Biến ngẫu nhiên rời rạc –

Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 1. Gieo đồng xu 5 lần liên tiếp. Kí hiệu X là số lần xuất hiện mặt ngửa. Đại lượng X có các đặc điểm sau: Giá trị của X là một số thuộc tập {0, 1,2,3,4,5}; Giá trị của X là ngẫu nhiên, không đoán trước được. Ta nói X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Một cách khái quát: Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được.2. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị { \, x2, …, x, }… Để hiểu rõ hơn về X, ta thường quan tâm đến xác suất để X nhận giá trị A, tức là các số P(X= \%) = p với k = 1,2,…, n.Các thông tin về X như vậy được trình bày dưới dạng bảng sau đây:Aའོ། ། ཅི་2…་ ༡༩ | .r | P | גP P\ \ P |Baingo 1Bảng 1 được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X. Người ta chứng minh được rằng trong bảng 1, tổng các số ở dòng thứ hai bằng P + p + … + p = 1. Ví dụ 2. Số vụ vi phạm luật giao thông trên đoạn đường A vào tối thứ bảy hàng tuần là một biến ngẫu nhiên rời rạc X. Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau :v 0 ། 1 2345P 0, 0.2 0.3 0.2 0, 0,Baing, 2 Nhờ bảng 2 ta biết được chẳng hạn xác suất để tối thứ bảy trên đoạn đường A không có vụ vi phạm luật giao thông nào là 0,1 và xác suất để xảy ra nhiều nhất một vụ vi phạm luật giao thông là 0,1 + 0,2 = 0.3.н1 Tính xác suất để tối thứ bảy trên đoạn đường A : a) Có hai vụ vi phạm luật giao thông,b) Có nhiều hơn ba vụ vi phạm luật giao thông.Ví dụ 3. Một túi đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi X là số viên bị xanh trong 3 viên bi được chọn ra. Rõ ràng X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị trong tập {0, 1, 2,3}.873.Để lập bảng phân bố xác suất của X ta phải tính các xác suất P(X=0), P(X= 1),P(X= 2) và P(X= 3).Số trường hợp có thể là Cỉ) = 120.Ta có P(X=0) là xác suất chọn được cả 3 viên bi đỏ. Số cách chọn 3 viên bi- 20 l.120 6Ta có P(X= 1) là Xác suất để chọn được 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Ta cóC = 4 cách chọn 1 viên bi xanh và C = 15 cách chọn 2 viên bi đỏ. Theoquy tắc nhân, ta có 4.15 = 60 cách chọn 1 viên bị xanh và 2 viên bi đỏ. Vậy 60 1P(X = 1) = i = i Dđỏ là C} = 20. Vậy P(X=0)Η2 Hãy tính P(X= 2) và P(X=3) rồi lập bảng phân bố xác suất của X.Kì vọngĐINH NGHIA Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là { \1, V2, …, \,}. Kì vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số được tính theo công thứcE(X) = AP + tap, + r + , p, = X Ap, , =1 όdό P = P(X = x, ), (i = 1, 2, …, η).Ý nghĩa: E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của X. Vì thế kì vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X. Nhận xét. Kì vọng của X không nhất thiết thuộc tập các giá trị của X. Ví dụ 4. Gọi X là Số vụ vi phạm luật giao thông trong đêm thứ bảy ở đoạn đường A nói trong ví dụ 2. Tính E(X).GiaiiTa có E(X) = 0, 0,1 + 1.02 + 2. 0,3 + 3.02 + 4, 0,1 + 5 . 0,1 = 23.4.(Như vậy ở đoạn đường A mỗi tối thứ bảy có trung bình 2.3 vụ vi phạm luật giao thông). OPhương sai và độ lệch chuẩn a) Phương sai ĐINH NGHIA Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {\1, x2, … \,}. Phương sai của X, kí hiệu là V(X), là một số được tính theo công thức V(X) = (x, — u)°p, + (x, — u)°p, + … + (x, — Au)°p, -1 ở đó p = P(X = \;) (i= 1,2,…, n) và u = E(X).Ý nghĩa : Phương sai là một số không âm. Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn.b) Độ lệch chuẩn ĐINH NGHIA Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là ơ(X), được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là O(X) = VV(X).Ví dụ 5. Gọi Xlà số vụ vi phạm luật giao thông vào tối thứ bảy nói trong ví dụ 2.Tính phương sai và độ lệch chuẩn của X.GidiTừ ví dụ 4 ta có u = E(X) = 2.3. Từ công thức tính phương sai, ta cóV(X) = (0 — 2,3)°. 0,1 + (1 — 2,3)°. 0,2 + (2 – 2,3)°. 0,3 + (3 — 2,3)°. 0,2+ (4-2,3), 0.1 + (5-2,3), 0.1 = 2,01.Độ lệch chuẩn là ơ(X) = N2,01 s: 1.418 D894. 3.4. 