Cấp số cộng –

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.II – SỐ HANG TÔNG QUÁT汽 3. Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện trên Hình 42.. | |1 tầng 2 tầng 3 tầng Hình 42Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp ?ĐINH LÍ1Nếu cấp số cộng (u,) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát u, được xác định bởi công thức:u, = u + (n − 1)d với n > 2. (2)Chứng minh. Ta sẽ chứng minh công thức (2) bằng quy nạp.Khi n = 2 thì u2 = u1 + d, vậy công thức (2) đúng.Giả sử công thức (2) đúng với n = k > 2, tức là u = u1 + (k – 1)d.Ta phải chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k + 1, tức là u_1 = u1 + kd.Thật vậy, theo định nghĩa cấp số cộng và giả thiết quy nạp ta có url = u + d = [u] + (k – 1)d) + d = u + kd.Vậy um = u1 + (n − 1)d với n > 2, =Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (un), biết l11 = -5, d’=3.a) Tim us.b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu ?c). Biểu diễn các số hạng u1, u2, us, u4, us trên trục số. Nhận xét vị trí của mỗi điểm u2, us, u4 so với hai điểm liền kề. Giải. Cấp số cộng có u1 = -5, d’=3. a) Theo công thức (2) ta có u15 = −5 + (15 – 1). 3 = 37. b) Theo công thức (2) ta có u, = −5 + (n − 1). 3. Vì un = 100 nên –5 + (n − 1). 3 = 100, từ đó n = 36. c). Năm số hạng của cấp số cộng là -5, -2, 1, 4, 7 được biểu diễn bởi các điểm u1, u2, Hạ, u4, us tương ứng trên Hình 43.սլ t us 1/4 us H t T T -5 -2 O 1 4. 7 Hình 43 – աշ + ա4 Điểm tia là trung điểm của đoạn u2.u4, hay u3 = –.Ta cũng có kết quả tương tự đối với u2 và u4, m Đây là một tính chất đặc trưng của cấp số cộng mà ta sẽ xét dưới đây. III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HANG CỦA CẤP SỐ CÔNGĐINH LI 2Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa làn – 부w . (3)Chứng minh. Giả sử (u,) là cấp số cộng với công said. Sử dụng công thức (1) νόi K Σ 2, ta Cό με 1 = 1ι – α : μμ. 1 = με + d.IIլ 1 + 1/լ, Suy ra luk -1 + 1{k+1 = 2.uk hay luk —-95IV – TÔNG n SỐ HANG ĐÂU CỦA MộT CẤP SỐ CÔNG4. * số Cộng gồm tám số hạng -1,3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 được viết vào bảng sau: | 1 || 3 || 7 || 11 15 19 23 27a). Hãy chép lại bảng trên và viết các số hạng của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột.b) Tính tổng các số hạng của cấp số cộng.Ta công nhận định lí sau đây. ĐịNH LÍ3Cho cấp số cộng (u,). Đặt S, = l{1 + H2 + H3 + ..+ u,Khi đó S = η (1ι 土”。 (4) 2 CHÚ Ý Vì u, = u1 + (n − 1)d nên công thức (4) có thể viết S = пи, н a (4)Ví dụ 3. Cho dãy số (u,) với u, =3,1 – 1. a) Chứng minh dãy {u,) là cấp số cộng. Tìm [[1 và d. b) Tính tổng của 50 số hạng đầu. c). Biết S = 260, tìm n. Giải a). Vì u, =3n − 1 nên u1 = 2. Với n > 1, xét hiệu u,+1 = u, =3(n + 1) = 1 – (3n − 1) = 3, suy ra u,+ 1 = u, +3. Vậy (u, ) là cấp số cộng với công sai d’=3.96.1.2.3.7-EAT să a GLA TICH 11-ab). Vì u1 = 2, d = 3, n = 50 nên theo công thức (4) ta cóS50 = 50.2 + 93 – 3775. c). Vì u1 = 2, d = 3, Sn = 260 nên theo công thức (4’) ta có S, = 12+1″.3 -260 hay 3 no n-520-0.2Giải phương trình bậc hai trên với n = N”, ta tìm được n = 13. = Bời tộpTrong các dãy số (u,..) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tính số hạng đầu và công sai của nó.а) и, = 5 – 2 n , b) u, = -1 : c) un = 3″; d) n = “. 2 Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết : al u – ua + u 5 = 10 b uդ – ս3 = 8 u + i = 17; и2.и,7 = 75.Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, 1ւn Sn.a). Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại ? b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống:55 20 15297 Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm. a) Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân. b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Cấp số cộng

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!