Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức –

Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “a > b”, “a < b", "a > b”, “a < b" được gọi là những bất đẳng thức. Cũng như các mệnh đề lôgic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng. Dưới đây là một số tính chất đã biết của bất đẳng thức.2.Nếu A, B là những biểu thức chứa biến thì "A > B” là một mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện nào đó của các biến), nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến A > B đúng với tất cả các giá trị của các biến (thoả mãn điều kiện đó). Từ nay, ta quy ước : Khi nói ta có bất đẳng thức A > B (trong đó A và B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc R. Ví dụ 2. Chứng minh rằng xo> 2(x-1). Giải x” >2(\ -1) → x”>2x-2 → A” –2.x+2>0.0 < 1 + (1-x) چه 0 < 1 + 1 + x - 2 x «چه Hiển nhiên (x - 1)° + 1 > 0 với mọix nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. L] Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì(b + c – a)(C + a – b)(a + b – C) < abc.Giải. Ta có các bất đẳng thức hiển nhiên sau:a-(b-c)=(a-b+c)(a + b-c)bo = b-(c-a)=(b-c+a)(b+c-a) co > co-(a-b = c – a + b)(c+a-b). Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên tất cả các vế của các bất đẳng thức trên đều dương. Nhân các vế tương ứng của ba bất đẳng thức trên, ta được> (b + c – α) (c + ( – bica + bー ε).Lấy căn bậc hai của hai vế, ta được bất đẳng thức cần chứng minh. DBất đẳng thức về giá trị tuyệt đốiTừ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau đây.-la| < a < |a| với mọi a = R. |x| < α a <=>x a (với a > 0).105Sau đây là hai bất đẳng thức quan trọng khác về giá trị tuyệt đối (viết dưới dạng bất đẳng thức kép).|al-|b| < |a + b | < |a|+|b|(với mọi a, b = R).Ta chứng minh bất đẳng thức || a+b | < |a|+|b|. Thật vậyn+ + → (n+1) +2n+1 ao + 2ab + b < a+ 2||ab| + bo -> abs 0, b > 0 ta có **> Nabi.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.Nói cách khác, trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.{1\ Người – 12 – رed = یر+… Lر۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔106si (Augustin-Louis Cauchy, 1789 – 1857).Chứng minh. Với a > 0, b > 0, ta có “t” – Vab = (a + b -2 lap) = (Na — V5) > 0.2 Do đó ± > Nabi. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (Na – Nb)” = 0, tức là a = b. D|H2]. Trong hình 41, cho AH = a, BH = b. Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b. Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Của a và b, Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương bất kì thì a+b b+c c+a – + -hGiải. Ta cóa+b b+c c+a a b b c c – + – + – — – + – + – + – + – C b o c α α b (; t – 1 – + – 1+1 – + – 1 + 1 – + – b α c. b C. 22; +2, 、=6 O bα c. b C. HÊ QUẢNếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.Chứng minh. Giả sử hai số dương x và y có tổng x + y = S không đổi. Khi đó, S x+y> Ny nên xy < \. Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y.2 Do đó, tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi x = y.107 108Giả sử hai số dương Y và y có tích xy = P không đổi. Khi đóx+y Nxy = NP nên x+y> 2VP.2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 NP khi và chỉ khi x=y. OỨNG DUNGTrong tất cả các hình chữ nhật có cùng Chu Vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có Chu Vi nhỏ nhất.Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + Với \> 0. Giải. Do Y>0 nên ta có f(x)=x + 22, = 2N3 vàf(x) = == x = V3. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + với x > 0 là f(N3)= 2N3. b) Đối với ba số không âmTa đã biết là trung bình cộng của ba số a, b, c, Ta gọi Wabc làα + b + c 3trung bình nhân của ba số đó. Người ta cũng chứng minh được kết quả tương tự định lí trên cho trường hợp ba số không âm.Với mọi a > 0, b > 0, c> 0, ta có tte Vab.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.Nói cách khác, trung bình Cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của ba số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau.1.2.3.4.Ví dụ 6. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì (a + b + C) 〔 >9. a b c Khi nào xảy ra đẳng thức ? Giải. Vì a, b, c là ba số dương nêna + b + c >3 Wabe (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c) và부부부 는 (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 a b. c. abc b. c.Do đó (a+b+c(t)=3 ahead = 9. α b c abcα = b = c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi + 1 1 1a bic Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. O|H3. Phát biểu kết quả tương tự hệ quả ở phần a) cho trường hợp ba số dương.Câu hủi và bài tậpChứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì 1. 嵩 (1Chứng minh rằng nửa chu vi của một tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. Chứng minh rằng a° + b° + c” > ab+ bC + ca với mọi số thực a, b, c, Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Hãy so sánh các kết quả sau đây: a) N2000 + N2005 và N2002 + N2003 (không dùng bảng số hoặc máy tính); b) Na + 2 + Na + 4 và Na + Na + 6 (a > 0)..4 ܒ 5. Chứng minh rằng, nếu a>0 và b>0 thì 1 + }> α b α + b6. Chứng minh rằng, nếu ai > 0 và b > 0 thì a° + b’ = ab(a + b). Đẳng thức xảy ra khi nào ?7.a) Chứng minh rằng a° + ab+ b° > 0 với mọi số thực a, b,b) Chứng minh rằng với hai số thực a, b tuỳ ý, ta có a“ + b“ > ab + abo.8.Chứng minh rằng, nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì а“ + b° + c* < 2(ab + bc + ca). 9. Chứng minh rằng, nếu a>0 và b>0 thìa + b a + bo a + bo – x – 3 -.2 2 2 – – – y 10. a) Chứng minh rằng, nếu x > y > 0 thì — – > 2 : (7b). Nếu a, b là hai số trái dấu thì 1.110Bài đọc thêm/BẤT ĐẢNG THỨC BU-NH-A CỐP-XK10) محمے 1. Bất đẳng thức Bu-nhĩ-a-cốp-xki đối với hai cặp số thực Với hai cặp số thực (a,b) và (x,y) ta có (ax+by’s (a+b)(x+y). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay= bY.Chứng minh. Dễ dàng chứng minh đẳng thức sau:(a + by) + (ay-bo = (a + b*)(‘ +y). Mặt khác, do (ay – bo”=0 nên(αν + by’ + (ay- bν)” Σ» (αν + by)* Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng mình. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay + bx = 0, tức là ay= bY.Chú ý. Khi \y #0, điều kiệnay = bY Còn được viết dưới dạngt2. Bất đẳng thức Bu-nhĩ-a-cốp-xki đối với hai bộ ba số thực Có thể chứng minh kết quả sau: Với hai bộ ba số thực (a1, (12, a3),(b, b2, ba), ta có(a, b, + aab) + a3b3)* 9.112

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!