Các hàm số lượng giác –

Các hàm số lượng giác thường được dùng để mô tả những hiện tượng thay đổi một cách tuần hoàn hay gặp trong thực tiễn, khoa học và kĩ thuật. Trong bài này, ta tìm hiểu các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.1. Các hàm số y = sinx và y = cosx |H1 Trên hình 11, hãy chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại số bằng sinx, bằng cosx. Tĩnh sinਨੂੰ -cos( cost.a) Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực Ý với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng \ được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x . Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực Y với côsin của góc lượng giác có số đo rađịan bằng A được gọi là hàm số côsin, kí hiệu làCOSA.Hình / , /Tập xác định của các hàm số y = sinx, y = cosx là R. Do đó các hàm số sin và côsin được viết là sin : TR –> R cos : R — » IR A H» sinx A COSA, Nhận xét Hàm số y = sin \ là một hàm số lẻ vì sin(−x) = −sinx với mọi x thuộc R. н2] Tại sao có thể khẳng định hàm số y = cos \ là một hàm số chẩn ? b) Tính chất tuần hoàn của các hàm số y = sinx và y = cosx Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, số k21 thoả mãn sin(\ + K27t) = Sin_Y với mọi x. Ngược lại, có thể chứng minh rằng số Tsao chosin(\ + T) = sinx với mọi x phải có dạng T= k2ft, k là một số nguyên. Rõ ràng, trong các số dạng k2ft (k e Z), số dương nhỏ nhất là 27t. Vậy đối với hàm số y = sin \, số T = 2It là số dương nhỏ nhất thoả mãnsin(\ + T) = Sin_X. Với mọi \.Hàm số y = cosx cũng có tính chất tương tự. Ta nói hai hàm số đó là những hàm số tuẩn hoàn với chu kì 2/t. Từ tính chất tuần hoàn với chu kì 27t, ta thấy khi biết giá trị các hàm số y = sinx và y = cosx trên một đoạn có độ dài 2rt (chẳng hạn đoạn [0: 27t] hay đoạn [–Tt: 7t]) thì ta tính được giá trị của chúng tại mọi X. (Cứ mỗi khi biến số được cộng thêm 2rt thì giá trị của các hàm số đó lại trở về như cũ; điều này giải thích từ “tuần hoàn”). c) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sinx Do hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 27t nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên một đoạn có độ dài 2rt, chẳng hạn trên đoạn [–Tt: T[]. • Chiều biến thiên (xem các hình 1.2, 1.3, 1,4) Cho x = (OA, OM) tăng từ –Tt đến II, tức là cho M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương một vòng xuất phát từ A’ và quan sát sự thay đổi của điểm K (K là hình chiếu của M trên trục sin, OK = sinx), ta thấy: – Khi Y tăng từ –Tt đến -흥 thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ A’ đến B’ và điểm K chạy dọc trục sin từ O đến B’. Do đó OK, tức là sinx, giảm từ 0 đến +1 (h. 1.2).Hình 1.2 }}ình 1-3 – Khi Y tăng từ – đến 흥 thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giáctheo chiều dương từ B’ đến B và điểm K chạy dọc trục sin từ B’ đến B. Do đó OK, tức là sinx, tăng từ -1 đến 1 (h. 13).冗 2. trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B đến A’ và điểm K chạy dọc trục– Khi Y tăng từ 3 đến Tt thì điểm M chạysin từ B đến O. Do đó OK, tức là sinx, giảm từ 1 đến 0 (h. 14). Vậy ta có bảng biến thiên của hàm số y = sinx trên đoạn [–Tt: 7t] như sau:y = sinx• Đồ thị – Khi vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [-ft; “t], ta nên để ý rằng: Hàm số y = sinx là một hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn 10: Tt]. Trên đoạn [0; ft), đồ thị của hàm số y = sinx (h. 1.5) đi qua các điểm có toạ độ (x : y) trong bảng sau:0 л л Tt 2īt 3T ST 6 4. 