Bất đẳng thức –

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề “a c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a с < d. Chẳng hạn, ta đã biết a a < c. (tính chất bắc cầu). a < b, c tuỳ ý => a + c C < d.3. *. minh rằng a a – b < 0.3. Tính chất của bất đẳng thứcNhư vậy để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a - b < 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sauTính chất Tên gọiĐiều kiện Nội dungCộng hai vế của bất đẳngα 0 a ac < bc Nhân hai vế của bất đẳng thức với một sốc < 0 a ac > bc.4 – b và – – + – b + 4| Cộng hai bất đảng thứccùng chiều Nhân hai bất đẳng thức α > 0, ε > 0 a 0 α > 0 α < β « » να - Νb Khai căn hai vế của một bấtα < β « » α < Ν5 đăng thức然 4. Nêu Ví dụ áp dụng một trong các tính chất trên.CHÚ Ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b). Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.II – BẤT ĐẢNG THỨC GIỦA TRUNG BìNH CộNG VẢ TRUNG BìNH NHÂN (BÂT ĐẢNG THỨC CÔ-SI) 1. Bất đẳng thức Cô-si” ĐINH LíTrung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình Cộng của chúng.Nabi < " ", να, b Σ0. (1)Đẳng thức Nab = “T りxảy ra khi và chỉ khi a = b.Chứng minhTa có al---(a+b-25-6-5° = 0. a + b2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (Na - Nb)” = 0, tức là khi và chỉ khi a = b.Vậy Vab <2. Các hệ quảHÊ QUẢ 1Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.a + - 2, Wa > 0.(*) Augustin Louis – Cauchy, 1789 – 1857. 76HÊ QUẢ 2 Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớnnhất khi và chỉ khi x = y.Chứng minh. ĐặtS = x + y. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có2 x + y S S Vxy < = 0, x > x, x > -xlx| < a co-a < x < a|x| > a <>x aal-Iblsla + bi < (al-bVí dụ. Cho x = [-2: 0]. Chứng minh rằng |\ + || < 1. Giải A e L-2 : 0) => -2 < x < 0 -> -2 + 1 < x + 1 < 0 + 1 -> -l six + 1 < 1= x + 1 < 1. Bời tộp1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x ? a) 8 x > 4x; b) 4x > 8x : c) 8x > 4x; d) 8 + x > 4 + x. 2. Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất ? A = : B = + 1 . C = -1 : D = . 5 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. a) Chứng minh (b-c)” < a”; b) Từ đó suy ra a’ + b + c < 2 (ab + bc + ca). 4. Chứng minh rằng +y x*y + vyo, vix > 0, νy > 0. 5. Chứng minh rằng a’ – vs – vs -1 – 0, was 0. Hướng dẫn. Đạt Nix = 1, xét hai trường hợp 0 < x < 1; x > 1. 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm Avà B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định toạ độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.CHỉ DÂN L! CH SỦ(Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857)Cô-si là nhà toán học Pháp. Ông nghiên cứu nhiều lĩnh vực Toán học khác nhau, công bố hơn 800 công trình về Số học, Lí thuyết số, Đại số, Giải tích toán học, Phương trình vị phân, Cơ học lí thuyết, Cơ học thiên thể, Vật lí toán.Các công trình của Cô-si cho thấy rõ nhược điểm của việc dựa vào trực giác hình học để suy ra các kết quả tế nhị của Giải tích. Ông định nghĩa một cách chính xác các khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số. Ông xây dựng một cách chặt chẽ. Lí thuyết hội tụ của chuỗi, đưa ra khái niệm bán kính hội tụ.79 Ông định nghĩa tích phân là giới hạn của các tổng tích phân và chứng minh sự tồn tại tích phân của các hàm số liên tục. Ông phát triển cơ sở của Lí thuyết hàm số biến số phức. Về Hình học, về Đại số, về Lí thuyết số, về Cơ học, về Quang học, về Thiên văn học, Cô-si đều có những cống hiến lớn lao.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bất đẳng thức

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!