Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Câu hỏi khởi động trang 93 Toán lớp 10 Tập 2:
Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ biết đường conic gồm đường parabol, đường elip, đường hypebol và cách xác định phương trình chính tắc của mỗi loại đường conic trên.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Hoạt động 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 2:
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng MF1 + MF2?
Lời giải:
Theo bài ra ta thấy tổng MF1 + MF2 luôn bằng độ dài vòng dây kín, do đó khi M thay đổi, tổng MF1 + MF2 là một độ dài không đổi.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Hoạt động 2 trang 94 Toán lớp 10 Tập 2:
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F1F2, trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, F1(– c; 0) và F2(c; 0) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:
a) A1(– a; 0) và A2(a; 0) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
b) B1(0; – b) và B2(0; b), ở đó
b
=
a
2
−
c
2
, đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Lời giải:
Do đó: A1F1 + A2F2 = a – c + a + c = 2a.
Vậy điểm A1(– a; 0) thuộc elip (E).
Mà A1(– a; 0) thuộc trục Ox nên A1(– a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
Tương tự, ta chứng minh được A2(a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
b) Vì
b
=
a
2
−
c
2
nên
b
2
=
a
2
−
c
2
⇔
a
2
=
b
2
+
c
2
.
Ta có:
B
2
F
1
=
−
c
−
0
2
+
0
−
b
2
=
c
2
+
b
2
=
a
2
=
a
(do a > 0).
B
2
F
2
=
c
−
0
2
+
0
−
b
2
=
c
2
+
b
2
=
a
2
=
a
(do a > 0).
Do đó B2F1 = B2F2 = a nên B2F1 + B2F2 = a + a = 2a. Do đó, B2(0; b) thuộc elip (E).
Mà B2(0; b) thuộc trung Oy nên B2(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Tương tự, ta chứng minh được B1(0; – b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 95 Toán lớp 10 Tập 2:
N
3
;
−
12
5
.
Lời giải:
Elip (E) có phương trình chính tắc là:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
a
>
b
>
0
.
Do elip (E) đi qua điểm M(0; 3) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình elip, do đó ta có
0
2
a
2
+
3
2
b
2
=
1
⇔
b
2
=
3
2
⇒
b
=
3
(do b > 0).
Do elip (E) đi qua điểm
N
3
;
−
12
5
nên tọa độ điểm N thỏa mãn phương trình elip, do đó ta có
3
2
a
2
+
−
12
5
2
3
2
=
1
⇔
a
2
=
25
⇒
a
=
5
(do a > 0).
Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là:
x
2
25
+
y
2
9
=
1
.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Hoạt động 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 2:
Cho thước quay quanh điểm B (trùng F1), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol.
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu MF1 – MF2?
Lời giải:
Khi M thay đổi, ta có hiệu
MF1 – MF2 = (MF1 + MA) – (MF2 + MA) = AB – l không đổi.
Vậy hiệu MF1 – MF2 không thay đổi khi M thay đổi.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Hoạt động 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 2:
Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng F1F2, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F1F2 = 2c (c > 0), gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng F1F2 (Hình 54).
a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm F1, F2.
Lời giải:
a) Vì Oy là đường trung trực của F1F2 nên O là trung điểm của F1F2.
Do đó, OF1 = OF2 = F1F2 : 2 = 2c : 2 = c.
Điểm F1 thuộc trục Ox và nằm về phía bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng c nên tọa độ của F1 là F1(– c; 0).
Điểm F2 thuộc trục Ox và nằm về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng c nên tọa độ của F2 là F2(c; 0).
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Luyện tập 2 trang 98 Toán lớp 10 Tập 2:
Lời giải:
Ta có: 4x2 – 9y2 = 1
⇔
x
2
1
4
−
y
2
1
9
=
1
⇔
x
2
1
2
2
−
y
2
1
3
2
=
1
Phương trình hypebol đã cho được viết dưới dạng phương trình chính tắc là
x
2
1
2
2
−
y
2
1
3
2
=
1
.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Hoạt động 5 trang 99 Toán lớp 10 Tập 2:
Cho cạnh AC của ê ke trượt trên ∆ (Hình 55). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol.
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M đến F và khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆?
Lời giải:
Khi M thay đổi, ta có: MA + MB = MF + MB (Vì các tổng này đều có độ dài bằng đoạn dây AB).
Do đó, MA = MF.
Mà MA vuông góc với ∆ tại A nên MA là khoảng cách từ M đến ∆.
Vậy khi M thay đổi khoảng cách từ M đến F luôn bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Hoạt động 6 trang 100 Toán lớp 10 Tập 2:
Kẻ FH vuông góc với ∆ (H ∈ ∆). Đặt FH = p > 0. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm đoạn thẳng FH và F nằm trên tia Ox (Hình 56).