3. 2 3. 4. 6y = sinx || 0 l N2. N3 N3 v2. 1. O 2 2 2 2 2 2(s 0,71) (s 0.87) (s. 0.87) (s 0,71) T 6. 2F/ình 1.5 Phần đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; It]cùng với hình đối xứng của nó qua gốc O lập thành đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [-ft; Tt](h.1.6), – Tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2rt, 47t, 67t,… thì được toàn bộ đồ thị hàm số y = sinx. Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin (h, 1.6),y l & s t s2 x 2. / 3n -N 2 —— Hình 1.6 Nhận xét1) Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1]. Ta nói tập giá trị của hàm số y = sinx là đoạn [-l:1].7L Tt. 2 5). Từ đó, do tính chất tuần hoàn với chu kì 2rt, hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảngTI ———2). Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng |-|H3. Hỏi khẳng định sau đây có đúng không? Vì sao ?3π.Hàm số y = sin_\ nghịch biến trên khoảngvà nghịch biến trên mỗi khoảng프-o-프 — 2 + k2nt: |, k e Z. d) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cosxTa có thể tiến hành khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = cosx tương tự như đã làm đối với hàm số y = sinx trên đây. Tuy nhiên, ta nhận thấy cos x = sin x + s với mọi x, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx 巫 2 được gọi là một đường hình sin) (h. 1.7).sang trái một đoạn có độ dài $, ta được đồ thị hàm số y = cosx (nó cũngy II———————————– I ا T বে পর О х 7. 2. ༈ 2 2n-1 Hình 1.7Căn cứ vào đồ thị của hàm số y = cosx, ta lập được bảng biến thiên của hàm số đó trên đoạn [–Tt: 7t]:一T O 冗 1y = cos x – って ב-ר1 -1Hãy kiểm nghiệm lại bảng biến thiên trên bằng cách quan sát chuyển động của điểm H trên trục côsin, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên trục côsin, khi điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương một vòng xuất phát từ điểm A’ (h, 1.8).Nhận xét 1). Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1]. Ta nói tập giá trị của hàm sốy = cosx là đoạn [-1; 1]. 2) Do hàm số y = cos \ là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số y = cosx nhận trục tung làm trục đối xứng.Hình 1 & 2.3). Hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng (–Tt ; 0). Từ đó do tính chất tuần hoàn với chu kì 2It, hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (—TI + k2TI ; k27 t), k e Z.|H5. Hỏi khẳng định sau đây có đúng không ? Vì sao ?Hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng (0: It) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2л : л + k2.л), k e= Z.GHINHỞHàm số y = sinx Hàm số y = cosx – Có tập xác định là R; – Có tập xác định là R: – Có tập giá trị là {-1 ; 1]; – Có tập giá trị là {-1 ; 1]; – Là hàm số lẻ: – Là hàm số chẵn; – Là hàm số tuần hoàn với chu || – Là hàm số tuần hoàn với chu kì 27 t ; ki 2л ; – Đồng biến trên mỗi khoảng || – Đồng biến trên mỗi khoảng– k2t ; + k2 TIL (-π + K2π : K2π.)và nghịch biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng T 3爪 (k2л : л + k2.