546.CHÚ Ý Có thể chứng minh được rằng 2 2 V(X) =XCxí p, — Au°. (1) = Trong thực hành, ta thường dùng công thức (1) để tính phương sai.Ví dụ 6. Dùng công thức (1) để tính phương sai của số vụ vi phạm luật giao thông trong ví dụ 2, ta cóV(X) = 0°. 0,1 + 1°. 0,2 + 2°. 0,3 + 3°.0,2 + 4°. 0,1 + 5°.0,1 — (2,3)° = 2,01.Câu hủi và bài tập. Một cuộc điều tra được tiến hành như sau: Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinhtrên đường và hỏi xem gia đình bạn đó có bao nhiêu người. Gọi X là số người trong gia đình bạn học sinh đó. Hỏi X có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không ? Vì sao ?. Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con. Gọi X là số contrai trong gia đình đó. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X (giả thiết rằng xác suất sinh con trai là 0,5).. Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc Xcó bảng phân bố xác suất như sau 😡 o 2 3 4 5 p 0.15 02 || 0.3 02 || 0 || 0.05Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực. a) Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy. b) Tính xác suất để xảy ra ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy. Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian 1 phút vào buổi trưa (từ 12 giờ đến 13 giờ) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau :v 0 1 2345P 0.3 0.2 0, 15 0, 15 0,1 0,1Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12 giờ 30 phút đến 12 giờ 31 phút có nhiều hơn 2 cuộc gọi.47. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trongbài tập 44 (tính chính xác đến hàng phần trăm).48. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trongbài tập 45 (tính chính xác đến hàng phần trăm).49. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trongbài tập 46 (tính chính xác đến hàng phần trăm).LIÊN HÊ GIỦA BIÊN NGẤU NHIÊN RỞ| RAC VA THỐNG KÊXét dấu hiệu XVới tập giá trị hữu hạn { \1, x2, …, \,}. Giả sử trên một mẫu điều tra kích thước N về dấu hiệu X ta thấy có n số liệu có giá trị \; (i= 1,2,…, n), tức làgiá trị \, có tần số n,… Tần suất của giá trị \, là f. -Khi đó bảng phân bố tần suất của mẫu số liệu trên là Giá trị x. 1 2 – – ہ/ا۔ Tần suấtf f f。 – – -5 thể crị dấu hiêu X nói trên là môt biế … . . ܠ ܐ ܢܝ ܢܝGiả sử phân bố xác suất của Xlà || || ۹ || ۰ || 2 ام || || ۲ || X | P. p. p. p,Chúng ta đã biết rằng tần suất fi là một giá trị gần đúng của xác suất pi. Do đóbảng phân bố tần suất của mẫu số liệu cho ta một “hình ảnh” gần đúng về bảng phân bố xác suất của X.91Số trung bình của mẫu số liệu là X = ну =ΣΑ, “і — ΣΑ, f, .Vì f sp, nên A = X__\; /; s:X_\;p, = E(X).=1 Như vậy, số trung bình của mẫu số liệu là một giá trị gần đúng của kì vọng của X. Tương tự, phương sai của mẫu số liệu là7 ܢΣη, (α, — Y)”s = H –Σα, της Σα, μ’ Ρ = V(Χ) =1 =1ở đó u = E(X). Vậy phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là các giá trị gần đúng của phương sai và độ lệch chuẩn của X.Luyệm tập50. Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm trẻ gồm 6 trai và 4 gái. Gọi X là số bé gái trong số 3 đứa trẻ được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của X. 51. Số đơn đặt hàng đến trong một ngày ở một công ti vận tải là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau : SS S SS0SS 0 S SiS0SSiiiiiiS P o 0.2 0.4 0, 0, 0, a) Tính xác suất để số đơn đặt hàng thuộc đoạn [l:4]. b) Tính xác suất để có ít nhất 4 đơn đặt hàng đến công ti đó trong một ngày.c) Tính số đơn đặt hàng trung bình đến công ti đó trong một ngày.5 2. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau: x 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 | P 0010050, 0,140,180,250,150,0700400 a) Tính P(2 5).92Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm trẻ gồm 6 trai và 4 gái. Gọi X là số bé gái trong số 3 đứa trẻ được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của X.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Biến ngẫu nhiên rời rạc

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!