Cấp số cộng –

Định nghĩa: quan sát dãy các số tự nhiên 0,1,2,…,n,n+1,… ta thấy các số hạng của nó có một mối liên hệ đặc biệt: Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và 1.Ta còn gặp nhiều dãy số khác cũng có tính chất tương tự như dãy số trên trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học, kĩ thuật, cũng như trong thực tế cuộc sống. Người ta gọi các dãy số như vậy là những cấp số cộng. ĐịNH NGHIA Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay Vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là (un) là cấp số cộng Vn > 2, u, = u,_1 + d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.Ví dụ 1 a). Dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, …, 2n-1, …là một cấp số cộng với công sai d=2. b). Dãy số – 3, 1, 5, 9, 13, 17,21,25 là một cấp số cộng với công said=4. L’] н1 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng ? Vì sao ? a) -5,-2, 1,4,7,10. b) 3,5 : 5; 6,5: 9; 10,5; 12.2. Tính chất Ta có định lí sau:ĐINH LÍ1Nếu (un) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là11, 1 + 17լ m, = —-부Chứng minhGọi d là công sai của cấp số cộng (u,). Với mọi k > 2 ta có u:41 = u; + d, uչ-1 = u; – d.1103.Từ hai đẳng thức trên ta đượcII, 4 + H+1= 2.uk. Với mọi k > 2. Từ đó suy ra điều cần chứng minh. D н2] Cho Cấp số Cộng (u, ). Có u1 = -1 và u2 = 3. Hãy tìm u2 và u4.Số hạng tổng quát Dễ thấy, ta có thể tìm được số hạng tuỳ ý của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu u1 và công said của nó. Chẳng hạn, để tìm u4, ta có thể làm như sau:u1 = u + d = u + 2d = u + 3d. Một cách khái quát, ta cóĐINH LÍ2Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai di thì số hạng tổng quát u, của nó được xác định theo công thức sau: u, – it +(n-1)d.Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Công thức đúng khi n = 1, vì u = u + 0.d. Giả sử công thức đúng khi n = k (k =N*) tức là u = u + (k -1)d. Khi đó ta có u = u + d = [uh + (k-1)d)+ d = u + kd. Vậy công thức cũng đúng khi n = k + 1. Từ đó suy ra điều cần chứng minh. [ ]|H3! Cho cấp số cộng (u,) có u = 13 và công sai d=–3. Hãy tỉnh uạt. Ví dụ 2. Cho một họ các đường tròn đồng tâm (0; r1), (0; r2), …, (0; rn), … mà dãy số (“n) là một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 3. Gọi ut là diện tích hình tròn (O; r}) và với mỗi số nguyên n > 2, gọi u, là diện tích của hình vành khăn tạo bởi đường tròn (O ; r,_1) và đường tròn (O: rn).111 Chứng minh rằng (u,) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. Gidi Đặt r0 = 0. Khi đó, với mỗi n >1, ta có и, — л.( r – ) – π.(rη – Γη-1)(rη + Γη 1) = 3π.(r, + r, I). Suy ra u, 1 – Mn = 37t.(rn, 1 + T, – T’ = T_1) = 37t.(3 + 3) = 187t (với mọi n > 1). Do đó (u, ) là một cấp số cộng với công said=187I, và số hạng đầu u1 = 1. n = 9t. Từ đó, theo định lí 2, ta được u, = 9rt + (n − 1).187t = 9(2n-1)7t (với mọi n > 1). D 4. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộngGiả sử có cấp số cộng (u,..) với công sai d. Xét n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó, ta có thể biểu diễn mối liên hệ giữa chúng như sau:+d +d +d 11 / l ul3 In 1 ln In 1 In 2 l ld -d -d -dQuan sát bảng trên có thể thấy tổng của hai số nằm trong cùng một cột bất kì luôn bằng tổng của u1 và u, Nhận xét đó dẫn ta đếnĐINH LÍ3Giả sử (un) là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S, là tổng n số hạng đầu tiên của nó (S, = u + u2 +…+ u,..). Khi đó, ta cóS, = (l, it in112Ví dụ 3. Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau : Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công ti. Gidi Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu u, (triệu đồng) là mức lương của người kĩ sư ở quý làm việc thứ n cho công ti. Theo giả thiết của bài toán, ta có u1 = 4.5 và u, 1 = u, + 0.3 với mọi n > 1. Do đó, dãy số (un) là một cấp số cộng với công Said = 0.3. Vì mỗi năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý. Như thế, theo yêu cầu của bài toán ta phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u,..). Theo định lí 2, ta có: u12 = 4,5 + (12 – 1). 0,3 = 7.8. Do đó, theo định lí3, ta đượcS|2 = !24-18) = 73,8 (triệu đồng). DCHÚ Ý Từ định lí 2 và định lí3, dễ dàng suy raVm > 1. 2 + 1).Cho cấp số cộng (u,) có u1 = -2 và công sai d = 2. Hãy tính tổng 17 số hạng đầu tiên của cấp số đó.H5 “Em sẽ chọn phương án nào ?”. Khi kí hợp đồng lao động dài hạn với các kĩ sư được tuyển dụng, công ti liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn; cụ thể: – Ở phương án 1: Người lao động sẽ được nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.BDAISO&GT11 (NC)-A 1.22114. Trên tia OY lấy các điểm A1,- Ở phương án 2: Người lao động sẽ được nhận 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Nếu em là người kí hợp đồng lao động với công tỉ liên doanh A thì em sẽ chọn phương án nào ?Câu hủi và bài tập. Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công saicủa cấp số cộng đó: a). Dãy số (un) với u, = 19n – 5 ; b). Dãy số (u,). Với u, = am + b), trong đó a và b là các hằng số.A2, …, An, … sao cho Với mỗi số nguyên dương n, OA = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia OY, vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn, n = 1, 2, …Kí hiệu u1 là diện tích của nửaHình 3.3hình tròn đường kính OA1 và với mỗi n > 2, kí hiệu u, là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn_1, nửa đường tròn đường kính OAn và tia OY (h 3.3). Chứng minh rằng dãy số (u,) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.. Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng:a). Mỗi cấp số cộng với công sai d> 0 là một dãy số[ ] Tăng. [ ]. Giảm. [ ]. Không tăng cũng không giảm. b). Mỗi cấp số cộng với công sai d<0 là một dãy số [ ] Tăng. [ ]. Giảm. | ]. Không tăng cũng không giảm.8, DAlsó&GT11 (NC)-B Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó. Cho cấp số cộng (u,) có u20 = - 52 và us1 = - 145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. . Cho cấp số cộng (u,..) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, vớim>. k. Chứng minh rằng u, = u + (m – k)d. Ap dụng: Hãy tìm công Said của cấp số cộng (u,..) mà u18 – 143 = 75.. Cho cấp số cộng (u,..) có u1 = u2 = 6 và us = – 10. Hãy tìm công sai và Số hạngtổng quát của cấp số cộng đó.. Hãy chứng minh định lí3. . Cho cấp số cộng (u,..) có u2 + u22 = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên củacấp số cộng đó.- Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm sốđo ba góc đó.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Cấp số cộng

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!