л), k e= Z ; — k2_ke2 2- Có đồ thị là một đường hình sin. | – Có đồ thị là một đường hình sin.Các hàm số y = tanx và y = cotix a) Định nghĩa• Với mỗi số thực Ý mà cosx + 0, tức là Y Z + kft (k e Z), ta xác định đượcsố thực tan.Y = \o. Đặt9 = R; + Kπk E 다. COSA 2 Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x = 90, với số thực tan x = 器được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tan X.Vậy hàm số y = tan. Y có tập xác địnhtrục côlang 1B S 9) ; ta viết 7/ tan : 9D -> TR A H-> tan A. A” Ο A • Với mỗi số thực x mà sin_x = 0, tức là g? B’ E x z kft (k e Z), ta xác định được số thực き cotx = Si, Đạt 9),= R\{kat|k e Z}. Hình 1.9 Sl Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x = 902 với số thực cot x =được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cot.\, Vậy hàm số y = cotix có tập xác định là 902 ; ta viếtcot : 9), –> RA. H. COLA . Trên hình 19 ta có (OA, OM)=x, tanx = AT, cotx = BS. Nhận xét 1) Hàm số y = tanx là một hàm số lẻ vì nếu x = 90, thì –x = 9) và tan(-ix) = l-tanx . 2). Hàm số y = cotix cũng là một hàm số lẻ vì nếu x = 902 thì –x = 902 và cot(-x) =-cot.r. b) Tính chất tuần hoàn Có thể chứng minh rằng T= Tt là số dương nhỏ nhất thoả mãn tan(\ + T) = tanx với mọi x = 901,và T = ft cũng là số dương nhỏ nhất thoả mãn cot(x+ T) = cot Y với mọi x = 902.Ta nói các hàm số y = tan X và y = Cotix là những hàm số tuần hoàn với chu kì Tt.c) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tanx Do tính chất tuần hoàn với chu kì Tt của hàm số y = tanx, ta chỉ cần khảo sát II. It 2 2 phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải các đoạn có độ dài Tt, 27t, 37t,… thì được toàn bộ đồ thị của hàm số y = tan X. • Chiều biến thiên (h, 1.10):sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó trên khoảng c- 901, rồi tịnh tiếnKhi cho x = (OA, OM) tăng từ -흥 đến 홍(không kể -흥 Và 홍) thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B’ đến B (không kể B” và B). Khi đó điểm T thuộc trục tang At sao cho AT = tanx chạy dọc theo Af suốt từ dưới lên trên, nên tan Y tăng từ –ơo đến +ơo (qua giá trị 0 khi x = 0). Hình / 10Tại sao có thể khẳng định hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng —— e Z ? • Đồ thị: Đồ thị của hàm số y = tan. Y có dạng như ở hình 1.11.y; 2Hình / , // Nhận xét 1) Khi Y thay đổi, hàm số y = tanx nhận mọi giá trị thực. Ta nói tập giá trị của hàm số y = tan Y là R. 2). Vì hàm số y = tan Y là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.3). Hàm số y = tan X không xác định tại x = + &ft (& = Z). Với mỗi k = Z, đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm + Kπ : o gọi là một đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = tan. Y. (Từ “tiệm cận” có nghĩa là ngày càng gần. Chẳng hạn nói đường thẳng x = là một đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = tan Y nhằm diễn tả tính chất: điểm M trên đồ thị có hoành độ càng 2 d) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cOtx Hàm số y = cot\ xác định trên 902 = R\{kT | k = Z} là một hàm số tuần hoàngần 3 thì M càng gần đường thẳng x = 흥)với chu kì Tt. Ta có thể khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó tương tự như đã làm đối với hàm số y = tan. Y. Đồ thị của hàm số y = cotix có dạng như hình 1.12. Nó nhận mỗi đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm (&It:0), k = Z làm một đường tiệm cận.Hình 1,123.GHINHỞHàm số y = tan_\Hàm số y = cot \- Có tập xác định là 9,= R\; + kr || k ez) : – Có tập giá trị là R; – Là hàm số lẻ: -Là hàm số tuần hoàn với chu kì Tt: – Đồng biến trên mỗi khoảng 兀 ਨੂੰ +kਨੂੰk e Z ; – Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = 홍- kft (k e Z) làm một đường tiệm cận.