Các quy tắc tính đạo hàm –

Nói chung, việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp. Bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những quy tắc tính đạo hàm, nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được quy về tính đạo hàm của những hàm số đơn giản hơn. Để tiện cho việc diễn đạt, kể từ bài này, ta sẽ sử dụng kí hiệu J để chỉ tập con của R gồm một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng.1.Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm sốĐINH LÍ1Nếu hai hàm số u = u(\) và V = V(x) có đạo hàm trên J. thì hàm số y = u(\) + V(x) và y = u(x) = V(x) cũng có đạo hàm trên J, và a) u(x) + w(x) = u'(x) + v'(x); b) [u(x) — vʻ(x)]” = uʼ(x) — v'(x).1962.Ghi chú. Các công thức trên có thể viết gọn là (u + v)’ = u’+ v’ và (u – v)’ = u’= w’ Chứng minha) Tại mỗi điểm x e J, ta có · Ay = (u(x + Ax) + v(x + Ax))-(u(x) + v(x)] u(x + ΔΧ) – u(x)) — [v(x + Δα) – v(x)] = Au + Av. – Jim Aw = lim A” TA’ Ay o AY AY O AY Vậy [u(x) + V(x)|’= u'(x) + v'(x). b) Kết luận này được chứng minh tương tự. D Nhận xét Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số : Nếu các hàm số u, v, …, w có đạo hàm trên J. thì trên J ta. Có (u土v土・土w)”=u’土w’土・土w”. Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số f(x)=x^- NY + 2 trên khoảng (0; +2). Gidi Trên khoảng (0; +ơ) ta cóAll Av = lim – + lim – = u'(x) + v'(x). it in u'(x) + v'(x). – ل – x6 = Nx + 2)’ = (x^*) = (Nx)’ + (2)’ = 6 x)2\r 1 Vậyf'(x) = 6*—- D yf 2\r H1. a) Tinhf (-1) néuf(x) = x – x + x – 1 – 2 b) Cho hai hàm sốf(x) = -3 |- và g(x) = ^… Biết rằng hai hàm số này có đạo x + 1 x + 1hàm trên R. Chứng minh rằng với mọi x thuộc R, ta có f'(x) = g(x). Đạo hàm của tích hai hàm số Định lí 1 có thể nói gọn là : Đạo hàm của tổng (hay hiệu) hai hàm số bằng tổng (hay hiệu) các đạo hàm của hai hàm số đó. Liệu điều tương tự có xảy ra đối với tích của hai hàm số hay không ? Định lí sau sẽ trả lời câu hỏi đó.197ĐINH LÍ2Nếu hai hàm số u = u(x) và v = w(x) có đạo hàm trên J. thì hàmsố y = u(x)V(x) cũng có đạo hàm trên.J, và [u(x) vʻ(x)]” = u'(x) .. vʻ(x) + u(x) .. v'(x);Đặc biệt, nếu k là hằng số thì [ku(x)|’= ku (\).Ghi chú. Các công thức trên có thể viết gọn là(uw)’ = u’v” + uy’ và (ku)’= ku’.Chứng minh Đặt f(x) = u(x) v(x). Ta sẽ tìm đạo hàm củaftại một điểm x tuỳ ý thuộc J. Khi biến số nhận số gia A\ thì Alu = u(Y+ AY) = u(\) nên u(x + Ax) = u(x) + Au. Tương tự, do Aw = w{x+ AY) = V(x) nên v(x + Ax) = v(x) + Av. Ta sẽ sử dụng các đẳng thức trên để tính đạo hàm của hàm số f: · Ay = f(x + Av)-f(x) = u(x + Ax) v(x + Ax) – u(x) w(x) = [u(x) + Au] • [ vʻ(x) + Av] — u(x) • vʻ(x) = Au • vʻ(x) + u(x) – Av + Au • Av. Au – vʻ(x) + u(x) • Av + Au • Av Δ.Χ.Δy.岛云 jಗ್ಸ = () (), Để ý rằng v(o| ਨੰ vʻ(x) = u'(x) • vʻ(x), in, *烷 MonA = u (x) • v'(x), Jim“ = im lim, im A = f(x) vo) 0 = 0,198 3.ta có kết quả f'(x) = lim Δy. = u'(x) vʻ(x) + u(x)v'(x) – A o Av Khi V(x) = k (hằng số) thì v'(x) = 0 nên ta có [k • u(x)]’= k + u’’(x). O н2] Cách tinh đạo hàm như sau đúng hay sai, tại sao ? L’a -4)] = (x) , (x -4) = (3.a)(2x) = 6.x. Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trong mỗi trường hợp sau:a) f(x) = —-b) fox) = (2x + 1) Nix.Giảia) f'(x) = – 2x” — s (*)- 2 (*). 3(x)’-2′ = 4x +3. 4 3 4. 3.b) f'(x) = (2. 