Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 10
• Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10
• Sách giáo khoa đại số 10
• Sách giáo khoa hình học 10
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10
• Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao
• Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
• Giải Toán Lớp 10 Nâng Cao
• Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10
• Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10 Nâng Cao

Sách giải toán 10 Ôn tập cuối năm giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1 (trang 159 SGK Đại số 10):

Lời giải

b) B = {x ∈ R| 4 < x ≤ 5} = (4; 5].

A \ B = [3; 4]

R\ (A \ B) = R\ [3; 4] = (-∞; 3) ∪ (4; +∞)

Bài 2 (trang 160 SGK Đại số 10): Cho phương trình : mx² – 2x – 4m – 1 = 0

a. Chứng mình rằng với mọi giá trị của m ≠ 0 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b. Tìm giá trị của m để -1 là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại.

Lời giải

a) mx² – 2x – 4m – 1 = 0 (1)

Với m ≠ 0, ta có:

Δ’ = 1 + m.(4m + 1) = 4m² + m + 1 = (2m + 1/2)² + 3/4 > 0 với ∀ m

Hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 0.

b) x = -1 là nghiệm của phương trình (1)

⇔ m.1² – 2.(-1) – 4m – 1 = 0

⇔ -3m + 1 = 0

⇔ m = 1/3.

Vậy với m = 1/3 thì phương trình (1) nhận -1 là nghiệm.

Khi đó theo định lý Vi-et ta có: x₂ + (-1) = 2/m (x₂ là nghiệm còn lại của (1))

⇒ x₂ = 2/m + 1= 6 + 1 = 7.

Vậy nghiệm còn lại của (1) là 7.

Bài 3 (trang 160 SGK Đại số 10): Cho phương trình : x² – 4mx +9(m-1)²

a. Xem xét với các giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm ?

b. Gỉa sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức giữa x₁ và x₂ độc lập với m.

c. Xác định giá trị của m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4.

Lời giải

a) Xét: x² – 4mx + 9.(m – 1)² = 0 (1)

Δ’ = (2.m)² – 9.(m – 1)² = 4m² – 9.(m² – 2m + 1) = -5m² + 18m – 9

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0

⇔ -5m² + 18m – 9 ≥ 0

⇔ 5m² – 18m + 9 ≤ 0

⇔ (5m – 3)(m – 3) ≤ 0

⇔ 3/5 ≤ m ≤ 3.

b) + x₁ ; x₂ là hai nghiệm của (1) nên theo định lý Vi-et ta có:

+ Tìm hệ thức giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m.

Thử lại:

+ m = 1, (1) trở thành x² – 4x = 0 có hai nghiệm x = 0; x = 4 có hiệu bằng 4

+ m = 13/5, (1) trở thành có hai nghiệm x = 7,2 và x = 3,2 có hiệu bằng 4.

Vậy m = 1 hoặc m = 13/5.

Bài 4 (trang 160 SGK Đại số 10): Chứng minh rằng các bất đẳng thức :

Lời giải

a) Ta có: x⁵ – 1 = (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1)

Lại có: x – 1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ x⁵ > x⁴ > x³ > x² > x > 1

⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 < x⁴ + x³ + x² + x + 1 < x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴

hay 5 < x⁴ + x³ + x² + x + 1 < 5x⁴

⇒ 5.(x – 1) < (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) < 5x⁴.(x – 1)

hay 5.(x – 1) < x⁵ – 1 < 5x⁴.(x – 1) (đpcm)

b) x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ = x⁴.(x – y) – y⁴.(x – y)

= (x⁴ – y⁴).(x – y)

= (x² + y²)(x² – y²)(x – y)

= (x² + y²).(x + y)(x – y)(x – y)

= (x² + y²)(x + y)(x – y)2

Mà x² + y² ≥ 0; x + y ≥ 0; (x – y)2 ≥ 0

⇒ x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ ≥ 0.

c) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương và 1 ta có:

Không có giá trị nào của a, b, c thỏa mãn hệ trên nên dấu “=” của BĐT không xảy ra.

Bài 5 (trang 160 SGK Đại số 10): Giải hệ phương trình sau bằng cách đưa về hệ tam giác :

Lời giải

Nhân phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) và nhân phương trình (2) với 3 rồi trừ đi phương trình (3) ta được:

Giải hệ phương trình trên ta được x = -1; y = 2; z = -2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (-1; 2; -2)

Bài 6 (trang 160 SGK Đại số 10):

a. Xét dấu của biểu thức f(x) = 2x(x+2)-(x+2)(x+1)

b. Xét sự biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc đồ thị của các hàm số : y = 2x(x+2) ( C₁ ) và y = (x+2)(x+1)(C₂)

c. Tính các hệ số a, b, c để hàm số y = ax² + bx + c có giá trị lớn nhất bằng 8 và độ thị của nó đi qua A và B.