- Có tập xác định là Φ2 = R \ {kπ k = Ζ): – Có tập giá trị là R; – Là hàm số lẻ: -Là hàm số tuần hoàn với chu kì Tt: – Nghịch biến trên mỗi khoảng (Кл ; л + kл), k e= Z ;- Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = kT (k e Z) làm một đường tiệm cận.3. Về khái niệm hàm số tuần hoànCác hàm số y = sinx, y = cos \ là những hàm số tuần hoàn với chu kì 2/t; các hàm số y = tanx, y = cot \ là những hàm số tuần hoàn với chu kì Tt.Một cách tổng quát:Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp 90 được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số Tz 0 sao cho với mọi x = 90 ta có x +T = 90, Y – T’ = 90 và f(x+ T) = {{\). Nếu có số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.Ví dụ. Các hàm số y = 2sin 2Y (đồ thị ở hình 1.13), hàm số y = sin (đồ thị ở hình 1.14), và hàm số có đồ thị ở hình 1.15 là những hàm số tuần hoàn.//ình 1.13 12.3.4.5.-5-4-3-2 -10 1 2 3 4 5 xHình 1.14 H//5 Câu hủi và bài tậpTìm tập xác định của mỗi hàm số sau:COSAa) y = V3 – sinx b)y=|1 – sin x Л. c) y = 1 + cos x dy-tan(x + i).Xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau: a) y = -2sin x : b) y = 3sin x -2; c) y = sin x — cos x ; d) y = sin cosx+ tanx.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: aly-2cos(x + i +3. b)y = V1 — sin(x*) — 1 ;c) y’ = 4sin Vx. Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos \, h(x) = tanx và các khoảng37t 冗エ 31爪 33m 452m 601冗 J = (-器器}ム- 4- (*) Hỏi hàm số nào trong ba hàm số đó đồng biến trên khoảng J, ? Trên khoảng J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng).Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao.a) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch biến. 6.b) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin”Y đồng biến thì hàm số y = cos”\ nghịch biến.Cho hàm số y = f(x) = 2sin 2\. a) Chứng minh rằng với số nguyên k tuỳ ý, luôn có {x+ kft) = f(x) với mọi x. b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2x trên đoạn 흥c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin 2Y.DAO ĐÔNG ĐIÊU HOẢNhiều hiện tượng tự nhiên thay đổi có tính chất tuần hoàn (lặp đi lặp lại sau khoảngthời gian xác định) như:– Chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời,- Chuyển động của guồng nước quay,– Chuyển động của quả lắc đồng hổ,- Sự biến thiên của cường độ dòng điện xoay chiều,…Hiện tượng tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hoà được mô tả bởi hàm số y =Asin (a + a) + B,trong đó A, B, ro và a là những hằng số; A và ro khác 0. Đó là hàm số tuần hoàn với2π.chu ki 10 :1A| gọi là biên độ. Đồ thị của nó là một đường hình sin có được từ đồ thịcủa hàm số y = Asinar bằng cách tịnh tiến thích hợp (theo vectơ 一冠 rồi theo vectơ Bỉ, tức là tịnh tiến theo vectơ 一冠 + B).Ví dụ. Một guồng nước có bán kính 2,5m, có trục quay ở cách mặt nước 2m, quay đều mỗi phút một vòng (h, 1.16). Gọi y (mét) là “khoảng cách” từ mặt nước đến mộtchiếc gầu của guồng nước ở thời điểm x (phút) (quy ước rằng y > 0, khi gầu ở bên157.8.trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước). Biết rằng sau khi khởi độngchiếc gầu đó ở đỉnh Cao nhất của guồng nước. Từ các điều đó ta suy ray = 2 + 2.5 sin| 2=(x -Đồ thị của hàm số này có dạng như ở hình 1.17.1. 