1N) = (2x + 1)” Vix + (2xo + 1)(Nix)’= 4xx + (2x + 1) DI 2\r H3 a) Chứng minh rằng nếu các hàm số u, v và w có đạo hàm trên J. thì hàm số fxác định bởi f(x) = u(x)y(x)w(x) (với mọi x = J) cũng có đạo hàm trên J và(иvи)’ = и’vw + иv’w + иvи”.b) Áp dụng, tính đạo hàm của hàm sốy = x”(1-x)(x + 2) tại điểm x = -2. Đạo hàm của thương hai hàm số Sử dụng định nghĩa, ta cũng chứng minh được định lí sauĐINH LÍ3Nếu hai hàm số u = u(\) và v = V(x) có đạo hàm trên.J và V(x) = 0 với mọi xe J thì hàm sốy = 器 cũng có đạo hàm trên.J, và _ u”(v)v(x) — u(x)v”(-v). vʻ(x) v(x)Ghi chú. Công thức trên có thể viết gọn làи ” – ulv – uv’ v, J 2Chứng minh hệ quả dưới đâyHÊ QUẢa) Trên (–ơo; 0) \_j (0; +ơo) ta có ( – — b) Nếu hàm số V = V(x) có đạo hàm trên J và V(x) = 0 với mọi x.thuộc J thì trên.J ta có ਨ। — “(*). vʻ(x)U y°(v)Ghi chú. Công thức thứ hai trong hệ quả trên có thể viết gọn làVí dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x), nếu:a) f(x) =b)f(x) =Gidi1 + 9x x + 2a1 x – 1(a là hằng số);a) Áp dụng định lí3 (ở đây u =1 + 9x và v = x +2a), ta cóf'(x) =(1 + 9 x)'(x + 2a) – (1 + 9 x)(x + 2a) 9(x + 2a) – (1 + 9 x)(x + 2a)? (x + 2a)? 18a – 1 . (x + 2a)’ b) Ap dụng hệ quả của định lí3 (ở đây v = ‘- l), ta có (x-1)’ 2x و ينتمي – = حركتيك – = (A) f (x-1) (x-1)4.н5 Chọn kết quả đúng trong các kết quả cho Sau đây.2 Đạo hàm của hàm số y = 등 bằng 2x -3 2x -3 2x = 2x + 1 6x-14x+5 (A) : (B)—- ; (c) 공부 : (D) (2 x -1) (2 x -1) (2 x -1) (2 x -1)Đạo hàm của hàm số hợp a) Khái niệm hàm số hợp Ví dụ 4. Cho hai hàm số y = f{u) và u = u(x), trong đó f(u)= u” và u(x) = x + 3x + 1. Nếu trong füu), ta thay thế biến số u bởi u(x) thì được fu(x)|= (a + 3 + 1). Đặt g(x) = f[u(x)} = (a + 3 + 1). Rõ ràng y = g(x) là một hàm số biến số x. Ta gọi g là hàm số hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u. O Một cách tổng quát, ta có khái niệm hàm số hợp như sau (ở đây ta chỉ xét các hàm số được cho bởi biểu thức). Cho hai hàm sốy= fiu) và u = u(x). Thay thế biến u trong biểu thức/Îu) bởi biểu thức u(x), ta được biểu thức/[u(x)] với biếnx. Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = [[u(\)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian. Trong định nghĩa trên, tập xác định của hàm số hợp y = g(x) là tập các giá trị củax sao cho biểu thức/Îu(x)] có nghĩa. Cho f(t) = Nu và u(x)=x – 1. Hãy tìm hàm số hợp y = [[u(x)) và tập xác định của nó. b) Cách tính đạo hàm của hàm số hợp ĐINH LÍ4 a). Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại điểm xo và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại điểm uọ = u(\0) thì hàm số hợp g(x) = flu(x)] có đạo hàm tại điểm \0, và & ‘(x0) =Jf'(u0)* u'(x0). b) Nếu giả thiết trong phần a) được thoả mãn đối với mọi điểm X thuộc J thì hàm số hợpy = g(x) có đạo hàm trên.J, và g'(x) = f'(u(x) u'(x).201Ghi chú. Công thức thứ hai trong định lí trên còn được viết gọn làVí dụ 5. Đối với hàm số g(x) = [[u(x)]= (x + 3 + 1) được nêu trong ví dụ 4, ta tính đạo hàm của nó như sau :Ta có f'(u) = (u) =3u. Do u(x) = x^+3x + 1 nênf’Lu(x)) = 3(o +3x + 1)? và tu'(x) = (a +3.x + 1) = 2x +3.Vậy g'(x) =f”[u(x)}. u(1)=3(ở +3x + 1)*(2.x +3). O Tổng quát ta xét hàm số y = (u(x)”) (với n = N và n > 2). Có thể xem hàm số này là hàm số hợp của hàm sốf{u) = u” và hàm số trung gian u = u(x). Do đó, nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J. thì ta áp dụng định lí4 để tính đạo hàm của hàm số hợpy = (u(x))” (còn viết là y = u”(x)) như sau:f(u)=u” = f'(a) = n.a” = f'(u(x) = n, u'(x);”(a) = f'(u(x)) u'(x) = n u'(x) u'(x).Vậy ta cóHÊ QUẢ 1Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J. thì hàm số y = ư”(x) (với n = N và n > 2) có đạo hàm trên J, vàu'(x) = n. u”‘(x). u'(x).Ghi chú. Công thức nêu trong hệ quả 1 được viết gọn là(u”) Tương tự, ta xét hàm số y = Vս(x). a) Tìm hàm số f sao cho hàm số y = \ u(x) là hàm số hợp của hàm sốf và hàm số trung gian u = u(x). b) Chứng minh rằng nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x) > 0 với mọix = J thì hàm số y = Nu(x) cũng có đạo hàm trên J và (Nu(x))’ 盏品202 Ví dụ 6. |N.” – 3 y + 7) -HÊ QUẢ 2(Naco) u(x)2Vu(x)Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên.J và u(x) > 0 với mọi x = J thì hàm số y = Nu(x) có đạo hàm trên.J, vàGhi chú. Công thức nêu trong hệ quả 2 được viết gọn là(Na) =( 2 GHINHỞa) Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây u = u(x))x’-3x +7)'(c)’ = 0 (c là hăng só) (x) = 1(x”)’=ny” (ne N., n > 2) 1 Y’ 1 () — (so)() = (x > 0)b) Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây u = u(\), V = V(x))(u士w)”=u’士w’ (uv)ʼ= uʻv + uvʻu Y’ u’v’ – uv” y | 2c) Đạo hàm của hàm số hợp (ở đây g(x) = flu(\)])g, = /, и2a – 3x Va’-3x + 72031.1.11.22Câu hủi và bài tập. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm xo được cho kèm theoa) y = 7 + x — x°, xo = 1; b) y = x°— 2x +1, xo = 2; c) y = 2x°— 2x + 3, xo = 1.. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số)a) y= x – 4x’+ 2 – 3 Viv b)y=i-x 4 x -0.5x”; 4 3 2 . αν + b , .3 –ک+ – ک – گ = c) y = – + -a+a; d) y= . Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau a) y= (x + x); 5x — 3 c) y = d) y = – – – ; x – 1 y x + x + 1 2. + 2 x + 2 이y—- f) y= x(2x-1)(3x + 2).. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau1 a) y= (x-x); b)y= va 1 + x c) y = d) y = −== (a là hằng SỐ). = a la lang. Cho hàm sốf(x) = Nixo — 2x. Hãy giải bất phương trình f'(x) < f(\).LUyệm tập. Cho hàm sốf(x)=x^-3\° + 2. Hãy giải bất phương trình :a) f'(x) > 0; b) f'(x) <3.22. Tìm các nghiệm của phương trình sau (làm tròn kết quả nghiệm gần đúng đến hàng phần nghìn)3. a)f'()=0 vớifø) = −22° — 6x — 1: 4. 2 b)f'(x)=-5 với f(x) = ox’-o-3.2 23. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau2x +3 I a) y = - H ; b) y = -- ; )1 + y (x-x 5 و 5 - 2 و " لا c) y = x* + x Vix + 1 ; d) y= (x + 1)(x + 2)*(x+3); x + 1 e) y = a -24. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a) y = 급 , biết hoành độ tiếp điểm là \0 = 0;b) y = N.Y + 2, biết tung độ tiếp điểm là yo=2. 25. Viết phương trình tiếp tuyến của paraboly = x”, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; −1). Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \0 thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm xo để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol). 26. Hình 5.6 thể hiện màn hình của một trò chơi điện tử. Một máy bay xuất hiện ở bên trái màn hình rồi bay sang phải theo một quỹ đạo (C) là đồ thị của hàm số y = f(x), trong đó f(x) = −1 - , (x > 0). Biết rằng tên lửa được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc (C) sẽ bay theo phương tiếp tuyến của (C) tại điểm đó. Tìm hoành độ các điểm thuộc (C) Hình 5-6205 Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét ?

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Các quy tắc tính đạo hàm

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!