Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Với Vận dụng các trường hợp đồng dạng trong tam giác vuông chứng minh hệ thức môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Chứng minh hệ thức hình học

A. Ví dụ minh họa

Câu 1: Hình thang vuông ABCD có , AB = 6cm, CD = 12cm,, AD = 17cm. Lấy điểm E trên cạnh AD sao cho AE = 8cm.

a. Hỏi ΔABE đồng dạng với tam giác nào? Vì sao?

b. Chứng minh rằng .

Lời giải:

a. Xét hai tam giác vuông ΔABE và ΔDEC, ta có:

b. Theo kết quả câu a), ta suy ra .

Mặt khác trong ΔCDE vuông tại D, ta có: .

Khi đó:

Câu 2: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng:

Lời giải:

a. Xét hai tam giác vuông ΔAHB và ΔAHC, ta có:

b. Xét hai tam giác vuông ΔAHB và ΔACB, ta có:

c. Xét hai tam giác vuông ΔAHC và ΔACB, ta có:

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ

tại E, tại F, tại H và  tại K. Chứng minh:

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông AHB và AEC có :

b)  Xét hai tam giác vuông AKD và AFC có :

c) Vì ABCD là hình bình hành

B. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh

a) ΔABE đồng dạng ΔACF

b) AE. CB = AB. EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Câu 2: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) CMR: AE. AC = AF. AB

b) CMR: ΔAFE đồng dạng ΔACB

c) CMR: ΔFHE đồng dạng ΔBHC

d) CMR: BF. BA + CE. CA = BC²

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

c) Vẽ phân giác AD của góc A (D ∈ BC). Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và D.

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi hình chiếu của A trên CD là H, hình chiếu của A trên BC là K.

a. Chứng minh rằng .

b. Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì các tam giác AHC và AKC đồng dạng với nhau?

Câu 5: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Kẻ BH vuông góc với CM, nối DH. Vẽ HN vuông góc với DH (N thuộc BC). Chứng minh rằng:

Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn và đường cao AH. Kẻ HI vuông góc với AB và HK vuông góc với AC.

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao cho DM = 2cm. Biết góc AMB là 90⁰.

a) Chứng minh . Tính MC.

b) Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại E. Kẻ EK vuông góc với AB (K ∈ MB)

Chứng minh EA = EK.

c) Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phân giác của góc BMH.