2phút thì//ỉnh J.J6 //ình || ||7 Luyệm tập Xét tính chẵn- lẻ của mỗi hàm số sau: ay = cos[* = }} b) y = tanx c) y = tanx — sin2x. Cho các hàm số sau: a) y = -sin's; b)y= c) y = sin x cos x : d) y = sinxcosx + ܕ2ܘܟ݂ܽܠChứng minh rằng mỗi hàm số y = f(x) đó đều có tính chất:f{\ + kft) = f(x) với k = Z, x thuộc tập xác định của hàm số f: 9.Cho hàm số y = f(x) = Asin(ax + a) (A, () và a là những hằng số; A và ()khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có 小 = f(x)với mọi x. 10. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trìnhy = với đồ thị của hàm số y = sinx đều cách gốc toạ độ một khoảng nhỏhơn V10. 11. Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồthị của các hàm số đó:a) y = -sin x : b)y = |sin x| ; c) y = sin |x|. 12. a). Từ đồ thị hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽđồ thị của các hàm số đó: y = cos x + 2 ; y = cos(x - ).b) Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?1. 3... Xét hàm số y = f(x) = cos -a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k47t) = f(x) với mọi x.b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = cos 2trên đoạn [–27t:27t].c) Vẽ đồ thị của các hàm số y = cosx và y = costrong cùng một hệ toạ độ vuông góc Oxy. d) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm (x : y) thành điểm (x'; yo) sao cho x'= 2.x và y = y. Chứng minh rằng F biến đồ thịcủa hàm số y = cosx thành đồ thị của hàm sốy = cos2. DAlsó&GT11 (NC)-A 17Âm thanh được tạo nên bởi sự thay đổi áp suất của môi trường vật chất (chất khí, chất lỏng, chất rắn) một cách tuần hoàn theo thời gian (dao động tuần hoàn) và được lan truyền trong môi trường đó (sóng âm thanh). Nếu dao động tuần hoàn ấy có chu kì T (đo bằng đơn vị thời gian là giây) thì 岩 gọi là tần số của dao động (tức là số chu kì trong một giây), đơn vị của tần số là Héc (Hertz) viết tắt là Hz. Âm thanh tai người nghe được là dao động có tần số trong khoảng từ 17-20 Hz đến 20.000 Hz. Dao động có tần số cao hơn 20.000 Hz được gọi là Siêu âm. Trong âm nhạc (nghệ thuật phối hợp các âm thanh) người ta thường dùng những nốt nhạc để ghi những âm có tần số xác định. Tần số dao động càng lớn thì âm càng cao. Khi tăng tần số một âm lên gấp đôi thì ta nói cao độ của âm đó được tăng thêm một quãng tám. Người ta thường chia quãng tám đó thành 12 quãng bằng nhau, mỗi quãng gọi là một bán cung để đo chênh lệch cao độ giữa các âm (xem Sách giáo khoa "Âm nhạc và mĩ thuật" lớp 7). Với hai âm cách nhau một bán cung, tỉ số các tần số của chúng bằng "å2 : Với hai âm cách nhau một cung (tức là hai bán cung), tỉ số các tần số của chúng bằng ("ờ2)” = $2. Ở khuông nhạc dưới đây có ghi các nốt nhạc của một "âm giai" (quãng tám) cùng khoảng cách cao độ giữa hai âm ứng với hai nốt kề nhau. Âm la của âm giai đó có tần số 440 Hz (do đó, chẳng hạn âm si kế đó có tần số 440$2 Hz).sol la si dó.f đổ re mi fa 1 cung 1 cung 1 bán cung} cung 1 cung 1 bán cung 1 cungTrong âm nhạc, ngoài các âm riêng lẻ còn có hợp âm (kết hợp các âm thanh). Nhà toán học Pháp Phu-ri-ê (Fourier) đã chứng minh rằng một hàm số tuần hoàn với chu kì T có thể phân tích thành "tổng" của một hằng số với những hàm số tuần hoàn có đồ thị là những đườnghình Sin. Với chu kì t (n là số nguyên dương). Điềuđó giúp ta hiểu sâu hơn về hợp âm, hoà âm, âm bội và âmJoseph Fourier (1768-1830)2DAISO&GT11 (NC)-B

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Các hàm số lượng giác

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!