Lời giải

a) f(x) = 2x.(x+2) – (x+2)(x+1) = 2x² + 4x – (x² + 3x + 2) = x² + x – 2

Tam thức x² + x – 2 có hai nghiệm x₁ = -2 và x₂ = 1, hệ số a = 1 > 0.

Vậy:

+ f(x) > 0 nếu x > x₂ = 1 hoặc x < x₁ = -2, hay x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; + ∞)

+ f(x) < 0 nếu x₁ < x < x₂ hay x ∈ (-2; 1)

+ f(x) = 0 nếu x = -2 hoặc x = 1.

b)

* Hàm số y = 2x(x+2) = 2x² + 4x có đồ thị (C₁) là parabol có:

+ Tập xác định: D = R

+ Đỉnh I₁( -1; -2)

+ Trục đối xứng: x = -1

+ Giao điểm với trục tung tại gốc tọa độ.

+ Giao điểm với trục hoành tại O(0; 0) và M(-2; 0).

+ Bảng biến thiên:

* Hàm số y = (x + 2)(x+1) = x² + 3x + 2 có đồ thị (C₂) là parabol có:

+ Tập xác định D = R.

+ Đỉnh

+ Trục đối xứng: x = -3/2

+ Giao với trục tung tại D(0; 2)

+ Giao với trục hoành tại M(-2; 0) và E(-1; 0)

+ Bảng biến thiên

* Đồ thị:

* Tìm tọa độ giao điểm:

Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số:

Nhìn vào đồ thị thấy (C₁) cắt (C₂) tại A(1; 6) và B ≡ M(-2; 0)

Cách 2: Tính:

Hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là nghiệm của phương trình:

2x(x + 2) = (x + 2)(x + 1)

⇔ (x + 2).2x – (x + 2)(x + 1) = 0

⇔ (x + 2).(2x – x – 1) = 0

⇔ (x + 2).(x – 1) = 0

⇔ x = -2 hoặc x = 1.

+ x = -2 ⇒ y = 0. Ta có giao điểm B(-2; 0)

+ x = 1 ⇒ y = 6. Ta có giao điểm A(1; 6).

c)

+ Đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(1; 6) và B(-2; 0)

⇔ tọa độ A và B thỏa mãn phương trình y = ax² + bx + c

+ Ta có bảng biến thiên của hàm số y = ax² + 3x + c:

Nhận thấy y đạt giá trị lớn nhất bằng 8

Thay b = 2 + a và c = 4 – 2a vào biểu thức 4ac – b² = 32a ta được:

4.a.(4 – 2a) – (2 + a)² = 32a

⇔ 16a – 8a² – (a² + 4a + 4) = 32a

⇔ 9a² + 20a + 4 = 0

⇔ a = -2 hoặc a = -2/9.

Nếu a = -2 ⇒ b = 0, c = 8, hàm số y = -2x² + 8

Nếu a = -2/9 ⇒ b = 16/9, c = 40/9, hàm số

Bài 7 (trang 161 SGK Đại số 10): Chứng minh các hệ thức sau :

Lời giải

Bài 8 (trang 161 SGK Đại số 10): Rút gọn các biểu thức sau :

Lời giải

Bài 9 (trang 161 SGK Đại số 10): Tính :

Lời giải

Bài 10 (trang 161 SGK Đại số 10): Rút gọn :

Lời giải

Bài 11 (trang 161 SGK Đại số 10): Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có :

a. tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC

b. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC

Lời giải

Vì A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có : A + B + C = π.

a) Ta có: tan A + tan B + tan C = (tan A + tan B) + tan C

= tan (A + B). (1 – tan A.tan B) + tan C

= tan (π – C).(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C.(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C + tan A. tan B. tan C + tan C

= tan A. tan B. tan C

b) Cách 1: sin 2A + sin 2B + sin 2C

= 2. sin (A + B). cos (A – B) + 2.sin C. cos C

= 2. sin (π – C). cos (A – B) + 2.sin C. cos (π – (A + B))

= 2.sin C. cos (A – B) – 2.sin C. cos (A + B)

= 2.sin C.[cos (A – B) – cos (A + B)]

= 2.sin C. 2.sin A. sin B

= 4. sin A. sin B. sin C

Cách 2: sin 2A + sin 2B + sin 2C

= sin (2π – (2B + 2C)) + sin 2B + sin 2C

= sin (2B + 2C) + sin 2B + sin 2C

= sin 2B.cos 2C + cos2B.sin 2C + sin 2B + sin 2C

= sin 2B.(cos 2C + 1) + sin 2C.(cos 2B + 1)

= 2.sinB.cosB.2sin2C + 2.sinC.cosC.2sin2B

= 4.sinB.sinC. (sinC.cosB + sinB.cosC)

= 4.sinB.sinC.sin(B + C)

= 4.sinB.sinC.sin(π – A)

= 4.sinB.sinC.sinA

Bài 12 (trang 161 SGK Đại số 10): Không sử dụng máy tính, hãy tính :

Lời giải

Ta có: sin 40º = cos 50º ; sin 45º = cos 45º ; sin 50º = cos 40º

Do đó :