Cấp số nhân –

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.Đặc biệt: * Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, …, 0, … * Khi q = 1, cấp số nhân có dạng l{1, u1, u1, …, u1, … * Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, …, 0,…Ví dụ I. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân :nên dãy sốlà một cấp số nhân với công bội q = – II – SỐ HANG TÔNG QUÁT熙 2 Hãy đọc hoạt động * và cho biết ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc ? Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng minh được định lí sau đây.ĐINH LÍ 1Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát u, được xác định bởi công thứcu = պ.գ” vծ n > 2. (2)Ví dụ 2. Cho cấp số nhân (u,) với u1 = 3, q –불 a) Tính u.7.b) Hỏi là số hạng thứ mấy ?Giảia) Áp dụng công thức (2), ta có6 No 3 it, Fuja’-3- 64b) Theo công thức (2), ta cóYl 18 un = 3. || — || = t <=> || — || = 1 = || — || . 2 256 2 256 2Suy ra n − 1 = 8 hay n = 9. 3. 256 Ví dụ 3. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. a) Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào ?Vậy số là số hạng thứ chín. Bab) Nếu có 10° tế bào thì sau hai giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào ? Giải a). Vì ban đầu có một tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u1 = 1, q = 2 và u11 là số tế bào nhận được Sau mười lần phân chia. Vậy sau 10 lần phân chia, số tế bào nhận được là u = 1. 2′ = 2″ = 1024. b). Vì ban đầu có 10° tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân νό u1 = 10, q = 2. Vì cứ 20 phút lại phân đôi một lần nên sau hai giờ sẽ có 6 lần phân chia tế bào và u… là số tế bào nhận được sau hai giờ. Vậy số tế bào nhận được sau hai giờ phân chia là u,=10″.27″] = 105.20 = 6400000. =III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HANG CỦA CẤP SỐ NHÂN 3. Cho cấp số nhân (un) với u1 = – 2 và q — a) Viết năm số hạng đầu của nó. b) So sánh u2 với tích u, ưa và uỷ với tích u2. u4.Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên.ĐINH LÍ2Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là = այ – 1.այ I vծi k > 2 (3)(hay up! -Wu ju). Chứng minh. Sử dụng công thức (2) với k > 2, ta cók-2. Ա – ) – Ա – Կ :14 + 1 = 111 գ — ܐ Suy ra l{{-1 . II; +1 = 哈 – = (սլց` ” – u.IV – TỐNG n số HANG ĐÂU CỦA MộT CẤP SỐ NHÂN 然 Tính tổng số các hạt thóc ở 11 ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt độngCấp số nhân (u,..) có công bội q có thể viết dưới dạng2 -1 111. 11:14, 11 14 , …, Ալզ , …Khi đóSn = lկ + սշ + … + un = uլ + սլզ + սլզ + … + யு’ 1. (4)101 Nhân hai vế của (4) với q, ta được q,S, = uiq+ uiq‛+ uiq‛ + … + սլզ”. (5) Trừ từng vế tương ứng của các đẳng thức (4) và (5), ta được (1-4) S = u (1 – q”). Ta có định lí sau đây.ĐINH LÍ3Cho cấp số nhân (un) với công bội q z 1. Đặt Sn = u; + 112 + … + un . Khi đó S, = யு (1-4″) 1 – 4 CHÚ Ý Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1, …, u1, … Khi đó Sn = n.u1. Ví dụ 4. Cho cấp số nhân (u,), biết u1 = 2, u3 = 18. Tính tổng của mười số hạng đầu tiên. Giải. Theo giả thiết, u1 = 2, u3 = 18. Ta có us = u q = 2. – 18=>q=土3.Vậy có hai trường hợp:* q = 3, ta có S10 =10 그 = 59048 1-330 * q = –3, ta có – -5 1 1 Tính tổng S=1+++ → +…++. 3 32 ვ”O21.2.3.BAN CÔ B IÊ T ?NHA VUA ẤN Độ KHÔNG ĐỦ THỐC Để THƯỞNG CHO NGƯỞI ĐẤ PHÁT M|NH RA | BAN CČj VUA ||Hãy đọc lại * ở S4, chúng ta sẽ thấy số hạt thóc để làm phần thưởng chính làtổng 64 số hạng đầu của cấp số nhân với u1 = 1 và q = 2. Vậy63 (1-2′) 1-2Cứ cho rằng 1000 hạt thóc nặng 20 gam (cho dù ít hơn thực tế), thì khối lượngthỐC là64S64 = 1 + 2 + 4 + … + 2 = 2 – 1._64 (ہ)oہ *o-Ugamis 369 tỉ tấn. 1000Nếu đem rải đều số thóc này lên bề mặt của Trái Đất thì sẽ được một lớp thócdày 9 mm ! Thử hỏi, nhà vua làm sao có được một lượng thóc khổng lồ như vậy ?Bời tộpChứng minh các dãy so – 2″). (). ( ) là các cấp số nhân.5 2″ 2 Cho cấp số nhân (un) với công bội q. a). Biết u1 = 2, u6 = 486, Tìm q. b). Biết q = 를 114 = Tìm u1. c). Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy ? Tìm các số hạng của cấp số nhân (u,..) có năm số hạng, biết: a) u(3 = 3 và us = 27 ; b) u4 = u2 = 25 và u2 = u1 = 50.1034. Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 6256.và tổng của năm số hạng sau là 62. Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân củtỉnh đó là bao nhiêu ? Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (h.44). Từ hình vuông C? lại làm tiếp như trên để được hình vuông C3, …. Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy cáchình Vuông C1, C2, C3, …, Cn, … . Hình 44Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (a,n) là một cấp số nhân.B Ả I ĐQ C TH Ê MDẤY SỐ TRONG HìNH BÔNG TUYÉT VÔN KỐC (HìNH HQC FRACTAL)Thuật ngữ “Fracta” được Bơ-noa Man-đen-bơ-rô (Benoit Mandelbrot) sử dụng vào năm 1975. Nó có gốc La-tinh “Fractus”, nghĩa là một bề mặt không đều giống như một khối đá nứt gẫy. Theo B. Man-đen-bơ-rô thì: “Hình học Fractal Có hai vai trò, nó diễn tả hình học của sự hỗn độn và nó cũng có thể diễn tả về hình học của núi, mây và các dải ngân hà”. Các Fractal có hình thù mà ta có thể nhìn thấy trong tự nhiên, đó là cây, lá, khối đá, những bông tuyết … . Song, rút ra được một Công thức hình học của chúng như thế nào ? Làm thế nào để định hình được hình dạng của những bọt kem trong lị cà phê ? Hình học Fractal, lí thuyết về sự hỗn độn và những phép toán phức tạp liệu có thể trả lời được các câu hỏi này hay không ? Khoa học đang khám phá ra một trật tự không thể ngờ đằng sau những hiện tượng kì lạ có vẻ hết sức lộn xộn của vạn vật.Có thể nói Fractal là cấu trúc hình học được chi tiết hoá bằng cách mở rộng ở mọi tỉ lệ. Mỗi phần nhỏ của Fractal là sự mô phỏng của toàn bộ Fractal. Mỗi Fractal được tạo ra bởi quá trình lặp đi, lặp lại, trong đó sự kết thúc của quá trình trước lại là sự bắt đầu của quá trình tiếp theo. Để minh hoạ, ta hãy xét bông tuyết vôn Kốc do nhà toán học Thuỵ Điển vôn Kốc (Von Koch) đưa ra vào năm 1904 (h.45).H. von Koch (1879 – 1924)KHình 45Bông tuyết đầu tiên K1 là một tam giác đều có cạnh bằng 1. Tiếp đó, chia mỗi cạnh của tam giác thành ba đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bởi hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía ngoài, ta được bông tuyết. K2. Cứ tiếp tục như vậy theo nguyên tắc: Từ bông tuyết K, để Có bông tuyết Kali, ta chia mỗi cạnh của K, thành ba đoạn băng nhau và thay mỗi đoạn ở giữạ bởi hai đoạn bằng nó, sao cho chúng tạo với mỗi đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía ngoài. Quá trình trên lặp đi, lặp lại cho ta một dãy các bông tuyết K1, K2, Kვ, …, K„ …. Kí hiệu C, a, p, và S, lần lượt là số cạnh, độ dài cạnh, chu vị và diện tích của bông tuyết K, ta có các dãy số (CA), (a, ), (p, ), (S,).105 Dãy số (Sn) bị chặn trên. Điều thú vị của dãy vôn Kốc là ở chỗ chu vi p, có thể lớn tuỳ ý với m đủ lớn, trong khi diện tích S, lại bị chặn (1) Các nhà toán học đã cố gắng mô tả hình dạng của các Fractal từ hơn một trăm năm qua. Với khả năng của các máy tính hiện đại, Fractal đã trở thành một đề tài được quan tâm đặc biệt, bởi chúng có thể được diễn tả bằng kĩ thuật số và được khám phá qua mọi vẻ đẹp hấp dẫn của chúng. Fractal đang được sử dụng như một phương tiện hỗ trợ cho Toán học và nó cũng thể hiện được những nét đẹp văn hoá trong và ngoài hành tinh thông qua nền công nghiệp điện ảnh.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Cấp số nhân

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!