Lời giải:
Đọc kĩ hoạt động và thực hiện nghiên cứu lời giải theo hướng dẫn trên.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Luyện tập 3 trang 100 Toán lớp 10 Tập 2:
a)
x
=
y
2
4
;
b) x – y2 = 0.
Lời giải:
a) Ta có:
x
=
y
2
4
⇔
y
2
=
4
x
⇔
y
2
=
2
.
2
x
.
Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng chính tắc là y2 = 2 . 2x với p = 2.
b) Ta có: x – y2 = 0 ⇔ y2 = x ⇔ y2 = 2 .
1
2
x.
Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng chính tắc là y2 = 2 .
1
2
x với p =
1
2
.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
a)
x
2
64
+
y
2
64
=
1
;
b)
x
2
64
−
y
2
64
=
1
;
c)
x
2
64
+
y
2
25
=
1
;
d)
x
2
25
+
y
2
64
=
1
.
Lời giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
, trong đó a > b > 0.
Do đó, ta loại ngay đáp án b).
Ở đáp án a, ta thấy a2 = b2 = 64, do đó không thỏa mãn điều kiện.
Ở đáp án d, ta thấy a2 = 25, b2 = 64, suy ra a = 5 và b = 8 nên a < b, không thỏa mãn.
Ở đáp án c, ta có a2 = 64, b2 = 25, suy ra a = 8, b = 5 nên a > b > 0, thỏa mãn.
Vậy trong các phương trình đã cho thì phương trình ở đáp án c)
x
2
64
+
y
2
25
=
1
là phương trình chính tắc của elip.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2:
x
2
49
+
y
2
25
=
1.
Tìm tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của (E).
Lời giải:
Ta có:
x
2
49
+
y
2
25
=
1
⇔
x
2
7
2
+
y
2
5
2
=
1.
Do a > b > 0 nên elip (E) có a = 7, b = 5.
Ta có: c2 = a2 – b2 = 72 – 52 = 24, suy ra
c
=
24
=
2
6
.
Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox là A1(– 7; 0), A2(7; 0), tọa độ các giao điểm của (E) với trục Oy là B1(0; – 5), B2(0; 5) và tọa độ các tiêu điểm của E là
F
1
−
2
6
;
0
,
F
2
2
6
;
0
.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2:
10
).
Lời giải:
Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
, trong đó a > b > 0.
Elip (E) cắt trục Ox tại A1(– 5; 0), thay vào phương trình elip ta được:
−
5
2
a
2
+
0
2
b
2
=
1
⇔
a
2
=
−
5
2
⇔
a
2
=
5
2
, suy ra a = 5 (do a > 0).
Elip (E) cắt trục Oy tại
B
2
0
;
10
, thay vào phương trình elip ta được:
0
2
a
2
+
10
2
b
2
=
1
⇔
b
2
=
10
2
⇒
b
=
10
(do b > 0).
Vì 5 >
10
nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là
x
2
5
2
+
y
2
10
2
=
1
h
a
y
x
2
25
+
y
2
10
=
1
.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A1A2 = 768 800 km và B1B2 = 767 619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Lời giải:
Phương trình chính tắc của elip trên có dạng
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
, trong đó a > b > 0.
Ta có Oy là đường trung trực của A1A2 nên O là trung điểm của A1A2 nên OA2 =
A
1
A
2
2
=
768
800
2
=
384
400
.
Vì điểm A2 nằm trên trục Ox về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng 384 400 nên A2(384 800; 0).
Elip (E) cắt trục Ox tại A2(384 800; 0), thay vào phương trình elip ta được:
384
800
2
a
2
+
0
2
b
2
=
1
⇔
a
2
=
384
800
2
⇒
a
=
384
800
(do a > 0).
Lại có Ox là đường trung trực của B1B2 nên O là trung điểm của B1B2 nên OB2 =
B
1
B
2
2
=
767
619
2
=
338
309
,
5
.
Vì điểm B2 nằm trên trục Oy về phía bên trên điểm O và cách O một khoảng bằng 338309,5 nên B2(0; 338309,5).
Elip (E) cắt trục Oy tại B2(0; 338309,5), thay vào phương trình elip ta được:
0
2
a
2
+
338309
,
5
2
b
2
=
1
⇔
b
2
=
338309
,
5
2
⇒
b
=
338309
,
5
(do b > 0).
Vì 384 800 > 338309,5 nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là
x
2
384800
2
+
y
2
338309
,
5
2
=
1
.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 5 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?
a)
x
2
9
+
y
2
9
=
1
;
b)
x
2
9
−
y
2
9
=
1
;
c)
x
2
9
−
y
2
64
=
1
;
d)
x
2
64
−
y
2
9
=
1
.
Lời giải:
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
, trong đó a > 0, b > 0.
