Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Với Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét để chứng minh các hệ thức môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Sử dụng hệ quả của định lý Ta – let để chứng minh các hệ thức

A. Phương pháp giải

+ Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Trên các cạnh AB, AC của ∆ABC, lần lượt lấy hai điểm M, N sao . Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là giao điểm của đường thẳng AI với đường thẳng MN. Chứng minh rằng K là trung điểm của cạnh MN.

Lời giải:

Trong ∆ABC ta có:

(Định lý Ta – let đảo)

Trong ∆ABI vì MN // BC hay MK//BI nên:

 (hệ quả định lý Ta – let)

Trong ∆AIC vì MN // BC hay KN//IC nên: 

 (hệ quả định lý Ta – let)

Từ (1) và (2) suy ra: (do I là trung điểm của BC nên BI = CI)

Vậy K là trung điểm của MN.

Câu 2: Cho ∆ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự các điểm B’, C’ và H’ (Hình 16)

a. Chứng minh rằng

b. Áp dụng: Cho biết và diện tích ∆ABC là 67,5cm². Tính diện tích ∆AB’C’.

Lời giải:

a. Xét ∆AHB có B’H’ // BC (gt) hay B’H’ // BH

Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có:  

Xét ∆ABC có BC // B’C’ (gt)

Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có:

Từ (1) và (2) suy ra: – đpcm.

b. Ta có:

Câu 3: Hình thang ABCD (AB // CD) có các đường chéo cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự tại M và N.

a. Chứng minh rằng OM = ON.

b. Một đường thẳng đi qua O cắt hai đáy AB và CD thứ tự tại E và F. Biết tỉ số , hãy tính tỉ số

.

Lời giải:

a. Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét, ta lần lượt xét với:

– Trong ∆ADC, vì MO // CD(gt) nên:

–  Trong ∆ABC, vì NO // AB (gt) nên:

– Trong ∆BCD, vì NO // CD(gt) nên  

Từ (1), (2), (3) suy ra: , đpcm.

b. Trong ∆OFC vì AB // CD hay AE//FC nên  (hệ quả định lý Ta – let)

Trong ∆OFD vì AB // CD hay BE//DF nên  (hệ quả định lý Ta – let)

Từ (4) và (5) suy ra 

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Từ điểm D bất kì trên cạnh BC kẻ đường thẳng song song với AM, cắt đường thẳng AB ở E, cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh rằng: DE+DF=2AM.

Câu 2: Cho tam giác ABC có , AD là đường phân giác. Chứng minh rằng

Câu 3: Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, các tia AI, BI, CI căt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự ở D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với CI tại H và cắt tia BI tại K. Chứng minh:

Câu 4: Cho hình thang ABCD(AB//CD) có AB<CD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo, S là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên. Đường thẳng SO cắt AB, CD thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng 

Câu 5: Cho đường thẳng (d) song song cạnh BC và cắt hai cạnh AB, AC của tam giác ABC tương ứng tại D và E.

Chứng minh rằng

.

Câu 6: Cho 2 đường thẳng a và d song song nhau. Hai điểm A, B nằm trên d, M là điểm nằm ngoài hai đường thẳng a, d sao cho MA, MB tương ứng cắt a tại C và D, với C nằm giữa A, M và D nằm giữa B, M. Gọi N là giao điểm AD và BC. Đường thằng MN cắt AB, CD lần lượt tại I, J. Chứng minh rằng I là trung điểm AB, J là trung điểm CD.

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm, AD = 24cm.

Gọi E là trung điểm AB, đường thẳng DE cắt AC tại F và cắt CB kéo dài tại G.

a) Tính DE, DG, DF.

b) Chứng minh DF²=GF.EF.

c) Chứng minh hệ thức trên đúng với bất kì vị trí nào của E trên AB.