Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 12
• Sách giáo khoa hình học 12
• Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao
• Giải Toán Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Giải Toán Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1.17 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = −2x² + 7x − 5

b) y = x³ − 3x² − 24x + 7

c) y = (x + 2)².(x − 3)³

Lời giải:

a) y = −2x² + 7x − 5. TXĐ: R

y′ = −4x + 7, y′ = 0 ⇔ x = 7/4

y′′ = −4 ⇒ y′′(7/4) = −4 < 0

Vậy x = 7/4 là điểm cực đại của hàm số và y_CD = 9/8

b) y = x³ − 3x² − 24x + 7. TXĐ: R

y′ = 3x² − 6x – 24 = 3(x² − 2x − 8)

y′ = 0 ⇔

Vì y′′(−2) = −18 < 0, y′′(4) = 18 > 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -2; đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CĐ = y(-2) = 35; y_CT = y(4) = -73.

e) TXĐ: R

y′ = 2(x + 2).(x − 3)³ + 3(x + 2)².(x − 3)² = 5x(x + 2).(x − 3)²

y′= 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra y_CĐ = y(-2) = 0; y_CT = y(0) = -108.

Bài 1.18 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ : R

y′= 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = -4 và y_CD = y(2) = 1/4; y_CT = y(−4) = −1/8

b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1.

y′=0 ⇔

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 − √2 và đạt cực tiểu tại x = 1 + √2, ta có:

y_CD = y(1 − √2) = −2√2;

y_CT = y(1 + √2) = 2√2.

c) TXĐ: R\{-1}

Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.

d) Vì x² – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên (−∞; +∞)

y′ = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = −1/3, đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CD = y(−1/3) = 13/4; y_CT = y(4) = 0

Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ: R

y′ = 0 ⇔ x = 64

Bảng biến thiên:

Vậy ta có y_CĐ = y(0) = 0 và y_CT = y(64) = -32.

b) Hàm số xác định trên khoảng (−∞;+∞).

Bảng biến thiên:

Vậy y_CD = y(−2) =

c) Hàm số xác định trên khoảng (−√10;√10).

Vì y’ > 0 với mọi (−√10;√10) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.

d) TXĐ: D = (−∞; −√6) ∪ (√6; +∞)

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = -3 và y_CT = y(3) = 9√3; y_CD = y(−3) = −9√3

Bài 1.20 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = sin2x

b) y = cosx − sinx

c) y = sin²x

Lời giải:

a) y = sin2x

Hàm số có chu kỳ T = π

Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có:

y’ = 2cos2x

y’ = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và y_CD = y(π/4) = 1; y_CT = y(3π/4) = −1

Vậy trên R ta có:

y_CĐ = y(π/4 + kπ) = 1;

y_CT = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z

b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π].

y′ = − sinx – cosx

y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]

Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và

y_CĐ = y(−π4 + k2π) = √2;

y_CT = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z).

c) Ta có:

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ π.

Ta xét hàm số y trên đoạn [0;π]:

y′ = sin2x

y′ = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = kπ/2 (k∈Z)

Lập bảng biến thiên trên đoạn [0,π]

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = kπ/2 với k chẵn, đạt cực đại tại x = kπ/2 với k lẻ, và

y_CT = y(2mπ) = 0; y_CT = y(2mπ) = 0;

y_CĐ = y((2m+1)π/2) = 1 (m∈Z)

Bài 1.21 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị:

y = x³ + 2mx² + mx − 1

Lời giải:

TXĐ: D = R

y’ = 3x² + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3x² + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ Δ’ = 4m² -3m > 0 ⇔ m(4m – 3) > 0

⇔

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc m > 3/4.

Bài 1.22 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x³ – 2x² + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1. (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)

Lời giải:

TXĐ: D = R

y’ = 3x² – 4x + m; y’ = 0 ⇔ 3x² – 4x + m = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:

∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m < 4/3 (∗)

Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :

y’(1) = 3 – 4 + m = 0 ⇒ m = 1 (thỏa mãn điều kiện (∗) )

Mặt khác, vì:

y’’ = 6x – 4 ⇒ y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0

cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.

Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 1.23 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định m để hàm số: y = x³ − mx² + (m – 2/3)x + 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Lời giải:

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét y’ = 0, ta có: y′ = 3x² − 2mx + (m – 2/3)

Δ’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (∗)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

y′(1) = 3 − 2m + m – 2/3 = 0 ⇔ m = 7/3, thỏa mãn điều kiện (∗)

Với m = 7/3 thì hàm số đã cho trở thành:

Ta có:

Vì y′′(1) = 6 – (14/3) > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = y(1) = (16/3).

Bài 1.24 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số:

Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số:

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

Mặt khác, với x < 0 thì

với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 0.

Bài 1.25 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

Lời giải:

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}.

Ta có:

Xét g(x) = x² – 2mx – 2m² + 3

Δ’_g = m² + 2m² – 3 = 3(m² – 1) ;

Δ’_g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên

tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ – 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Bài tập trắc nghiệm trang 16, 17 Sách bài tập Giải tích 12:

Bài 1.26: Hàm số y = (x + 1)³(5 – x) có mấy điểm cực trị?

A. 0              B. 1

C. 2              D. 3

Bài 1.27: Hàm số y = x⁴ – 5x² + 4 có mấy điểm cực đại?

A. 0              B. 2

C. 3              D. 1

Bài 1.28: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x³ – 3x² + mx – 5 có cực trị:

A. m = 3              B. m ∈ [3; +∞]

C. m < 3              D. m > 3

Bài 1.29: Xác định giá trị của tham số m để hàm số có cực trị:

A. m > √5              B. m < -√5

C. m = √5              D. -√5 < m < √5

Bài 1.30: Cho hàm số y = -x⁴ + 4x² – 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu

C. Hàm số chỉ có một cực tiểu

D. Hàm số chỉ có một cực đại

Bài 1.31: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

y = mx³/3 + mx² + 2(m – 1)x – 2.

A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 2              B. m ≥ 0

C. m ≤ 0 ≤ 2              D. m ∈ [0; +∞]

Bài 1.32: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị

y = x³ – 3(m – 1)x² – 3(m + 3)x – 5

A. m ≥ 0              B. m ∈ R

C. m < 0              D. m ∈ [-5;5]

Bài 1.33: Cho hàm số:

Khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A. d = 2√5              B. d = √5/4

C. d = √5              D. √5/2

Lời giải:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài	1.26	1.27	1.28	1.29	1.30	1.31	1.32	1.33
Đáp án	B	D	C	D	B	A	B	D

Bài 1.26: Đáp án: B.

Hàm số y = (x + 1)³(5 – x) xác định trên R.

y’ = -(x + 1)³ + 3(x + 1)²(5 – x) = 2(x + 1)²(7 – 2x)

y’ = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Suy ra hàm số chỉ có một cực trị (là cực đại)

Bài 1.27: Đáp án: D.

Hàm số y = x⁴ – 5x² + 4 xác định trên R.

y’ = 4x³ – 10x = 2x(2x⁵ – 5);

y’ = 0 khi

y” = 12x² – 10

Vì y”(0) = -10 < 0,

nên hàm số chỉ có một cực đại (tại x = 0)

Bài 1.28: Đáp án: C.

Tập xác định: D = R. y’ = 3x² – 6x + m.

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R

⇔ 3x² – 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ’ = 9 – 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3

Bài 1.29: Đáp án: D.

Tập xác định: D = R \ {m}

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D

⇔ x² – 2mx + 2m² – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ’ = -m² + 5 > 0 ⇔ -√5 < m < √5

Bài 1.30: Đáp án: B.

Vì a < 0 và y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số y = ax⁴ + bx² + c có hai cực đại, một cực tiểu.

Ở đây y’ = -4x³ + 8x; y’ = 0 ⇔ -4x(x² – 2) = 0

⇔

Bài 1.31: Đáp án: A.

– Nếu m = 0 thì y = -2x – 2, hàm số không có cực trị.

– Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = mx² + 2mx + 2(m – 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

Δ’ = m² – 2m(m – 1) = -m² + 2m ≤ 0

⇔

Bài 1.32: Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y’ = 3x² – 6(m – 1)x – 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ’ = (m – 1)² + (m + 3) = m² – m + 4 > 0

Ta thấy tam thức Δ’ = m² – m + 4 luôn dương với mọi m vì

δ = 1 – 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m ∈ R

Bài 1.33: Đáp án: D.

y’ = 3x² + 3x = 3x(x + 1) = 0

⇔

Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: