Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Với Vận dụng tính chất đường phân giác để chứng minh các hệ thức môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Chứng minh hệ thức hình học

A. Phương pháp giải

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho ∆ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC ở D, E. Biết BD = 9cm, CE = 12cm, DE = 14cm. Điểm M nằm trên đoạn thẳng DE sao cho DM = 6cm. Chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc A.

Giải.

Theo giả thiết ta có:

Mặt khác, do DE // BC, theo định lý Ta – let:               

Từ (1), (2), suy ra: 

Câu 2: Cho ∆ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Trong ∆ABC, ta lần lượt thấy:

Khi đó nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có: 

Câu 3: Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng:

a)  DE // BC.

b) Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh rằng DI = IE.

c) Tính độ dài DE biết BC = 30cm, AM = 10cm. 

Lời giải:

Với ∆AMB có MD là đường phân giác, suy ra: 

Với ∆AMC có ME là đường phân giác, suy ra: 

Theo giả thiết MB = MC (3)

Từ (1). (2) và (3) suy ra

b) Xét ∆AMB có DI//BC(DE//BC)

 ( hệ quả định lý Ta- let) (4)

   Xét ∆AMC có IE//MC (DE // BC) 

( hệ quả và do AM là trung tuyến của ∆ABC nên BM = CM)  (5)

Từ (4) và (5)

c) Đặt DE = x. 

Trong ∆DEM, vì MD, ME là tia phân giác của 2 góc kề bù

Mà DI = IE(cmt)  ⇒MI là trung tuyến 

Trong ∆ABM, DE//BC  hay DI//BM ta có:

Vậy, ta được DE = 12cm.

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác góc AMC cắt AC tại H. Đường phân giác góc AMB cắt AB tại K. Chứng minh rằng HK//BC.

Câu 2: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác AD. Trên tia đối của tia BA, lấy điểm F sao cho BE = BD và trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = CD.

a) Chứng minh EF//BC

b) Chứng minh ED là phân giác của góc BEF và FD là phân giác của góc CFE.

Câu 3: Cho ∆ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC ở D, E. Biết BD = 9cm, CE = 12cm, DE = 14cm. Điểm M nằm trên đoạn thẳng DE sao cho DM = 6cm. Chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc A.

Câu 4: Cho ∆ABC cân tại A, có AB = a, BC = b. Đường phân giác góc B cắt AC tại M, đường phân giác góc C cắt AB tại N.

a. Chứng minh rằng MN // BC.

b. Tính độ dài đoạn MN theo a, b.

Câu 5: Đường trung tuyến BK và đường phân giác CD của ∆ABC  cắt nhau tại P. Chứng minh rằng .

Câu 6: Cho ∆ABC cân tại A có BM, CN là các đường phân giác. Chứng minh rằng

Câu 7: Cho ∆ABC cân tại A có . Chứng minh .

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc ; vẽ phân giác trong BI, vẽ góc  về phía trong tam giác (H∈AB). Vẽ phân giác CK của góc HCB(K∈AB). Chứng minh:

.