Do đó, ta loại ngay đáp án a.
Các phương trình ở các đáp án b, c, d đều là phương trình chính tắc của hypebol vì đều có dạng trên và thỏa mãn điều kiện a > 0, b > 0 với:
b) a = b = 3 > 0.
c) a = 3 > 0, b = 8 > 0.
d) a = 8 > 0, b = 3 > 0.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 6 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:
a)
x
2
9
−
y
2
16
=
1
;
b)
x
2
36
−
y
2
25
=
1
.
Lời giải:
a) Ta có:
x
2
9
−
y
2
16
=
1
⇔
x
2
3
2
−
y
2
4
2
=
1
.
Do đó hypebol trên có a = 3, b = 4 (do a > 0, b > 0).
Ta có: c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 25 = 52, suy ra c = 5.
Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol trên là F1(– 5; 0) và F2(5; 0).
b) Ta có:
x
2
36
−
y
2
25
=
1
Suy ra a2 = 36, b2 = 25.
Ta có: c2 = a2 + b2 = 36 + 25 = 61, suy ra
c
=
61
.
Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol trên là F1(–
61
; 0) và F2(
61
; 0).
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 7 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2:
N
10
;
2
nằm trên (H) và hoành độ một giao điểm của (H) đối với trục Ox bằng 3.
Lời giải:
Phương trình chính tắc của hypebol (H) có dạng
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
, trong đó a > 0, b > 0.
Hoành độ một giao điểm của (H) với trục Ox là 3, do đó tọa độ giao điểm của (H) với trục Ox là (3; 0). Thay tọa độ này vào phương trình hypebol, ta được:
3
2
a
2
−
0
2
b
2
=
1
⇔
a
2
=
3
2
⇒
a
=
3
(do a > 0).
Điểm
N
10
;
2
nằm trên (H) nên tọa độ điểm N thỏa mãn phương trình (H), khi đó ta có:
10
2
3
2
−
2
2
b
2
=
1
⇔
b
2
=
36
⇔
b
2
=
6
2
⇒
b
=
6
(do b > 0).
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là
x
2
3
2
−
y
2
6
2
=
1
h
a
y
x
2
9
−
y
2
36
=
1
.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 8 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
a) y2 = – 2x;
b) y2 = 2x;
c) x2 = – 2y;
d)
y
2
=
5
x
.
Lời giải:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng y2 = 2px (với p > 0).
a) Ta có: y2 = – 2x = 2 . (– 1)x, vì (– 1) < 0 nên đây không phải phương trình chính tắc của parabol.
b) Ta có: y2 = 2x = 2 . 1 . x, vì 1 > 0 nên đây là phương trình chính tắc của parabol với p = 1.
c) Phương trình x2 = – 2y không có dạng phương trình chính tắc của parabol nên đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.
d) Ta có:
y
2
=
5
x
=
2.
5
2
x
, vì
5
2
>
0
nên đây là phương trình chính tắc của parabol với
p
=
5
2
.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 9 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:
a)
y
2
=
5
2
x
;
b)
y
2
=
2
2
x
.
Lời giải:
a) Ta có:
y
2
=
5
2
x
=
2.
5
4
x
.
Do đó parabol trên có p =
5
4
(thỏa mãn p > 0).
Ta có:
p
2
=
5
4
2
=
5
8
.
Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là
F
5
8
;
0
và phương trình đường chuẩn là
x
+
5
8
=
0
.
b) Ta có:
y
2
=
2
2
x
=
2.
2
.
x
.
Do đó parabol trên có p =
2
(thỏa mãn p > 0).
Ta có:
p
2
=
2
2
.
Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là
F
2
2
;
0
và phương trình đường chuẩn là
x
+
2
2
=
0
.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 10 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm là F(6; 0).
Lời giải:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng y2 = 2px (với p > 0).
Tiêu điểm của parabol là F(6; 0).
Do đó,
p
2
=
6
⇔
p
=
12
.
Vậy phương trình chính tắc của parabol là y2 = 2 . 12 x hay y2 = 24x.
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 11 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Lời giải:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng y2 = 2px (với p > 0).
Vì AB = 40 và Ox là đường trung trực của đoạn AB nên khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là
40
2
=
20
.
Chiều sâu h bằng khoảng cách từ O đến AB và cũng chính bằng khoảng cách từ điểm A đến trục Oy và bằng 30.
Do đó, parabol đi qua điểm A có hoành độ là 30 (khoảng cách từ A đến trục Oy) và tung độ là 20 (khoảng cách từ A đến trục Ox) hay A(30; 20).
Thay tọa độ điểm A vào phương trình chính tắc của parabol, ta được:
202 = 2p . 30 ⇔ 60p = 400 ⇔ p =
20
3
(thỏa mãn p > 0).
Lời giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic hay, chi tiết khác: