó, |v_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy (v_n) có giới hạn là 0.

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).

Bài 4.2 trang 156 Sách bài tập Đại số 11: Cho biết dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (v_n) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u_{n + vn) có thể có giới hạn hữu hạn không?}

Lời giải:

Dãy (u_n + v_n) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại (u_n + v_n) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số (u_n + v_n) và (u_n) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là u_n + v_n − u_n = v_n có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết (v_n) không có giới hạn hữu hạn.

Bài 4.3 trang 156 Sách bài tập Đại số 11: a) Cho hai dãy số (u_n) và (v

n
). Biết lim u_n = −∞ và v_n ≤ u_n với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v_n) khi n → +∞?

b) Tìm v_n với v_n = -n!

Lời giải:

a) Vì lim u_n = −∞ nên lim(−u_n) = +∞. Do đó (−u_n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)

Mặt khác, vì v_n ≤ u_n với mọi n nên (−v_n) ≥ (−u_n) với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra (−v_n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(−v_n) = +∞ hay lim v_n = −∞

b) Xét dãy số (u_n) = −n

Ta có – n! < – n hay v_n < u_n với mọi n. Mặt khác, lim u_n = lim(−n) = −∞

Từ kết quả câu a) suy ra lim v_n = lim(−n!) = −∞

Bài 4.4 trang 156 Sách bài tập Đại số 11: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Lời giải:

a) -3;

b) + ∞;

c) 0;

d)

e) 0;

f) −1/2;

g) -1;

Bài 4.5 trang 156 Sách bài tập Đại số 11: Tính các giới hạn sau:

a) lim(n² + 2n − 5);

b) lim(−n³ − 3n² − 2);

c) lim[4n + (−2)ⁿ];

Lời giải:

a) lim(n² + 2n − 5) = + ∞

b) lim(−n³ − 3n² − 2) = – ∞

c) lim[4n + (−2)ⁿ] = + ∞

Bài 4.6 trang 157 Sách bài tập Đại số 11: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Chứng minh rằng nếu lim v_n = 0 và |u_n| ≥ v_n với mọi n thì lim u_n = 0

Lời giải:

lim v_n = 0 ⇒ |v_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)

Vì |u_n| ≤ v_n và v_n ≤ |v_n| với mọi n, nên |u_n| ≤ |v_n| với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra |u_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là limun=0

Bài 4.7 trang 157 Sách bài tập Đại số 11: Biết . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u_n)?

Lời giải:

Đáp án: lim u_n = 2

Bài 4.8 trang 157 Sách bài tập Đại số 11: Cho dãy số (u_n) xácđịnh bởi công thức truy hồi

Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi Tìm giới hạn đó.

Lời giải:

Ta có

Dự đoán

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp (bạn đọc tự chứng minh).

Từ đó

Bài 4.9 trang 157 Sách bài tập Đại số 11: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Lời giải:

 Đáp số: 2/3

Bài 4.10 trang 157 Sách bài tập Đại số 11: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3

Lời giải:

Đáp số:

Bài 4.11 trang 157 Sách bài tập Đại số 11: Cho dãy số (b_n) có số hạng tổng quát là b_n = sinα + sin²α + … + sinⁿα với α ≠ π/2 + kπ. Tìm giới hạn của (b_n)

Lời giải:

Dãy số: sinα, …, sinnα, … với α≠π/2 + kπ, là một cấp số nhân vô hạn, công bội q = sinα

Vì |sinα| < 1 với α≠π2+kπ nên (sinⁿα) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Hơn nữa, b_n = sinα + sin²α + … + sinⁿα = S_n

Do đó, lim b_n = sinα + sin²α + … + sinⁿα + … = sinα/(1 − sinα)

Bài 4.12 trang 157 Sách bài tập Đại số 11: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212… (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Lời giải:

Giải tương tự Ví dụ 13, ta có a = 34,121212… = 1126/33

Bài tập trắc nghiệm trang 157, 158 Sách bài tập Đại số 11:

Bài 4.13: Giới hạn của dãy số (u_n) với u_n = (-1)ⁿ là:

A. 0          B. 1          C. -1          D. Không tồn tại

Lời giải:

Do đó, không thể xảy ra trường hợp u_n → a hoặc u_n → ±∞ khi n → +∞.

Nói cách khác, dãy đã cho không có giới hạn.

Chọn đáp án: D

Bài 4.14: bằng:

A. 3/4          B. 0          C. 9/4          D. -9/4

Lời giải:

Cách 1: Tử số và mẫu số là các đa thức cùng bậc, có hệ số của số hạng bậc cao nhất tương ứng là 9 và -4. Vậy giới hạn bằng (-9)/4.

Cách 2: Tính giới hạn bằng cách chia tử số và mẫu số cho n³.

Chọn đáp án: D

Bài 4.15: bằng:

A. 0          B. -3          C. -3/2          D. +∞

Lời giải:

Tính giới hạn bằng cách nhân và chia với biểu thức liên hợp của (√(n²-1)- √(n²+2))

Chọn đáp án: C

Bài 4.16: Nếu S = 1 + 0,9 + (0,9)² + (0,9)³ + … + (0,9)^n-1+ … thì:

A. S = 10          B. S = 2          C. S = +∞          D. Không thể tính được S

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Chọn đáp án: A

Bài 4.17: bằng:

A. 0          B. +∞          C. -∞          D. -4/3

Lời giải:

Cho tử số và mẫu số cho 4ⁿ.

Chọn đáp án: C

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm