Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Giải Toán Lớp 8
• Đề Kiểm Tra Toán Lớp 8
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 8 tập 1
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 8 tập 2
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 8 Tập 1
• Sách Bài Tập Toán Lớp 8 Tập 2

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 3: Hình thang cân giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 22 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có AB //CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng: DC = CK

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:

∠(AHD) = ∠(BKC) = 90^o

AD = BC (tính chất hình thang cân)

∠C = ∠D (gt)

Suy ra: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ HD = KC

Bài 23 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.

Lời giải:

Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)

DC chung

Do đó: ΔADC = ΔBCD (c.g.c) ⇒ ∠C₁= ∠D₁

Trong ΔOCD ta có: ∠C₁= ∠D₁ ⇒ ΔOCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

Bài 24 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN

a. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?

b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rang góc ∠A = 40^o

Lời giải:

a. ΔABC cân tại A

⇒∠B = ∠C = (180^o– ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)

AB = AC (gt) ⇒ AM + BM = AN + CN

Mà BM = CN (gt) ⇒ AM = AN

⇒ ΔAMN cân tại A

⇒∠M₁ = ∠N₁ = (180^o– ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠M₁ = ∠B

⇒ MN // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác BCNM là hình thang có B = C

Vậy BCNM là hình thang cân.

b. ∠B = ∠C = (180^o – 40^o) / 2 = 70^o

Mà ∠M₂+ ∠B = 180^o – 70^o = 110^o

∠N₂= ∠M₂= 110^o (tính chất hình thang cân)

Bài 25 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Lời giải:

Xét hai tam giác AEB và AFC

Có AB = AC (ΔABC cân tại A)

∠ABE = ∠B/2 = ∠C/2 = ∠ACF

∠A là góc chung

⇒ ΔAEB = ΔAFC (g.c.g) ⇒ AE = AF ⇒ ΔAEF cân tại A

⇒ ∠AFE = (180^o− ∠A) / 2 và trong tam giác ΔABC: ∠B = (180^o− ∠A) / 2

⇒∠AFE = ∠B ⇒ FE//BC

⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.

Vì FE//BC nên ta có: ∠FEB = ∠EBC (so le trong)

Lại có: ∠FBE = ∠EBC

⇒∠FBE = ∠FEB

⇒ ΔFBE cân ở F ⇒ FB = FE

⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm)

Bài 26 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải:

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.

Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK

Mà AC = BD (gt)

Suy ra: BD = BK do đó ΔBDK cân tại B

⇒ ∠D₁ = ∠K (tính chất hai tam giác cân)

Ta lại có: ∠C₁ = ∠K (hai góc đồng vị)

Suy ra: ∠D₁ = ∠C₁

Xét ΔACD và ΔBDC:

AC = BD (gt)

∠D₁ = ∠C₁ (chứng minh trên)

CD chung

Do đó ΔACD = ΔBDC (c.g.c) ⇒ ∠(ADC) = ∠(BCD)

Hình thang ABCD có ∠(ADC) = ∠(BCD) nên là hình thang cân.

Bài 27 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bang 50^o

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và ∠D = 50^o

Vì ∠C = ∠D (tính chất hình thang cân)

⇒ ∠C = 50^o

∠A + ∠D = 180^o (hai góc trong cùng phía)

⇒ ∠A = 180^o – ∠D = 180^o – 50^o = 130^o

∠B = ∠A (tính chất hình thang cân)

Suy ra: ∠B = 130^o

Bài 28 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.

Lời giải:

Ta có:

AB = AD (gt)

AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ AB = BC do đó ΔABC cân tại B

⇒ ∠BAC = ∠BCA (tính chất tam giác cân) (*)

ABCD là hình thang có đáy là AB nên AB // CD

∠BAC = ∠DCA (hai góc so le trong) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: ∠BCA = ∠DCA (cùng bằng ∠BAC)

Vậy CA là tia phân giác của ∠BCD.

Bài 29 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại 0. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ABCD là hình gì ? Vì sao

Lời giải:

Ta có: OA = OC (gt)

⇒ ΔOAC cân tại O

⇒∠A₁= (180^o – ∠(AOC) ) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)

OB = OD (gt)

⇒ ΔOBD cân tại O

⇒ ∠B₁= (180^o – ∠(BOD) )/2 (tính chất tam giác cân) (2)

∠(AOC) = ∠(BOD) (đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: ∠A₁ = ∠B₁

⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị tri so le trong bằng nhau)

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình thang

Ta có: AB = OA + OB

CD = OC + OD

Mà OA = OC, OB = OD

Suy ra: AB = CD

Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.

Bài 30 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.

a. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao

b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD =DE = EC?

Lời giải:

a. AD = AE (gt)

⇒ ΔADE cân tại A ⇒∠(ADE) = (180^o– ∠A )/2

ΔABC cân tại A ⇒ ∠(ABC) = (180^o– ∠A )/2

Suy ra: ∠(ADE) = ∠(ABC)

⇒ DE // BC (Vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác BDEC là hình thang

∠(ABC) = ∠(ACB) (tính chất tam giác cân) hay ∠(DBC) = ∠(ECB)

Vậy BDEC là hình thang cân.

b. Ta có: BD = DE ⇒ ΔBDE cân tại D

∠B₁ = ∠E₁

Mà ∠E₁ = ∠B₂(so le trong)

⇒ ∠B₁ = ∠B₂

DE = EC ⇒ ΔDEC cân tại E

⇒ ∠D₁ = ∠C₁

∠D₁ = ∠C₂(so le trong)

⇒ ∠C₁ = ∠C₂

Vậy khi BE là tia phân giác của ∠(ABC) , CD là tia phân giác của ∠(ACB) thì BD = DE = EC.

Bài 31 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có 0 là giao điểm của hai đường thắng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.

Lời giải:

Ta có: ∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)

⇒ ∠(ODC) = ∠(OCD)

⇒ΔOCD cân tại O

⇒ OC = OD

OA + AD = OB + BC

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét ΔADC và. ΔBCD:

AD = BC (chứng minh trên)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD chung

Do đói ΔADC và ΔBCD (c.c.c)

⇒ ∠D₁= ∠C₁

⇒ΔEDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (chứng minh trên)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB nên O thuộc đường trung trực của AB

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Bài 32 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: a. Hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = b , đáy lớn CD = a, đường cao AH. Chứng minh rằng HA = (a – b) / 2 , HC = (a + b) / 2 (a, b có cùng đơn vị đo).

b. Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm.

Lời giải:

a. Kẻ đường cao BK

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:

∠(AHD) = ∠(BKC) = 90^o

AD = BC (tỉnh chất hình thang-Cân)

∠D = ∠C (gt)

Do đó: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ HD = KC.

Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK

a – b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD ⇒ HD = (a – b) / 2

HC = DC – HD = a – (a – b) / 2 = (a + b) / 2

b. HD = (CD – AB) / 2 = (26 – 10) / 2 = 8 (cm)

Trong tam giác vuông AHD có ∠(AHD) = 90^o

AD² = AH² + HD² (định lý Pi-ta-go)

⇒ AH² = AD² – HD²

AH² = l7² – 8²= 289 – 64 = 225

AH = 15 (cm)

Bài 33 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của-góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.

Lời giải:

Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)

∠(ABD) = ∠(BDC) (so le trong)

∠(ADB) = ∠(BDC) (gt)

⇒ (ABD) = (ABD)

⇒ΔABD cân tại A

⇒ AB = AD = 3 (cm)

ΔBDC vuông tại B

∠(BDC) + ∠C = 90^o

∠(ADC) = ∠C (gt)

Mà ∠(BDC) = 1/2 ∠(ADC) nên ∠(BDC) = 1/2 ∠C

∠C + 1/2 ∠C = 90^o ⇒ ∠C = 60^o

Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE

⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)

∠(BEC) = ∠(ADC) (đồng vị)

Suy ra: ∠(BEC) = ∠C

⇒ΔBEC cân tại B có ∠C = 60^o

⇒ΔBEC đều

⇒ EC = BC = 3 (cm)

CD = CE + ED = 3 + 3 = 6(cm)

Chu vi hình thang ABCD bằng:

AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 15 (cm)

Bài 3.1 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD (AB// CD) có ∠(A ) = 70^o. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. ∠(C ) = 110^o

B. ∠(B ) = 110^o

C. ∠(C ) = 70^o

D. ∠(D ) = 70^o

Lời giải:

Chọn A. ∠(C ) = 110^o

Bài 3.2 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD (AB// CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KI là đường trung trực của hai đáy.

Lời giải:

∆ACD = ∆BDC (c.c.c) suy ra

do đó ID = IC (1)

Tam giác KCD có hai góc ở đấy bằng nhau nên KD = KC (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI là đương trung trực của CD.

Chứng minh tương tự có IA = IB, KA = KB

Suy ra KI là đường trung trực của AB

Bài 3.3 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD (AB // CD) có , DB là tia phân giác của góc D. Tính các cạnh của hình thang, biết chu vi hình thang bằng 20cm.

Lời giải:

Hình thang ABCD cân có AB // CD

⇒ ∠D = ∠C = 60^o

DB là tia phân giác của góc D

⇒ ∠(ADB) = ∠(BDC)

∠(ABD) = ∠(BDC) (hai góc so le trong)

Suy ra: ∠(ADB) = ∠(ABD)

⇒ Δ ABD cân tại A ⇒ AB = AD (1)

Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED, AD= BE (2)

∠(BEC) = ∠(ADC) (đồng vị )

Suy ra: ∠(BEC) = ∠C = 60^o

⇒Δ BEC đều ⇒ EC = BC (3)

AD = BC (tính chất hình thang cân) (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ AB = BC = AD = ED = EC

⇒ Chu vi hình thang bằng:

AB + BC + CD + AD = AB + BC + EC + ED + AD = 5AB

⇒AB = BC = AD = 20 : 5 = 4 (cm)

CD = CE + DE = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)